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1、1,對(duì)于如下泊松方程的邊值問(wèn)題而言：,補(bǔ)充,,(P),,(P1),思路1,將問(wèn)題(P)的解看成兩部分，,令,和,分別滿足,2,,(P1),,(P2),和,固有函數(shù)法,分離變量法(或試探法),對(duì)于如下泊松方程的邊值問(wèn)題而言：,補(bǔ)充,,(P),3,,(Q),思路2,(1)找出此泊松方程的一個(gè)特解,令,(2)將泊松方程化成拉普拉斯方程,可用分離變量法或試探法求解問(wèn)題(Q),對(duì)于如下泊松方程的邊值問(wèn)題而言：,補(bǔ)充,,(P),4,幾種常見(jiàn)的固有函數(shù)系的形式,(1),,(2),,(3),,(4),,以上幾種形式對(duì)于一維振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和,矩形域上的泊松方程是適用的。,圓域上的泊松方程對(duì)應(yīng)的固有函數(shù)系為
2、,(5),小結(jié),5,固有函數(shù)法的解題步驟：,小結(jié),1.將所考慮的定解問(wèn)題的解按固有函數(shù)系展開(kāi),2.將非齊次方程中的自由項(xiàng)也按固有函數(shù)系展開(kāi),如果自由項(xiàng)已經(jīng)含有固有函數(shù)的形式，可直接,進(jìn)入下一步。,3.將步驟1、2中的形式代入非齊次方程中化簡(jiǎn)，,并比較待定系數(shù)得到一個(gè)常微分方程,4.將利用初值條件得到步驟3中常微分方程的附,加條件。,然后求解常微分方程的初值問(wèn)題。,注意：,若是泊松方程則需借助有界性和邊界條件,6,2.5 具有非齊次邊界條件的問(wèn)題,本節(jié)我們討論帶有非齊次邊界條件的定解問(wèn)題,的求解方法。,處理這類問(wèn)題的基本原則是：,無(wú)論方程是齊次的還是非齊次的，選取一個(gè)輔,助函數(shù),的方法。（也可稱
3、為輔助函數(shù)法）,我們以下面的問(wèn)題為例，說(shuō)明選取函數(shù)代換,通過(guò)函數(shù)代換,使得對(duì)于新的未知函數(shù),而言，邊界條件是,齊次的。,7,考察定解問(wèn)題：,,(80),(81),(79),通過(guò)作一函數(shù)變換將邊界條件化為齊次的，,為此令,(82),并選取輔助函數(shù),使新的未知函數(shù),滿足齊次邊界條件，即,(83),由(80)(82)容易看出，,要使(83)成立，只要,(84),8,,(80),(81),(79),(82),(84),其實(shí)滿足(84)中兩個(gè)條件的函數(shù),是很多的，,為了以后計(jì)算方便起見(jiàn)，通常取,為,的一次,式，,即設(shè),由條件(84)確定,得,9,,(80),(81),(79),(82),于是可得,因此，
4、令,(85),則問(wèn)題(79)-(81)可化成,的定解問(wèn)題,,10,,(80),(81),(79),,(86),,其中,,,,(85),,11,,(80),(81),(79),,(86),(85),將問(wèn)題(86)的解代入,即得原定解問(wèn)題問(wèn)題(79)-(81)的解。,12,(79),(4),(3),(2),(1),若邊界條件不全是第一類的，也可采用類似方法,把非齊次邊界條件化成齊次的。,我們就下列幾種,非齊次邊界條件的情況，分別給出相應(yīng)輔助函數(shù),的表達(dá)式：,以上4種輔助函數(shù)的情形對(duì)熱傳導(dǎo)方程同樣適用。,,,,,,13,求解下列問(wèn)題：,,(87),例1,,(88),解,選取輔助函數(shù),令,則問(wèn)題(87
5、)化成,14,(89),,,(88),應(yīng)用固有函數(shù)法求問(wèn)題(88)的解。,為此，設(shè),利用2.4.2節(jié)中推得公式(64)可知,再利用2.4.2節(jié)中推得公式(62)可知,15,再將,代入,(90),即得,把(90)代入(89),可得,因此，原問(wèn)題(87)的解為,16,特別值得注意的是，對(duì)于給定的定解問(wèn)題，,例如：,,如果方程中的自由項(xiàng),和邊界條件中的,都與自變量,無(wú)關(guān)，,在這種情形下，我們可以選取,輔助函數(shù),通過(guò)函數(shù)代換,使方程與邊界條件同時(shí)化成齊次的。,,17,求解下列問(wèn)題：,,(91),例2,解,設(shè)問(wèn)題的解為,(92),將(92)代入問(wèn)題(91)中的方程，即得,為了將此方程化成齊次的，自然選取
6、,滿足,,18,求解下列問(wèn)題：,,(91),例2,解,(92),,再把(92)代入問(wèn)題(91)中的定解條件，得,為了將,的邊界條件也化成齊次，,則,滿足,19,,(94),(93),,,(91),(92),,這樣由代換,問(wèn)題(91)化為下面兩個(gè)問(wèn)題：,和,20,(93),,問(wèn)題(93)是一個(gè)常微分方程的邊值問(wèn)題，其解為,,將求得的,代入問(wèn)題(94),(*),21,,(*),(14),(15),,利用公式,其中系數(shù),滿足,,,22,,那么,其中系數(shù),計(jì)算可得,,,,,23,,(94),于是，問(wèn)題(94)的解為,因此，原問(wèn)題(91)的解為,24,求解下列問(wèn)題：,,(91),例2,另解,選取輔助函數(shù)
7、,,令,代入問(wèn)題(91)得,(*),25,,由2.4.1節(jié)的分析可設(shè),,,而且,和,分別滿足如下定解問(wèn)題,(I),(II),(*),26,,(II),,利用2.1節(jié)中的公式(14)(15)可算得,其中系數(shù),為,,,則問(wèn)題(II)的解為,,,27,,(I),應(yīng)用固有函數(shù)法求問(wèn)題(I)的解。,為此，令,利用2.4.1節(jié)中推得公式(53)可知,再利用2.4.1節(jié)中推得公式(51)可知,,,,28,,(I),當(dāng),時(shí)，,當(dāng),時(shí)，,29,,(I),則得問(wèn)題(I)的解為,將問(wèn)題(II)的解,和輔助函數(shù),以及問(wèn)題(I)的解加在一起，則得,原問(wèn)題(91)的解：,30,內(nèi)容小結(jié),1.對(duì)一維波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的定
8、解問(wèn)題而言：,當(dāng)方程和邊界條件均為齊次時(shí)，,,不管初值條件,如何，可直接應(yīng)用分離變量法求解；,當(dāng)邊界條件為齊次、,,方程與初始條件為非齊次,時(shí)，原定解問(wèn)題分解成兩個(gè)，,其一是方程為齊次的并具有原初始條件的定解,問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題應(yīng)用分離變量法求解；,其二是方程為非齊次的并具有齊次初始條件的,定解問(wèn)題，該問(wèn)題應(yīng)用固有函數(shù)法求解；,31,內(nèi)容小結(jié),1.對(duì)一維波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題而言：,當(dāng)邊界條件為非齊次時(shí)，,,則必須引進(jìn)輔助函數(shù),把邊界條件化為齊次的，,然后再按照以前的方法,求解。,分離變量法、,固有函數(shù)法、,作輔助函數(shù)法,,方程和邊界條件齊次,,方程非齊次，定解條件齊次,,邊界條件非齊次,
9、32,2.對(duì)于二維拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題而言：,應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系，使得,,在此坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡(jiǎn)單，便于,求解。,內(nèi)容小結(jié),對(duì)圓域、圓環(huán)域、扇形域等采用極坐標(biāo),例如，,,對(duì)于像矩形,帶形,一類的區(qū)域采用直角坐標(biāo)系,應(yīng)當(dāng)指出，只有當(dāng)求解區(qū)域很規(guī)則時(shí)，才可以應(yīng),用分離變量法求解拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題。,33,3.對(duì)于二維泊松方程的邊值問(wèn)題而言：,內(nèi)容小結(jié),,(P),,(Q),思路1,(1)找出此泊松方程的一個(gè)特解,令,(2)將泊松方程化成拉普拉斯方程,可用分離變量法或試探法求解問(wèn)題(Q),34,3.對(duì)于二維泊松方程的邊值問(wèn)題而言：,內(nèi)容小結(jié),,(P),,(P1),思路2,將問(wèn)題(P)的解看成兩部分，,令,和,分別滿足,35,3.對(duì)于二維泊松方程的邊值問(wèn)題而言：,內(nèi)容小結(jié),,(P),,(P1),,(P2),和,固有函數(shù)法,分離變量法(或試探法),
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