平面幾何五種模型.doc

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10 / 10 平面幾何五種模型 等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似，共邊 1、等積模型 等底等高的2個(gè)三角形面積相等 2個(gè)三角形高相等，面積比=底之比 2個(gè)三角形底相等，面積比=高之比 夾在一組平行線之間的等積變形（方方模型） 等積模型是基本應(yīng)用應(yīng)是爛熟于心的 都是利用面積公式得到的推定比例 如下： 1等底等高的2個(gè)平行四邊形面積相等 2三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面積的一半 3 2個(gè)平行四邊形高相等，面積比=底之比；2個(gè)平行四邊形底相等，面積比=高之比 2、鳥(niǎo)頭模型（共角定理） 鳥(niǎo)頭定理：2個(gè)三角形中，有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這2個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比（夾角2邊 ） 鳥(niǎo)頭定理的使用要火眼金睛，經(jīng)常需要自己補(bǔ)一條輔助線同時(shí)經(jīng)過(guò)2次以上轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)才能得到結(jié)果。 如圖，淺紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于淺紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC里面，注意，鳥(niǎo)頭定理用的是乘積比！不是單獨(dú)的線段比~ 記憶上用夾角2邊 最好記，這里等于 鳥(niǎo)頭定理的證明，寫(xiě)出來(lái)是因?yàn)楹芏囝}目的解題過(guò)程，都需要補(bǔ)這么一條輔助線來(lái)過(guò)度連接2個(gè)看起來(lái)無(wú)關(guān)的圖形。證明的途徑其實(shí)跟我們?nèi)粘＝忸}途徑重合，所以寫(xiě)出來(lái)，仔細(xì)看。 經(jīng)由媒介的?ABE，聯(lián)系了?ADE和大三角形?ABC BE輔助線很重要！鳥(niǎo)頭定理是用等高（等于是用等積推算而得） 第二種的證明方式將對(duì)頂角壓回來(lái)?ABC內(nèi)，對(duì)頂角性質(zhì)是相等的，所以壓回來(lái)的新?跟?ADE是全等?，再做一條輔助線就能用共角的方式證明出對(duì)角的鳥(niǎo)頭定理 互補(bǔ)角的鳥(niǎo)頭定理證明 寫(xiě)了這幾個(gè)證明，其實(shí)說(shuō)的目的只有一個(gè)：連接小三角形和大三角形過(guò)度的那條輔助線，特別重要！ 3蝴蝶模型 任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶 ①或者 ② 【上下比】 = = = 【上上比】 = == 由上述比例可以按數(shù)學(xué)運(yùn)算原則推出很多規(guī)則：如 面積交叉相乘的乘積相等 = = 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶） ①→上：下= ②→上：下：左：右= ③的對(duì)應(yīng)份數(shù)為→a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有↑ 4 相似三角形 形狀相同，大小不同的三角形，只要形狀不變，無(wú)論大小怎么改變，他們都相似。 1 相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且=它們的相似比 2 相似三角形的面積比=相似比的平方 3 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線 三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)=它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半 就是三角形任2邊中點(diǎn)連出來(lái)的中位線就是第三邊長(zhǎng)的一半！ 出題幾率：多產(chǎn)生于2條平行線造成的相似三角形 金字塔模型 沙漏模型 S?ADE：S?ABC=AF2：AG2 特別注意！相似三角形的面積比是等于相似比的平方 5 共邊定理 燕尾模型、風(fēng)箏模型、塞瓦定理 共邊定理說(shuō)明 如圖一想知道?PAB和?QAB的面積比？我們就如圖二做個(gè)高，因?yàn)橥祝ň褪枪灿靡粋€(gè)邊）所以面積比=髙之比，再想辦法偷懶，延長(zhǎng)PQ、AB的線相交于M，那么剛學(xué)的相似三角形可以派上用場(chǎng)，因?yàn)?PDM?QEM如圖三 M 所以= 共邊定理：若直線AB和PQ相交于點(diǎn)M（4種情況）則有 = 圖一 圖二 圖三 圖四 最常應(yīng)用到的其實(shí)是圖一，無(wú)論在三角形或四邊形上我們喜歡用共邊2方的不同三角形面積比來(lái)比出線段比。（圖形不重疊） 圖二的比例圖形有重疊，所以線段長(zhǎng)度也是重疊比~ 圖三就是“燕尾定理”圖形不重疊，所以線段比不重疊。 圖四是四邊形，做比的三角形有重疊，而比值是四邊形的頂：延長(zhǎng)線段QM(切記，唯一對(duì)比線段不在圖形內(nèi)的哈) 共邊定理的證明 = 1，M點(diǎn)是PQ和AB延長(zhǎng)后的交點(diǎn) 2，取N，使得MN長(zhǎng)度=AB 3、== ?PNM和?QNM是等高?， 塞瓦定理（燕尾定理模型補(bǔ)充） 三邊比例互乘為1 在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于E、F、D，則得出 × × = 1 特殊題：參考共邊定理2圖（重疊）可得 三角形一邊上之點(diǎn)到三邊線交點(diǎn)O的長(zhǎng)度：同邊線全長(zhǎng)的比值，3邊比值相加=1 + + =1