北京科技大學(xué)附中2013版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 沖刺訓(xùn)練提升 推理與證明

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1、北京科技大學(xué)附中2013版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺訓(xùn)練提升：推理與證明 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題 (本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．用反證法證明命題＂如果a>b,那么a3>b3＂時(shí),下列假設(shè)正確的是( ) A．a(chǎn)3b3 【答案】B 2．已知是銳角，則下列各式成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 3．每設(shè)則(

2、 ) A．都不大于 B．都不小于 C．至少有一個(gè)不大于 D．至少有一個(gè)不小于 【答案】C 4．觀察式子：，，，，則可歸納出式子為( ) A． B． C． D． 【答案】C 5．用反證法證明命題“，如果可被5整除，那么，至少有1個(gè)能被5整除．則假設(shè)的內(nèi)容是( ) A．，都能被5整除 B．，都不能被5整除 C．不能被5整除 D．，有1個(gè)不能被5整除 【答案】B 6．“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電”這種推理屬于( ) A．演繹推理 B．類比推理 C．合情推理 D．歸納推理 【答案】A 7．某人進(jìn)行了如下的“三段論”推理：

3、如果，則是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)。你認(rèn)為以上推理的( ) A． 大前提錯(cuò)誤 B． 小前提錯(cuò)誤 C． 推理形式錯(cuò)誤 D． 結(jié)論正確 【答案】A 8．我們常用以下方法求形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：先兩邊同取自然對(duì)數(shù)得：，再兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到：，于是得到：，運(yùn)用此方法求得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A．（，4） B．（3，6） C.（0，） D．（2，3） 【答案】C 9．給出下列四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程： ①∵a，b∈Ｒ＋，　　∴（b／a）+（a／b）≥2=2; 　　②∵x，y∈Ｒ＋，　　∴lgx+lgy≥2; 　③∵a∈R，a

4、≠0，　　∴（4／a）+a≥2=4; 　④∵x，y∈R，xy＜0， 　　∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2=-2. 其中正確的是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 10．一個(gè)正整數(shù)數(shù)表如下（表中下一行中的數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍）： 則第9行中的第4個(gè)數(shù)是( ) A．132 B．255 C．259 D．260 【答案】C 11．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)．比如： 他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地

5、，稱圖2中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( ) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 【答案】C 12．推理：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，而矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形的對(duì)邊平行且相等．以上推理的方法是( ) A．歸納推理 B．類比推理 C．演繹推理 D．以上都不是 【答案】C 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題 (本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．我們把形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，可以利用對(duì)法數(shù)：在函數(shù)解析式兩邊求對(duì)數(shù)得，兩

6、邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得于是，運(yùn)用此方法可以求得函數(shù)在（1，1）處的切線方程是 。 【答案】 14．觀察下列等式， 1=12, 2+3+4=32, 3+4+5+6+7=52, 4+5+6+7+8+9+10=72, …從中歸納出的一般性法則是____________ 【答案】 15．已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3, …，啟發(fā)我們可以得出推廣結(jié)論：≥n+1 (n∈N*)，則a=____________． 【答案】 16．已知：中，于，三邊分別是，則有；類比上述結(jié)論，寫(xiě)出下列條件下的結(jié)論：四面體中，，的面積分別是，二面角的度數(shù)分別是，則　　　?。? 【答案

7、】 三、解答題 (本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 17．用三段論方法證明：． 【答案】因?yàn)椋裕ù颂幨÷粤舜笄疤幔? 所以（兩次省略了大前提，小前提）， 同理，，， 三式相加得． (省略了大前提，小前提） 18．用適當(dāng)方法證明：如果那么。 【答案】 . ∵ ∴ ∴. 19．若函數(shù)滿足下列條件：在定義域內(nèi)存在使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)；反之，若不存在，則稱函數(shù)不具有性質(zhì). (1）證明：函數(shù)具有性質(zhì)，并求出對(duì)應(yīng)的的值； (2）已知函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍； (3）試探究形如①、②、③、④、⑤的函數(shù)，指出哪些函數(shù)一定具有性質(zhì)

8、?并加以證明. 【答案】（1）代入得： 即，解得 ∴函數(shù)具有性質(zhì). (2）的定義域?yàn)镽，且可得， ∵具有性質(zhì)， ∴存在，使得,代入得 化為 整理得: 有實(shí)根 ①若,得，滿足題意； ②若,則要使有實(shí)根，只需滿足, 即，解得 ∴ 綜合①②,可得 (3）解法一：函數(shù)恒具有性質(zhì)，即關(guān)于的方程（*）恒有解. 　　　①若，則方程（*）可化為 　　　　　整理，得 　　　　　當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程（*）無(wú)解 ∴不恒具備性質(zhì)； ②若，則方程（*）可化為，解得. ∴函數(shù)一定具備性質(zhì). ③若，則方程（*）可化為無(wú)解 　∴不具備性質(zhì)； ④若，則方程（*）可化為，化簡(jiǎn)得

9、當(dāng)時(shí)，方程（*）無(wú)解 　∴不恒具備性質(zhì)； ⑤若，則方程（*）可化為，化簡(jiǎn)得 　顯然方程無(wú)解 　∴不具備性質(zhì)； 綜上所述，只有函數(shù)一定具備性質(zhì). 解法二：函數(shù)恒具有性質(zhì)，即函數(shù)與的圖象恒有公共點(diǎn).由圖象分析，可知函數(shù)一定具備性質(zhì). 　　下面證明之： 方程可化為，解得. ∴函數(shù)一定具備性質(zhì). 20．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列， 分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，求證： 。 【答案】要證，即需證。 即證。又需證，需證 ∵△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列?！郆=60°。 由余弦定理，有，即。 ∴成立，命題得證。 21．已知是整數(shù)，是偶數(shù)，求證：也是偶數(shù)． 【答案】（反證法）假設(shè)不是偶數(shù)，即是奇數(shù)． 設(shè)，則． 是偶數(shù)， 是奇數(shù)，這與已知是偶數(shù)矛盾． 由上述矛盾可知，一定是偶數(shù)． 22．已知，且，. 求證：對(duì)于，有. 【答案】，； ，； 在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)， ， 又 ， 在R上為減函數(shù)，且 ， 從而