小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種面積模型(等積,鳥(niǎo)頭,蝶形,相似,共邊).doc

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小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似，共邊） 目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型）， 掌握五大面積模型的各種變形 知識(shí)點(diǎn)撥 一、等積模型 ①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； ②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如右圖 ③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖； 反之，如果，則可知直線平行于． ④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)； ⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； ⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比． 二、鳥(niǎo)頭定理 兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比． 如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 ⑴(或在的延長(zhǎng)線上，在上)， 則 圖⑴ 圖⑵ 三、蝶形定理 任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝶形定理”)： ①或者② 蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑．通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系． 梯形中比例關(guān)系(“梯形蝶形定理”)： ① ②； ③的對(duì)應(yīng)份數(shù)為． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①； ②． 所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下： ⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比； ⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方； ⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線． 三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半． 相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具． 在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形． 五、共邊定理（燕尾模型和風(fēng)箏模型） 在三角形中，，，相交于同一點(diǎn)，那么． 上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶停赃@個(gè)定理被稱(chēng)為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑. 典型例題 【例 1】 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，1.5，2．長(zhǎng)方形EFGH的面積為 ． _ H _ G _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ A _ B _ C _ D _ E _ F _ G _ H 【解析】 連接DE，DF，則長(zhǎng)方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍． 三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積， ,所以長(zhǎng)方形EFGH面積為33． 【鞏固】如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？ _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D 【解析】 本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)．三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半． 證明：連接．(我們通過(guò)把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一起)． ∵在正方形中，邊上的高， ∴(三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半) 同理，． ∴正方形與長(zhǎng)方形面積相等． 長(zhǎng)方形的寬(厘米)． 【例 2】 長(zhǎng)方形的面積為36，、、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積是多少？ 【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、、，而 即； 而，． 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點(diǎn)法．找的特殊點(diǎn)，把點(diǎn)與點(diǎn)重合， 那么圖形就可變成右圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥(niǎo)頭定理，則有： ． 【鞏固】在邊長(zhǎng)為6厘米的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別與點(diǎn)連接,求陰影部分面積． 【解析】 （法1）特殊點(diǎn)法．由于是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法，假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米． （法2）連接、． 由于與的面積之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米． 【例 3】 如圖所示，長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，，，四邊形的面積為 ． 【解析】 利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進(jìn)而求出四邊形的面積． 由于長(zhǎng)方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為； 又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為． 另解：從整體上來(lái)看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長(zhǎng)方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為． 【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形的面積是36，是的三等分點(diǎn)，，則陰影部分的面積為 ． 【解析】 如圖，連接． 根據(jù)蝶形定理，，所以； ，所以． 又，，所以陰影部分面積為：． 【例 4】 已知為等邊三角形，面積為400，、、分別為三邊的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積．(丙是三角形) 【解析】 因?yàn)?、、分別為三邊的中點(diǎn)，所以、、是三角形的中位線，也就與對(duì)應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形和三角形的面積都等于三角形的一半，即為200． 根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有， 即，所以． 又，所以． 【例 5】 如圖，已知，，，，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的面積是 ． 【解析】 連接，． 根據(jù)題意可知，；； 所以，，，，， 于是：；； 可得．故三角形的面積是40． 【例 6】 如圖在中，分別是上的點(diǎn)，且，，平方厘米，求的面積． 【解析】 連接，， ，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比 ． 【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 連接． ∵ ∴ 又∵ ∴，∴． 【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，，，，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？ 【解析】 連接． ∵， ∴， 又∵， ∴，∴，． 【例 7】 如圖在中，在的延長(zhǎng)線上，在上，且， ，平方厘米，求的面積． 【解析】 連接， ， 所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比 【例 8】 如圖，平行四邊形，，，，，平行四邊形的面積是， 求平行四邊形與四邊形的面積比． 【解析】 連接、．根據(jù)共角定理 ∵在和中，與互補(bǔ)， ∴． 又，所以． 同理可得，，． 所以． 所以． 【例 9】 如圖所示的四邊形的面積等于多少？ 【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長(zhǎng)方形，難以運(yùn)用公式直接求面積. 我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對(duì)圖形實(shí)施變換： 把三角形繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使長(zhǎng)為的兩條邊重合，此時(shí)三角形將旋轉(zhuǎn)到三角形 的位置.這樣，通過(guò)旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，且這個(gè)正方形的面積就是原來(lái)四邊形的面積. 因此，原來(lái)四邊形的面積為.(也可以用勾股定理) 【例 10】 如圖所示，中，，，，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積． 【解析】 如圖，將沿著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到達(dá)的位置． 由于，，所以．而， 所以，那么、、三點(diǎn)在一條直線上． 由于，，所以是等腰直角三角形，且斜邊為，所以它的面積為． 根據(jù)面積比例模型，的面積為． 【例 11】 如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形，，、交于．已知、的長(zhǎng)分別為、，求三角形的面積． 【解析】 如圖，連接，以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置． 那么，而也是，所以四邊形是直角梯形，且， 所以梯形的面積為： ()． 又因?yàn)槭侵苯侨切?，根?jù)勾股定理，，所以()． 那么()， 所以()． 【例 12】 如下圖，六邊形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，對(duì)角線垂直于，已知厘米，厘米，請(qǐng)問(wèn)六邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如圖，我們將平移使得與重合，將平移使得與重合，這樣、都重合到圖中的了．這樣就組成了一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，所以六邊形的面積為平方厘米． 【例 13】 如圖，三角形的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)．則四邊形的面積等于 ． 【解析】 方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，，, 設(shè)份，則份，份，份，如圖所標(biāo) 所以 方法二：連接，由題目條件可得到， ，所以， ， 而．所以則四邊形的面積等于． 【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，，是的中點(diǎn)．陰影部分的面積是多少平方厘米? 【解析】 設(shè)份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米. 【例 14】 四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)(如圖所示)．如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_________倍． 【解析】 在本題中，四邊形為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無(wú)外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過(guò)畫(huà)輔助線來(lái)改造不良四邊形．看到題目中給出條件，這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法．又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中介來(lái)改造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比．再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果．請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝶形定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問(wèn)題． 解法一：∵，∴，∴． 解法二：作于，于． ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． 【鞏固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知， 求：⑴三角形的面積；⑵？ 【解析】 ⑴根據(jù)蝶形定理，，那么； ⑵根據(jù)蝶形定理，． 【例 15】 如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，、、、的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積． 【解析】 ⑴根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為； ⑵由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為， 根據(jù)蝶形定理，，所以， 那么． 【例 16】 如圖，長(zhǎng)方形中，，，三角形的面積為平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積． 【解析】 連接，． 因?yàn)?，，所以? 因?yàn)?，，所以平方厘米，所以平方厘米．因?yàn)?，所以長(zhǎng)方形的面積是平方厘米． 【例 17】 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積． 【解析】 因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，根據(jù)梯形蝶形定理可以知道 ，設(shè)份，則 份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米． 【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米． 【解析】 連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝶形定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)． 【例 18】 已知是平行四邊形，，三角形的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是 平方厘米． 【解析】 連接． 由于是平行四邊形，，所以， 根據(jù)梯形蝶形定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，陰影部分面積為(平方厘米)． 【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米． 【分析】 連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么． 根據(jù)蝶形定理，，故， 所以(平方厘米)． 【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米． 【解析】 連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么． 根據(jù)蝶形定理，，故，所以(平方厘米)． 另解：在平行四邊形中，(平方厘米)， 所以(平方厘米)， 根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為(平方厘米)． 【例 19】 如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_(kāi)__________平方厘米． 【解析】 連接、．四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝶形定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)． 【例 20】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點(diǎn)．已知正方形的面積48，，則的面積是多少？ 【解析】 由于是正方形，所以與平行，那么四邊形是梯形．在梯形中，和的面積是相等的．而，所以的面積是面積的，那么的面積也是面積的． 由于是等腰直角三角形，如果過(guò)作的垂線，為垂足，那么是的中點(diǎn)，而且，可見(jiàn)和的面積都等于正方形面積的一半，所以的面積與正方形的面積相等，為48． 那么的面積為． 【例 21】 下圖中，四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，、、、分別是，，，的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么，的值等于 ． 【解析】 左、右兩個(gè)圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積． 如下圖所示，在左圖中連接．設(shè)與的交點(diǎn)為． 左圖中為長(zhǎng)方形，可知的面積為長(zhǎng)方形面積的，所以三角形的面積為．又左圖中四個(gè)空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為． 如上圖所示，在右圖中連接、．設(shè)、的交點(diǎn)為． 可知∥且．那么三角形的面積為三角形面積的，所以三角形 的面積為，梯形的面積為． 在梯形中，由于，根據(jù)梯形蝶形定理，其四部分的面積比為：，所以三角形的面積為，那么四邊形的面積為．而右圖中四個(gè)空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為． 那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為，即， 那么． 【例 22】 如圖， 中，，，互相平行，， 則 ． 【解析】 設(shè)份，根據(jù)面積比等于相似比的平方， 所以，， 因此份，份， 進(jìn)而有份，份，所以 【鞏固】如圖，平行，且，，，求的長(zhǎng)． 【解析】 由金字塔模型得，所以 【鞏固】如圖， 中，，，，，互相平行， ，則 ． 【解析】 設(shè)份，，因此份，進(jìn)而有份，同理有份，份，份． 所以有 【例 23】 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，是邊的中點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，求 【解析】 方法一：連接，延長(zhǎng)，兩條線交于點(diǎn)，構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所以有，因此，根據(jù)題意有，再根據(jù)另一個(gè)沙漏有，所以． 方法二：連接，分別求，，根據(jù)蝶形定理，所以． 【例 24】 如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點(diǎn)， 交于，求的面積． 【解析】 解法一：由題意可得，、是、的中點(diǎn)，得，而， 所以， 并得、是的三等分點(diǎn)，所以，所以 ，所以，； 又因?yàn)椋裕? 解法二：延長(zhǎng)交于，如右圖， 可得，，從而可以確定的點(diǎn)的位置， ，，(鳥(niǎo)頭定理)， 可得 【例 25】 如圖，為正方形，且，請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為多少？ 【解析】 (法)由，有，所以，又，所以 ，所以，所以占的， 所以． (法)如圖，連結(jié)，則(， 而，所以，()． 而()，因?yàn)椋? 所以，則()，陰影部分面積等于 ()． 【例 26】 如右圖，三角形中，，，求． 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以 【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！ 【鞏固】如右圖，三角形中，，，求. 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以 【鞏固】如右圖，三角形中，，，求. 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以 【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！ 【例 27】 如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，則三角形的面積為_(kāi)_____，三角形的面積為_(kāi)_______，三角形的面積為_(kāi)_____． 【分析】 連接、、． 由于，所以，故； 根據(jù)燕尾定理，，，所以 ，則，； 那么； 同樣分析可得，則，，所以，同樣分析可得， 所以，． 【鞏固】 如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，求三角形的面積． 【解析】 連接BG，份 根據(jù)燕尾定理，， 得(份)，(份)，則(份)，因此, 同理連接AI、CH得,,所以 三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19 【鞏固】如圖，中，，，那么的面積是陰影三角形面積的 倍． 【分析】 如圖，連接． 根據(jù)燕尾定理，，， 所以，，那么，． 同理可知和的面積也都等于面積的，所以陰影三角形的面積等于面積的，所以的面積是陰影三角形面積的7倍． 【鞏固】如圖在中，,求的值． 【解析】 連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,,所以 【點(diǎn)評(píng)】如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對(duì)稱(chēng)法作輔助線. 【例 28】 如圖，三角形的面積是，，，三角形被分成部分，請(qǐng)寫(xiě)出這部分的面積各是多少? 【解析】 設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P，BG與AE交于點(diǎn)Q，BF與AD交于點(diǎn)M，BF與AE交于點(diǎn)N．連接CP，CQ，CM，CN． 根據(jù)燕尾定理，，，設(shè)(份)，則(份)，所以 同理可得，,,而，所以，． 同理，,所以，,, 【鞏固】如圖，的面積為1，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形的面積是多少？ 【解析】 連接、、． 根據(jù)燕尾定理，，， 所以，那么，． 類(lèi)似分析可得． 又，，可得． 那么，． 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知四邊形的面積也為，那么四邊形周?chē)膱D形的面積之和為，所以四邊形的面積為． 【例 29】 右圖，中，是的中點(diǎn)，、、是邊上的四等分點(diǎn)，與交于，與交于，已知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？ 【解析】 連接、． 根據(jù)燕尾定理，，，所以； 再根據(jù)燕尾定理，，所以，所以，那么，所以． 根據(jù)題意，有，可得(平方厘米) 【例 30】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開(kāi)會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！ 令BI與CD的交點(diǎn)為M，AF與CD的交點(diǎn)為N，BI與AF的交點(diǎn)為P,BI與CE的交點(diǎn)為Q,連接AM、BN、CP ⑴求：在中，根據(jù)燕尾定理， 設(shè)(份)，則(份),(份),(份), 所以，所以,, 所以, 同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是面積的 ⑵求：在中，根據(jù)燕尾定理, 所以,同理 在中，根據(jù)燕尾定理, 所以，所以 同理另外兩個(gè)五邊形面積是面積的，所以 【例 31】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積. 【解析】 設(shè)深黑色六個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為N、R、P、S、M、Q，連接CR 在中根據(jù)燕尾定理，, 所以,同理, 所以，同理 根據(jù)容斥原理，和上題結(jié)果 課后練習(xí)： 練習(xí)1. 已知的面積為平方厘米，，求的面積． 【解析】 ， 設(shè)份，則份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米 練習(xí)2. 如圖，四邊形的面積是平方米，，，，，求四邊形的面積． 【解析】 連接．由共角定理得，即 同理，即 所以 連接，同理可以得到 所以平方米 練習(xí)3. 正方形的面積是120平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形的面積是 平方厘米． 【解析】 欲求四邊形的面積須求出和的面積． 由題意可得到：，所以可得： 將、延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得： ， 而，得， 而，所以 ． 本題也可以用蝶形定理來(lái)做，連接，確定的位置(也就是)，同樣也能解出． 練習(xí)4. 如圖，已知，，，，則 ． 【解析】 將三角形繞點(diǎn)和點(diǎn)分別順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，構(gòu)成三角形和，再連接，顯然，，，所以是正方形．三角形和三角形關(guān)于正方形的中心中心對(duì)稱(chēng)，在中心對(duì)稱(chēng)圖形中有如下等量關(guān)系： ；；． 所以． 練習(xí)5. 如圖，正方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形 的面積是_____平方厘米． 【解析】 連接,根據(jù)沙漏模型得,設(shè)份，根據(jù)燕尾定理份，份，因此份，，所以(平方厘米). 練習(xí)6. 如圖，中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，若的面積為1，那么四邊形的面積是_________． 【解析】 由于點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，如果能求出、、三段的比，那么所分成的六小塊的面積都可以求出來(lái)，其中當(dāng)然也包括四邊形的面積． 連接、． 根據(jù)燕尾定理，，而，所以，那么，即． 那么，． 另解：得出后，可得， 則． 練習(xí)7. 如右圖，三角形中，，且三角形的面積是，求角形 的面積． 【解析】 連接BG，12份 根據(jù)燕尾定理，， 得(份)，(份)，則(份)，因此, 同理連接AI、CH得,,所以 三角形ABC的面積是,所以三角形GHI的面積是 月測(cè)備選 【備選1】 按照?qǐng)D中的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個(gè)直角三角形．已知甲三角形兩條直角邊分別為和，乙三角形兩條直角邊分別為和，求圖中陰影部分的面積． 【解析】 如右圖，我們將三角形甲與乙進(jìn)行平移，就會(huì)發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積等于平移后兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和．所以陰影部分面積為： 【備選2】 如圖所示，矩形的面積為36平方厘米，四邊形的面積是3平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米． 【解析】 因?yàn)槿切蚊娣e為矩形的面積的一半，即18平方厘米，三角形面積為矩形的面積的，即9平方厘米，又四邊形的面積為3平方厘米，所以三角形與三角形的面積之和是平方厘米． 又三角形與三角形的面積之和是矩形的面積的一半，即18平方厘米，所以陰影部分面積為(平方厘米)． 【備選3】 如圖，已知，，與相交于點(diǎn),則被分成的部分面積各占 面積的幾分之幾？ 【解析】 連接,設(shè)份，則其他部分的面積如圖所示，所以份，所以四部分按從小到大各占面積的 【備選4】 如圖，在中，延長(zhǎng)至，使，延長(zhǎng)至，使，是的中點(diǎn)，若的面積是，則的面積是多少？ 【解析】 ∵在和中，與互補(bǔ)， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以 【備選5】 如圖，,,則 【解析】 根據(jù)燕尾定理有,,所以 【備選6】 如圖在中，,求的值． 【解析】 連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,, 所以