高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何中的幾個(gè)重要定理.doc

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平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其證明 定理：在ABC內(nèi)一點(diǎn)P，該點(diǎn)與ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F三點(diǎn)均不是ABC的頂點(diǎn)，則有 ． 證明：運(yùn)用面積比可得． 根據(jù)等比定理有 ， 所以．同理可得，． 三式相乘得． 注：在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其證明 定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，若，那么直線CD、AE、BF三線共點(diǎn)． 證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P，直線CP交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)塞瓦定理有 ． 因?yàn)?，所以有．由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證． 二、 梅涅勞斯定理 3．梅涅勞斯定理及其證明 定理：一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，則有 ． 證明：如圖，過點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G． 因?yàn)镃G // AB，所以 ————（1） 因?yàn)镃G // AB，所以 ————（2） 由（1）÷（2）可得，即得． 注：添加的輔助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運(yùn)用相似比得出兩個(gè)比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證． 4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明 定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn)D、E，在邊AC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F，若， 那么，D、E、F三點(diǎn)共線． 證明：設(shè)直線EF交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有 ． 因?yàn)?，所以有．由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線． 注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律． 三、 托勒密定理 5．托勒密定理及其證明 定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有 AB·CD + BC·AD = AC·BD． 證明：設(shè)點(diǎn)M是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)，使得DAE =BAM． 因?yàn)锳DB =ACB，即ADE =ACB，所以ADE∽ACB，即得 ，即 ————（1） 由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABE∽ACD．即得 ，即 ————（2） 由（1）+（2）得 ． 所以AB·CD + BC·AD = AC·BD． 注：巧妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相似推得結(jié)論．這里的構(gòu)造具有特點(diǎn)，不容易想到，需要認(rèn)真分析題目并不斷嘗試． 6．托勒密定理的逆定理及其證明 定理：如果凸四邊形ABCD滿足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓． 證法1（同一法）： 在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，，則∽． 可得AB×CD = BE×AC ———（1） 且 ———（2） 則由及（2）可得∽．于是有 AD×BC = DE×AC ———（3） 由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )． 據(jù)條件可得 BD = BE + DE，則點(diǎn)E在線段BD上．則由，得，這說明A、B、C、D四點(diǎn)共圓． 證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法） 延長(zhǎng)DA到A/，延長(zhǎng)DB到B/，使A、B、B/、A/四點(diǎn)共圓．延長(zhǎng)DC到C/，使得B、C、C/、B/四點(diǎn)共圓．（如果能證明A/、B/、C/共線，則命題獲證） 那么，據(jù)圓冪定理知A、C、C/、A/四點(diǎn)也共圓． 因此，，． 可得 . 另一方面，，即． 欲證=，即證 即 ． 據(jù)條件有 ，所以需證 ， 即證，這是顯然的．所以，，即A/、B/、C/共線．所以與互補(bǔ)．由于，，所以與互補(bǔ)，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓． 7．托勒密定理的推廣及其證明 定理：如果凸四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有 AB×CD + BC×AD > AC×BD 證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，，則∽． 可得AB×CD = BE×AC ————（1） 且 ————（2） 則由及（2）可得∽．于是 AD×BC = DE×AC ————（3） 由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE ) 因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知 AB×CD + BC×ADAC×BD 所以BE + DEBD，即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE + DE > BD．所以AB×CD + BC×AD > AC×BD． 四、 西姆松定理 8．西姆松定理及其證明 定理：從ABC外接圓上任意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線． 證明：如圖示，連接PC，連接 EF 交BC于點(diǎn)D/，連接PD/． 因?yàn)镻EAE，PFAF，所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得FAE =FEP． 因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以BAC =BCP，即FAE =BCP． 所以，F(xiàn)EP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四點(diǎn)共圓． 所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC． 由于過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D與D/重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線． 注：（1）采用同一法證明可以變被動(dòng)為主動(dòng)，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件．但需注意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性． （2）反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法． 五、 歐拉定理 9．歐拉定理及其證明 定理：設(shè)ΔABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示．則有G、O、H三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿足． 證明（向量法）：連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D。連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC．則 ——— ① 因?yàn)?CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA． 所以，AHCD為平行四邊形． 從而得．而，所以． 因?yàn)椋?——— ② 由①②得： ———— ③ 另一方面，． 而，所以 —— ④ 由③④得：．結(jié)論得證． 注：（1）運(yùn)用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，注意掌握向量對(duì)幾何問題的表現(xiàn)手法； （2）此題也可用純幾何法給予證明． 又證（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點(diǎn)G/；連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D；連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC，如圖． 因?yàn)?CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA． 所以，AHCD為平行四邊形． 可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE． 因?yàn)锳H // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得AHG/∽EOG/．所以． 由，及重心性質(zhì)可知點(diǎn)G/就是ABC的重心，即G/與點(diǎn)G重合．所以，G、O、H三點(diǎn)共線，且滿足． 六、 蝴蝶定理 10．蝴蝶定理及其證明 定理：如圖，過圓中弦AB的中點(diǎn)M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q，則PM = MQ． 證明：過點(diǎn)M作直線AB的垂線l，作直線CF關(guān)于直線l的對(duì)稱直線交圓于點(diǎn)C/、F/，交線段AB于點(diǎn)Q/．連接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對(duì)稱性可知： MF/Q/ =MFP，F(xiàn)/Q/M =FPM； 且FF/ // AB，PM = MQ/． 因?yàn)镃、D、F/、F四點(diǎn)共圓，所以 CDF/ +CFF/ = 1800， 而由FF/ // AB可得Q/PF +CFF/ = 1800，所以 CDF/ =Q/PF，即MDF/ =Q/PF． 又因?yàn)镼/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有 MDF/ =MQ/F/． 這說明Q/、D、F/、M四點(diǎn)共圓，即得MF/Q/ =Q/DM． 因?yàn)镸F/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．這說明點(diǎn)Q與點(diǎn)Q/重合，即得PM = MQ． 此定理還可用解析法來證明： 想法：設(shè)法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數(shù)． 證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，M點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)． 設(shè)直線DE、CF的方程分別為 x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2； 直線CD、EF的方程分別為 y = k1 x ，y = k2 x ． 則經(jīng)過C、D、E、F四點(diǎn)的曲線系方程為 (y –k1 x )(y –k2 x)+(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0． 整理得(+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy 　　–(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0． 由于C、D、E、F四點(diǎn)在一個(gè)圓上，說明上面方程表示的是一個(gè)圓，所以必須 + k1 k2 = 1 +m1 m2 ≠ 0， 且(k1+k2)+(m1+m2)=0． 若=0，則k1k2=1，k1+k2=0，這是不可能的，故≠0； 又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應(yīng)落在y軸上，故有( n1 + n2 ) = 0，從而得n1 + n2 = 0． 這說明直線DE、CF在x軸上的截距互為相反數(shù)，即得PM = MQ．