《一次方程組》復習教案.doc

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1、第十章 一次方程組 （一）知識框架 （二）重點難點突破 回顧與思考 1、什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程組？它們在生活中有哪些應用？ 2、解二元一次方程組有哪些方法？ 3、利用二元一次方程組解決生活實際問題的關鍵是什么？ 重點點撥 （一）二元一次方程（組）及其解的概念 含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程. 使一個二元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解. 二元一次方程的解有無數(shù)組. 含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組． 我們把二元一次方程組中兩個方程的公

2、共解，叫做二元一次方程組的解. （二）二元一次方程組的解法 1.將方程組的一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入另一個方程，從而消去一個未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這種解方程組的方法，稱為代入消元法，簡稱代入法。 2.把方程組的兩個方程（或先作適當變形）相加或相減，消去其中一個未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這種解方程組的方法叫做加減消元法簡稱加減法。 （三）利用二元一次方程組解決生活實際問題 利用二元一次方程組解決生活實際問題就是將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即列出二元一次方程組解決實際問題. 難點突破

3、（一）解二元一次方程組的基本思想方法 了解解二元一次方程組的消元方法，經(jīng)歷從“二元”到“一元”的轉(zhuǎn)化過程，從而體會消元的思想，以及把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的化歸思想。 （二）利用二元一次方程組解決生活實際問題 能將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即能列出二元一次方程組解決實際問題，其關鍵是 找出題目中蘊涵的相等關系，并建立方程組求解. 學習要求 （1）要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識，在平時的學習中，應該不斷積累用方程思想解題的方法。 （2）在交流和反思的過程中建立知識體系，體驗學習數(shù)學的成就感。 （3）列二元一次方程組的關鍵是能正確分析出題目

4、中的等量關系，問題往往與生活實際相貼近，與社會關系的熱點問題相聯(lián)系，請平時注意搜集、觀察與分析。 整合拓展創(chuàng)新 類型之一 二元一次方程（組）及其解的概念問題 1. 二元一次方程（組）的概念 例1若2x|m|+（m+1）y=3m-1是關于x、y的二元一次方程，則m的取值范圍是（ C ） A、m≠－1 B、m=1 C、m=1 D、m=0 解析:根據(jù)二元一次方程的概念可得|m|=1,且m+1≠0，所以m=1,選C. 變式題（學生完成 ） 方程▓是二元一次方程，▓是被污染的的系數(shù)，請你推斷被污染的的系數(shù)的值可能是（ ） A、不可能是 B、不可能是 C、不可能是1

5、 D、不可能是2. 例2下列方程組中，屬于二元一次方程組的是 （ ） A、 B、 C、 D、 解析:本題考察對二元一次方程組的概念的理解.答案選D 變式題 寫出一個以為解的二元一次方程組. 解析:答案有無數(shù)種，如等.學生答案是： 2. 二元一次方程（組）的解的含義 例3適合方程x+y=5且x、y絕對值都小于5的整數(shù)解有（ C ） A、2 B、 3 C、 4 D、5 解析: 二元一次方程的解有無數(shù)組，本題用簡單列舉法:絕對值小于5的整數(shù)有9個,分別取x=－4,－3,－2, －1,0,1,2,3,4;再計算出對應的y的值,

6、其中符合條件的解有4組.選C. 變式題1若x+y=0,且|x|=2則y的值為（ ） A、0 B、2 C、－2 D、2 例4已知二元一次方程組的解是（ B ） A、 B、 C、 D、 解析:本題有兩種解法：一種是將被選答案代入方程組，逐個驗證；另一種是解方程組，求出其解.答案選B 變式題1 以為解的方程組是（ ） A、 B、 C、 D、 類型之二 二元一次方程組的解法 1. 代入法 例5解方程組： 解析:因為方程組中相同未知數(shù)表示同一個量，方程①中的y=2x,所以方程②中的2x可用y代替，這樣，方程②轉(zhuǎn)化成了

7、關于y的一元一次方程. 或?qū)⒎匠挞谥械膟用 2x代替，這樣，方程②轉(zhuǎn)化成了關于x的一元一次方程. 解：將①代入②，得． 解這個方程，得． 將代入①，得． 所以，原方程的解為 點評：本題用代入消元法求解，充分體現(xiàn)了將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元思想. 變式題 解方程組 點評：本題運用代入消元法求解，需運用等式的基本性質(zhì)將方程②變形為用含y的代數(shù)式表示x的形式. 2.加減法 例6 用加減法解下列方程組 （1）解方程組 （2）解方程組： 解析:（1）方程組①式與②式中未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，將①式與②式相加，可消去其中一個未知數(shù)y,達到消元的

8、目的.（2）觀察方程組中兩個未知數(shù)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)y的系數(shù)成整倍數(shù)關系，則只需將①式兩邊同乘以2，則兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，將兩式相加可消去“一元”， 達到了消元的目的. 解：（1）①+②得4x=8,解得x=2, 將x=2代入②得,6+2y=8,解得y=1，所以原方程組的解是 （2）①得：?、? ②③得：11x=33,解得x=3 把x=3代入①得：9-y=5,解得y=4. 所以原方程組的解是 點評：第（2）題也可用代入消元法求解. 變式題1解方程組

9、 點評：求出方程組的解后，應將答案代入原方程組進行檢驗，并形成習慣. 3. 靈活消元 例7 用適當方法解下列方程組 解方程組 解析：（1）將原方程組化簡后再選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓唬?）觀察方程組的特征，可將原方程組的兩個方程分別去分母、去括號，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組的一般形式，再選用適當?shù)姆椒ㄇ蠼?；也可用整體代入法或加減法解題，也可用“換元法”求解. 解：（1） 原方程組可變形為 ②-①得：2x=-6 解得 x=-3,將x=-3代入②得：-6-3y=1,解得 變式題1 用適當方法解下列方程組

10、（1） 點評：靈活選擇適當?shù)姆椒珊喕\算，同時可發(fā)展同學們的思維能力，提高解題速度. 變式題2 已知，則x- y = . 點評：代入法和加減法這兩種方法都是從“消元”這個基本思想出發(fā)，先把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，把解二元一次方程組的問題歸結(jié)為解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要數(shù)學思想。 類型之三 二元一次方程組的綜合應用 1 .構造二元一次方程組解決問題 例8 已知|3x + y – 2 |+ (2x + 3y + 1)= 0 ,求x、y 的值。 解析：絕對值有非負性質(zhì)（即不是負數(shù)），完全平方也有非負性質(zhì)，如果兩個非負數(shù)相加為0，

11、那么每一個數(shù)必須是0，于是可得到：3x + y – 2 = 0；2x + 3y + 1 = 0.把它們組成方程組，再解方程組即可得到x、y 的值。 解：由絕對值及完全平方的非負性質(zhì)得即 由①得y = -3x + 2.③ 把③代入②，2x + 3 (-3x + 2 )= -1,解得x = 1, 把x = 1 代入③，得y = -1.所以x = 1，y = -1。 點評：本題是根據(jù)兩個非負數(shù)和為0，那么這兩個數(shù)都為0，把原來的一個等式轉(zhuǎn)化為兩個方程，再組合成一個方程組，從而解決問題.這種轉(zhuǎn)化的方法要注意體會. 變式題（學生完成） 已知5 + |x + y

12、-3| + (x – 2y )= 5 ,則 （ ） A、 B、 C、 D、 例9 已知與都是方程y=kx+b的解，則k與b的值為（ A ） A、，b=-4 B、，b=4 C、，b=4 D、，b=-4 解析：根據(jù)題意可得方程組 解得，b=-4; 因此選A 變式題1 （學生完成）已知與是同類項.則s+t= . 點評：將已知條件轉(zhuǎn)化成解二元一次方程組問題，可解決求值問題. 變式題2 若二元一次方程組的解滿足方程.則 k= . 點評：把已知條件轉(zhuǎn)化為能夠直接應用的關系，是解題的關鍵.一般來說，一個相等關系

13、通常只能求出一個未知數(shù)的值.要求出兩個未知數(shù)的值，需要兩個相等關系，這一點在今后的學習中逐步能體會到. 類型之四 用方程組解決生活實際問題 1. 用方程組解決簡單實際問題 例10根據(jù)題意列方程組:開學報到時小剛帶了新版人民幣50 元和10 元共12張240元準備交代辦費,求小剛攜帶50元和10元的人民幣各幾張? 【思路分析】 問題中包含的兩個相等關系為：新版人民幣50 元張數(shù)+ 10 元張數(shù)=12張； 新版人民幣50 元總價值+10 元總價值=240元 解:設小剛帶50元的人民幣x張,帶10的人民幣y張, 根據(jù)題意列方程組得 點評 列二元一次方程組的關鍵

14、是找出問題中蘊涵的相等關系. 變式題1小芳買了35張賀卡,共花了50元錢,其中大賀卡每張2元,小賀卡每張1元,小芳買大、小賀卡各多少張? 【思路分析】設買大賀卡x張,小賀卡y張,則大賀卡總價值2x元,小賀卡總價值y元，相等關系為：大賀卡張數(shù)+小賀卡張數(shù)=35張, 大賀卡總價+小賀卡總價=50元. 解:設買大賀卡x張,小賀卡y張,根據(jù)題意列方程組得, 解這個方程組得 . 答:買大賀卡15卡,小賀卡20張. 點評 理解題意找出相等關系是解決問題的關鍵. 變式題2七年級(2)班的一個綜合實踐活動小組去A、B兩個超市調(diào)查去年和今年“五一”節(jié)期間的銷售情況。下圖是調(diào)查后小敏與其他兩位進行

15、交流的情景，請你根據(jù)他們的對話，分別求出A、B兩個超市今年“五一”節(jié)期間的銷售額. 【思路分析】分析三個同學的對話，從中發(fā)現(xiàn)問題中的已知量、未知量及相等關系. 點評：本題圖文并茂，需認真審題，設間接未知數(shù)可使問題簡化. 2.運用列表法分析問題、解決問題 例11為響應承辦“綠色奧運”的號召，某中學初三（2）班計劃組織部分同學義務植樹180棵，由于同學們參與的積極性很高，實際參加植樹活動的人數(shù)比原計劃增加了50%，結(jié)果每人比原計劃少栽了2棵樹，問實際有多少人參加了這次植樹活動？ 【思路分析】本題可通過列表來表示植樹活動的有關數(shù)量. 每人植樹棵數(shù) 人數(shù) 植樹總棵數(shù) 原計劃

16、 x y 180 實際 x-2 1.5y 180 根據(jù)每人植樹棵數(shù)人數(shù)=植樹總棵數(shù),可列出兩個方程. 解：設原計劃每人植樹x棵，原計劃參加人數(shù)為y人，則實際參加人數(shù)為1.5y人. 根據(jù)題意列方程組得 將xy當成一個整體，把①代入②得y=30,則1.5y=45. 答：實際有45人參加了這次植樹活動. 點評：運用整體代入法是解此特殊方程組的關鍵. 變式題1甲桶裝水49升，乙桶裝水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶裝滿后，乙桶剩下得水恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶裝滿后則甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求這兩個水桶的容量. 【思路分析】本題可以

17、通過列表來表示前后兩桶水的變化。 點評：有些題目中，數(shù)量之間的關系不夠明顯，有時還有變化，為了弄清題意，理順數(shù)量之間的關系，需要通過設計一些表格來幫助我們解題。如本例中，分析時用了較大的篇幅，花了一定的時間，但到實際解題時卻顯得很簡便。 列表可以幫助我們盡快地理解題意，我們在解題時，不要怕麻煩，分析問題的能力會逐漸提高。 3.運用畫示意圖法分析問題、解決問題 例12一列勻速行駛的火車通過一座160米長的鐵路橋用了30秒，若它以同樣的速度穿過一段200米長的隧道用了32秒，求這列火車的速度和長度. 【思路分析】本題可通過畫線段圖來表示有關量的數(shù)量關系，火車在通過鐵路橋時，從車頭上橋到車

18、尾出橋歷時30秒，火車所行駛的路程是橋長與火車長的和；同理，它穿過一段200米長的隧道用了32秒，其所行駛的路程是隧道長與火車長的和.若設火車速度是xm/s,火車長為ym,其 示意圖如下所示： 解：設火車速度是xm/s,火車長為ym, 根據(jù)題意列方程組得 解方程組得 答：火車速度是20m/s,火車長為440m. 點評：有關速度、時間及路程的問題，一般情況下可通過畫直線型示意圖幫助理解題意，這充分運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法. 變式題1 汽車從甲地到乙地，若每小時行駛45千米，就要延誤30分鐘到達；若每分鐘行駛50千米，那就可以提前30分鐘到達，求甲、乙兩地之間的距離及原計劃行

19、駛的時間. 中考名題欣賞(師生共同完成) 例1請寫出一個以為未知數(shù)的二元一次方程組，且同時滿足下列兩個條件： ①由兩個二元一次方程組成， ②方程組的解為 這樣的方程組可以是 ． 解析：本題結(jié)論開放，答案不唯一，如： 例2二元一次方程組的解是（ ） A． B． C． D． 例3解方程組 例4已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．請從這三個方程中選擇你喜歡的兩個方程，組成一個方程組，并求出這個方程組的解． 例5已知方程組的解為，則的值為

20、 （ B ） A． B． C． D． 例6若方程，和有公共解，則的取值為　　　． 例7小劉同學用10元錢購買兩種不同的賀卡共8張，單價分別是1元與2元．設1元的賀卡為張，2元的賀卡為張，那么所適合的一個方程組是（ ） A． B． C． D． 例8國家為九年義務教育期間的學生實行“兩免一補”政策，下表是我市某中學國家免費提供教科書補助的部分情況． 年 級 項 目 七 八 九 合計 每人免費補助金額（元） 110 90 50 人數(shù)（人） 80 300 免費補助總金額（元） 4000 26200

21、 如果要知道空白處的數(shù)據(jù)，可設七年級的人數(shù)為，八年級的人數(shù)為，根據(jù)題意列出方程組為（　?。? A． B． C． D． 例9下圖是一個正方體的展開圖，標注了字母“”的面是正方體的正面．如果正方體相對兩個面上的代數(shù)式的值相等，求的值． 例10某商場正在熱銷2008年北京奧運會吉祥物“福娃”玩具和徽章兩種奧運商品，根據(jù)下圖提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的價格各是多少元？ 共計145元 共計280元 答：一盒“福娃”玩具和一枚徽章的價格分別為元和元． 例11市政府根據(jù)社會需要，對自來水價格舉行了聽證會，決定從今年

22、4月份起對自來水價格進行調(diào)整． 調(diào)整后生活用水價格的部分信息如下表： 用水量（m3） 單價（元/m3） 5m3以內(nèi)（包括5m3）的部分 2 5m3以上的部分 x 已知5月份小晶家和小磊家分別交水費19元、31元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的1.5倍．請你通過上述信息，求出表中的x. 例12某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳．經(jīng)過測試：同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學生就餐． （1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐； （2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐？請說明理由．