數(shù)學(xué)名師葉中豪整理高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何講義(完整版).doc

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. . 高中平面幾何 葉中豪 學(xué)習(xí)要點(diǎn) 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化 圓冪與根軸 P’tolemy定理及應(yīng)用 幾何變換及相似理論 位似及其應(yīng)用 完全四邊形與Miquel點(diǎn) 垂足三角形與等角共軛 反演與配極，調(diào)和四邊形 射影幾何 復(fù)數(shù)法及重心坐標(biāo)方法 例題和習(xí)題 1．四邊形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且。求證：2EF=DE+DC。（10081902.gsp） 2．已知相交兩圓O和O'交于A、B兩點(diǎn)，且O'恰在圓O上，P為圓O的AO'B弧段上任意一點(diǎn)?！螦PB的平分線交圓O'于Q點(diǎn)。求證：PQ2=PA×PB。（10092401-1. gsp） 3．設(shè)三角形ABC的Fermat點(diǎn)為R，連結(jié)AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九點(diǎn)圓心分別為D，E，F(xiàn)，則三角形DEF為正三角形。（10082602.gsp） 4．在△ABC中，已知∠A的內(nèi)角平分線和外角平分線分別交外接圓于D、E，點(diǎn)A關(guān)于D、E的對(duì)稱點(diǎn)分別為F、G，△ADG和△AEF的外接圓交于A和另一點(diǎn)P。求證：AP//BC。（10092102.gsp） 5．圓O1和圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，P是直線AB上一點(diǎn)，過(guò)P作兩圓作切線，分別切圓O1和圓O2于點(diǎn)C、D，又兩圓的一條外公切線分別切圓O1和圓O2于點(diǎn)E，F(xiàn)。求證：AB、CE、DF共點(diǎn)。（10092201.gsp） 6．四邊形ABCD中，M是AB邊中點(diǎn)，且MC=MD，過(guò)C、D分別作BC、AD的垂線，兩條垂線交于P點(diǎn)，再作PQ⊥AB于Q。求證：∠PQC=∠PQD。（10081601-26.gsp） 7．已知RT△ABD∽R(shí)T△ADC，M是BC中點(diǎn)，AD與BC交于E，自C作AM垂線交AD于F。求證：DE=EF。（10083001.gsp） 8．在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點(diǎn)，E是△ABC外一點(diǎn)，滿足CE⊥AB，BE=BD。過(guò)線段BE的中點(diǎn)M作直線MF⊥BE，交△ABD的外接圓的劣弧AD于點(diǎn)F。求證：ED⊥DF。（2010年女子競(jìng)賽）（10081601-4.gsp） 9．設(shè)圓I1是△ABC的BC邊外的旁切圓，D、E、F分別是切點(diǎn)，若I1D與EF交于P點(diǎn)。求證：AP平分底邊BC。（10082001-8.gsp） 10．如圖，⊙O切△ABC的邊AB于點(diǎn)D，切邊AC于點(diǎn)C，M是邊BC上一點(diǎn)，AM交CD于點(diǎn)N．求證：M是BC中點(diǎn)的充要條件是ON⊥BC。（09031302.gsp） 11．已知：BC是圓上的定弦，而動(dòng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是AC中點(diǎn)，作MP⊥AB于P。求P點(diǎn)的軌跡。（10081601-4.gsp） 12．△ABC外接圓為圓O，P為AB上一點(diǎn)，過(guò)P分別作OA、OB的垂線，與AC、BC交于S、T，與AB交于M、N。求證：PM=MS的充要條件是PN=NT。（10081601-3.gsp） 13．在ΔABC中AC＞BC，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，過(guò)F作它的外接圓直徑DE，使得C、E在AB同一側(cè)，又過(guò)C做AB的平行線交DE于L。 求證 ：(AC+BC) 2＝4DL×EF。 （09011003.gsp） 14．已知：P是垂直ABC外接圓BC弧上任意一點(diǎn)，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F。求證：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp） 15．已知O是△ABC的外心，M是BC邊中點(diǎn)，D是OM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足DO=DB，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，滿足∠MEA=∠MFA=∠A。求證：AD⊥EF。（10080302.gsp） 16．已知△ABC中，AB＝AC，線段AB上有一點(diǎn)D，線段AC延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，使得DE＝AB。線段DE與△ABC的外接圓交于點(diǎn)T，P是線段AT延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：點(diǎn)P滿足PD＋PE＝AT的充要條件是P在△ADE的外接圓上。（2000年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)）（10082201-1.gsp） 17．已知△ABC中，內(nèi)心I關(guān)于BC邊中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為I'，S是BC?。ú缓珹點(diǎn)）中點(diǎn)，直線SI'交△ABC的外接圓于另一點(diǎn)P。求證：P點(diǎn)到△ABC較遠(yuǎn)的頂點(diǎn)距離等于到另兩個(gè)頂點(diǎn)距離的和。（10082201-5.gsp） 18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，聯(lián)結(jié)AD、BE、CF。 求證：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（10081601-2.gsp） 19．過(guò)△ABC內(nèi)一點(diǎn)O引三邊AB、BC、CA的平行線與其它兩邊的交點(diǎn)分別為E、F、G、H、I、K，過(guò)O作△ABC的外接圓的弦AL。 求證：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（09042002.gsp） 20．一小圓內(nèi)切大圓于點(diǎn)N，BA、BC是大圓的兩條弦，且分別切小圓于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中點(diǎn)分別為Q、P，又設(shè)△BQK、△BPM外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B1。求證：BPB1Q為平行四邊形。（10082001-1.gsp） 21．圓O與圓O1、圓O2同時(shí)相切，切點(diǎn)為S、T，圓O1與圓O2交于A、B兩點(diǎn)，且圓O2的圓心恰在圓O1上。設(shè)公共弦AB延長(zhǎng)交圓O于C、D兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)SC、SD分別交圓O1于P和Q。求證：PQ與圓O2相切。（40屆IMO）（10082001-12.gsp） 22．設(shè)KL、KN是圓O的切線，M是KN延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)K、L、M三點(diǎn)的圓與圓O交于P，作NQ⊥LM于Q。求證：∠MPQ=2∠NML。（98年伊朗競(jìng)賽）（10081601-5、6.gsp）（09022203.gsp） 23．設(shè)△ABC內(nèi)接于圓O，過(guò)O作OE⊥BC交圓O于E，交AB于F，交AC延長(zhǎng)線于G。過(guò)G作圓O的切線GT，T為切點(diǎn)。求證：TF⊥GE。（10092104.gsp） 24．已知圓O外一點(diǎn)P向圓O作切線PA、PB和一條割線PEF，M是EF上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM延長(zhǎng)交圓O于C。求證：AC//PEF的充要條件是M為EF中點(diǎn)。（10092401-6.gsp） 25．過(guò)點(diǎn)P任作圓O的兩條割線PAB、PCD，直線AD與BC交于Q，弦DE//PQ，BE交PQ延長(zhǎng)線于M。求證：OM⊥PQ。（10092103-1.gsp） 26．如圖，設(shè)⊙O1與⊙O2交于AB兩點(diǎn)。AC是⊙O2的切線，交⊙O1于C點(diǎn)。AD是⊙O1的切線，交⊙O2于D點(diǎn)。過(guò)A任作直線，交⊙O1、⊙O2及經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓分別于M、N、P。求證：AM=NP。（10091002-6.gsp） 27．兩圓圓O1和圓O2相交于M、P，過(guò)M作圓O2的切線交圓O1于A；又過(guò)M作圓O1的切線交圓O2于B，在直線MP上截取PH=MP。求證：四邊形MAHB內(nèi)接于圓。（10091002-1.gsp） 28．已知兩個(gè)半徑不等的圓O1和圓O2相交于M、N兩點(diǎn)，且圓O1和圓O2分別與圓O內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：OM⊥MN的充要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。（1997年全國(guó)聯(lián)賽）（10090301-3.gsp） 29．設(shè)以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A和C，且與邊AB、BC分別交于K和N，又設(shè)△ABC和△KBN的外接圓交于B和另一點(diǎn)M。求證：∠OMB=90°。 （1985年IMO）（10090301-1.gsp） 30．已知：在△OAB與△OCD中，OA=OB，OC=OD，直線AB與CD交于點(diǎn)P，△PAC與△PBD的外接圓交于P、Q兩點(diǎn)。求證：OQ⊥PQ。（09022301.gsp） 31．已知半圓圓心為O，直徑為AB，一直線交半圓于C、D，交AB延長(zhǎng)線于P，設(shè)M是△AOC與△BOD外接圓除O點(diǎn)外的另一交點(diǎn)。求證：OM⊥MP。（10091001.gsp） 32．凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，兩組對(duì)邊所在直線分別交于點(diǎn)E、F，對(duì)角線AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圓O的弦MN經(jīng)過(guò)G點(diǎn)。求證：GH與圓O交點(diǎn)恰是△HMN的內(nèi)心。（10092103-2.gsp） 33．⊙O為△ABC的外接圓，P為劣弧AB上一點(diǎn)，E、F分別為AC、AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BE、CF交于D，PE、PF分別交⊙O于S、R。若AD、BC、RS共點(diǎn)，求證：點(diǎn)D在⊙O上。（10090801.gsp）（10092103-8.gsp） 34．已知：D、E、F分別在△ABC三邊上，滿足EB＝ED，F(xiàn)C＝FD，O是△ABC外心。求證：A、E、O、F四點(diǎn)共圓。（09033102.gsp） 35．如圖，設(shè)N是△ABC的BAC弧中點(diǎn)，M是BC邊中點(diǎn)，I是△ABC的內(nèi)心。求證：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp） 36．設(shè)T為△ABC的內(nèi)切圓與BC邊的切點(diǎn)，D為BC上任一點(diǎn)，I1、I2分別為△ABD、△ACD的內(nèi)心。求證：T I1⊥T I2。（10081701-9.gsp） 37．矩形ABCD中，AB＝AC。P是以為AB直徑的半圓上任意一點(diǎn)，PC、PD分別交AB于F、E。求證：AE2＋BF2＝AB2。（09013001.gsp） 38． AB是圓O的直徑，P是過(guò)B所作切線上的任一點(diǎn)，過(guò)P作圓O的割線PCE，聯(lián)結(jié)直線PO分別交AC、AD于E、F。求證：OE=OF。（10081001-4.gsp） 39．自圓O外一點(diǎn)P作切線PA、PB及割線PCD，自C作PA的平行線，分別交AB、AD于E、F。求證：CE=EF。（10081001-5.gsp） 40．A為圓O上一點(diǎn)，B為圓外一點(diǎn)，BC、BD分別相切圓O于C、D，DE垂直AO于E，DE分別交AB、AC于F、G。求證：DF＝FG。（09042001.gsp） 41．P為圓外一點(diǎn)，PA、PD為切線，PCE為割線。過(guò)D作PA的平行線，分別與AC延長(zhǎng)線及線段AE交于B、F。求證：D為BF中點(diǎn)。（09031302.gsp） 42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）內(nèi)兩點(diǎn)，滿足∠ABP=∠QCB，且∠ACP=∠QBC。求證：A、P、Q三點(diǎn)共線。（10090101-1.gsp） 43．已知銳角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延長(zhǎng)線交過(guò)O、B、C三點(diǎn)的圓于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求證：DEPF是平行四邊形。（10091701.gsp） 44．已知E、F是圓內(nèi)接四邊形ABCD對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，自E分別作BC、AD的垂線，垂足記為P、Q。求證：MP=MQ。（10091701-1.gsp） 45．AD為△ABC內(nèi)角平分線，I1、I2為△ABD、△ACD的內(nèi)心，以I1I2為底向BC邊作等腰△E I1I2，使得∠I1EI2＝∠BAC。求證：DE⊥BC。（10081701-1.gsp） 46．已知P是凸四邊形內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。求證：PB=PD的充要條件是ABCD四點(diǎn)共圓。（2004年IMO）（10091701-6.gsp）（09030801.gsp） 47．已知D是△ABC底邊BC上任一點(diǎn)，P是形內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠1=∠2，∠3=∠4。求證：(PB/PC)=(AB/AC)。（09030801.gsp） 48．已知：D是△ABC的BC中垂線上一點(diǎn)，I1、I2是△ABD、△ACD的內(nèi)心，E是△ABC外接圓弧BAC的中點(diǎn)。求證：A、E、I1、I2四點(diǎn)共圓。（08081201.gsp） 49．如圖，△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，以AM為直徑的圓分別與AB、AC交于E、F兩點(diǎn)，圓在E、F兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)D。 求證：DM⊥BC。（09013101.gsp） 50．已知：⊙O兩切線PA、PB和一割線PCD，AD、AP交C處的切線于E、F，BE交DF于K。求證：K在圓O上。（09022201.gsp） 51．設(shè)⊙O1與⊙O2交于C、D。過(guò)D的直線交⊙O1與⊙O2于A、B。點(diǎn)P在弧AD上，PD與AC的延長(zhǎng)線交于M，Q在弧BD上，QD與BC的延長(zhǎng)線交于N，O為△ABC外心。求證：MN⊥OD是P、Q、M、N四點(diǎn)共圓的充要條件。（09020401.gsp） 52．設(shè)X是P點(diǎn)的Simson線關(guān)于△ABC的垂極點(diǎn)。求證：XP被Simson線所平分。（09031903.gsp） 53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，過(guò)D作OD垂線，交AC于E。求證：∠DHE=∠C。（09022202.gsp） 54．△ABC中，AD為邊BC上的中線，E、F、G分別為AB、AC、AD上的點(diǎn)，且A、E、G、F四點(diǎn)共圓。設(shè)△BDE外心為O1、半徑為r1；△CDF外心為O2、半徑為r2。求證：GO12＋GO22＝r12＋r22。（09031401.gsp） 55．已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，A1、B1、C1分別是圓弧BPC、CPA、APB的中點(diǎn)。求證：P、A1、B1、C1四點(diǎn)共圓。（09042401.gsp） 56．給定△ABC，D、E、F是邊BC、CA、AB上的任意三點(diǎn)，M、N分別是△BDF、△CDE的外心。P、Q分別是BC、MN上的點(diǎn)，滿足(BP/PC)=(MQ/QN)。AP與⊙AEF相交于R點(diǎn)。求證：（1）QR=QD；（2）∠RQD=2∠APC。（09042601.gsp） 57．已知⊙O1與⊙O2交于C、D兩點(diǎn)，A、B分別是兩圓上的點(diǎn)，滿足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中點(diǎn)。求證：C、D、E、F四點(diǎn)共圓。（09022001.gsp） 58．△ABC中，D、E、F是邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，X、Y、Z是各邊上高的垂足，EZ與FY交于L，F(xiàn)X與DZ交于M，DY與EX交于N。求證：L、M、N三點(diǎn)共線。（10092101.gsp） 59．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與三邊切于D、E、F，聯(lián)結(jié)AD交內(nèi)切圓于另一點(diǎn)P，聯(lián)PB、PE、PF。求證：PF//BC的充要條件是∠BPD=∠EPD。（10091002-7.gsp） 60．已知△ABC和任意直線d，自A、B、C作d的垂線，垂足分別為A'、B'、C'； 再自A'、B'、C'分別作對(duì)邊BC、CA、AB的垂線，設(shè)這三條垂線共點(diǎn)于H。在d上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，自M作d的垂線，分別交AB、AC所在直線于K、L。在線段BK、CL及HA'延長(zhǎng)線上分別取分點(diǎn)P、Q、X，滿足(BP/PK)=(CQ/QL)=(HA'/A'X)。求證：XM⊥PQ。（09031602.gsp） 61．已知ABCD是等腰梯形，P是其底邊BC上任意一點(diǎn)，E、F兩點(diǎn)分別位于AB、AC上，滿足EB＝EP，F(xiàn)P＝FC。聯(lián)接EF，并作P點(diǎn)關(guān)于EF的軸對(duì)稱點(diǎn)Q。求證：DQ⊥PQ。（09041401.gsp） 62．設(shè)D、E分別為△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PE＝PC，△DEP∽△PCA。求證：BP是△PAD的外接圓的切線。（09040601.gsp） 63．在凸四邊形ABCD中，∠DCA與∠CDB的外角平分線分別是邊CB與DA，E、F分別為AC、BD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且C、E、F、D四點(diǎn)共圓。平面上的一點(diǎn)P使得DA是∠PDE的外角平分線，CB是∠PCF的外角平分線。邊AD與BC所在直線交于點(diǎn)Q。求證：點(diǎn)P在邊AB上的充分必要條件是點(diǎn)Q在線段EF上。（09033001.gsp） 64．平面上有四個(gè)點(diǎn)A1、A2、A3、A4，其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上。并且它們滿足：A1A2×A3A4＝A1A3×A2A4＝A1A4×A2A3。對(duì)于任意｛i，j，k，l｝＝｛1，2，3，4｝，我們?cè)O(shè)Oi為△AjAkAl的外心。若對(duì)于1≤i≤4均有Ai≠Oi，證明：四條直線AiOi平行或共點(diǎn)。（09030602.gsp） 65．圓O1和圓O2相交于P、Q兩點(diǎn)，AB是兩圓的外公切線，BP、AP分別交另一圓于C、D，直線AC、BD交于X點(diǎn)，過(guò)X、A、B三點(diǎn)的圓與過(guò)X、C、D三點(diǎn)的圓交于另一點(diǎn)M。求證：∠MBX=∠MQP。（10082901-1.gsp） 66．在任意△ABC的BC邊下方取D點(diǎn)，滿足∠ABD＝∠ACD＝120°，并作正三角形EBC。求證：△ABC的Euler線平行于DE。（10073102.gsp） 67．已知M、N是四邊形ABCD對(duì)邊AD、BC上任意兩點(diǎn)，E、F是對(duì)邊AB、CD上兩點(diǎn)，滿足(AE/EB)=(CF/FD)=(AM/MD)*(CN/NB)，AN、BM交于P，CM、DN交于Q。求證：PQ//EF。（10082601-3.gsp） 歡迎您的光臨，Word文檔下載后可修改編輯.雙擊可刪除頁(yè)眉頁(yè)腳.謝謝！希望您提出您寶貴的意見(jiàn)，你的意見(jiàn)是我進(jìn)步的動(dòng)力。贈(zèng)語(yǔ)； 1、如果我們做與不做都會(huì)有人笑，如果做不好與做得好還會(huì)有人笑，那么我們索性就做得更好，來(lái)給人笑吧！ 2、現(xiàn)在你不玩命的學(xué)，以后命玩你。3、我不知道年少輕狂，我只知道勝者為王。4、不要做金錢、權(quán)利的奴隸；應(yīng)學(xué)會(huì)做“金錢、權(quán)利”的主人。5、什么時(shí)候離光明最近？那就是你覺(jué)得黑暗太黑的時(shí)候。6、最值得欣賞的風(fēng)景，是自己奮斗的足跡。?7、壓力不是有人比你努力，而是那些比你牛×幾倍的人依然比你努力。 word版本