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1、1,有限元與數(shù)值方法第一講,授課教師：劉書田,Tel：84706149； Email： 教室：綜合教學樓 351 時間：2013年3月15日：8：0010：50,2,教學內(nèi)容,計算固體力學的基本理論 固體力學(以彈性力學為主描述)的基本理論 能量、變分原理和變分法 特殊問題的數(shù)值計算方法 介紹各類方法的構(gòu)造過程 計算固體力學的主要方法 有限差分法（Finite Different Method） 加權(quán)殘數(shù)法（Weighted Residual Method） 有限元法（Finite Element Method） 無網(wǎng)格法（Meshless Method） 邊界元方法（Boundary ele
2、ment Method） 有限元法的應用和前后處理,3,參考教材,R.D.Cook,有限元分析的概念與應用（Concepts and Application of Finite Element Analysis）關(guān)正西等譯，西安交大出版社 王勖成等, 有限單元法基本原理和數(shù)值方法，清華大學出版社 楊慶生, 現(xiàn)代計算固體力學，科學出版社 劉正興等, 計算固體力學，上海交大出版社,4,第一章 前言,一 計算固體力學的任務： 1.力學的任務 物體機械運動的規(guī)律 研究物體受到的力和物體發(fā)生的運動的關(guān)系 物體（流體，固體，氣體） 力（熱，電，磁等環(huán)境） 運動 流體力學：研究對象是流體 （水，空氣等）；
3、固體力學 2.固體力學的任務 研究固體（結(jié)構(gòu)）在外部作用（外力，溫度等變化）下的變形和應力及其演化規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律研究固體和結(jié)構(gòu)的破壞（剛度、強度、疲勞、斷裂以及穩(wěn)定性等） 根據(jù)研究對象的不同：彈性力學，塑性力學，斷裂力學，沖擊力學; 材料力學，理論力學等 根據(jù)采用的方法：實驗，理論和計算,5,固體力學的任務（續(xù)）,重點：建立固體在外部作用下的變形和應力以及演化規(guī)律的數(shù)學模型（控制方程） 例如： 應力外力之間的關(guān)系：平衡方程（運動方程） 應力應變之間的關(guān)系：本構(gòu)方程研究變形的機理，變形的誘因（外部作用）、應力和應變的定量關(guān)系：彈性問題：Hooke定律熱彈性問題：熱膨脹規(guī)律塑性問題：屈服條件；
4、強化準則；流動準則 斷裂問題：起裂條件；擴展規(guī)律,6,變形的描述以及幾何關(guān)系 主要研究變形的描述方式（應變，位移，轉(zhuǎn)角等） 建立變形與位移之間的定量關(guān)系 應變與位移之間的定量關(guān)系 例如：小變形條件下： 有限變形條件下： 邊界條件： 位移邊界： 應力邊界：,7,求解方法以及對應的控制方程,（1）力法 未知量：以應力作為基本未知量 控制方程：平衡方程；相容方程（變形協(xié)調(diào)方程） （2）位移法： 未知量：以位移作為基本未知量 控制方程：位移表示的平衡方程； 邊界條件,8,對應原理，變分原理,研究：微分方程的積分形式， 泛函變分與基本方程的對應 建立各種問題所對應的變分原理 任務：國體力
5、學是建立固體變形規(guī)律所必須滿足的規(guī)律以及數(shù)學模型，為各種求解策略提供理論基礎。,9,計算固體力學的任務和研究內(nèi)容,任務： 以固體力學的基本理論為基礎，研究利用計算機科學與技術(shù)求解固體力學中各類問題的數(shù)值分析理論、方法、建模、軟件實現(xiàn)； 研究內(nèi)容： （1）研究固體力學中各類問題的數(shù)值計算方法，基本原理； （2）采用數(shù)值模擬技術(shù)，分析固體的變形演化規(guī)律、破壞規(guī)律、應力分布規(guī)律，揭示新的力學現(xiàn)象，包括材料性能揭示；工程中的力學問題等。 （3）工程問題的模型化、可視化、虛擬現(xiàn)實,10,結(jié)構(gòu)分析問題,各種工程結(jié)構(gòu)常見的結(jié)構(gòu)元件： （1）桿、梁、柱（長寬和高） （2）板(中厚板)、殼（厚長和寬） （3）三
6、維體 （4）薄壁結(jié)構(gòu)（飛機機翼與機身等） （5）以上結(jié)構(gòu)類型的復合體,結(jié)構(gòu)分析問題包括： （1）強度問題(應力) （2）剛度問題(變形) （3）穩(wěn)定性問題 （4）振動問題,11,有限元法（位移協(xié)調(diào)元,雜交元，應力元，擬協(xié)調(diào)元） 邊界元法 無網(wǎng)格法(mesh-free method): Non-structural finite difference(Orkisz,2001)； Element-free Galerkin(Belytschko,1994) Smooth particle hydrodynamic(Gingold,1997) Partition of Unity((Melenk,1
7、996) Finite Point method(Onate,1996) Meshless finite element(Onate,2003) Finite sphere(Bathe,2001) Natural element (Belytschko,1998) 擴展的有限元法（x-FEM) 等幾何法（isogeometric method) 變分法 加權(quán)殘數(shù)法,計算固體力學的主要方法,12,,近似求解偏微分方程的數(shù)值方法：,Lord Rayleigh and Ritz , Galerkin 采用試函數(shù)(trial functions) 對偏微分方程的解進行近似,Courant引入子域內(nèi)分片
8、連續(xù)試函數(shù)（piecewise-continuous functions） 的概念，標志著有限元方法的起始,有限元法的發(fā)展歷史,1960s. Clough在平面應力分析中引入 finite element 的名稱,1960s-1970s. 板彎曲、殼彎曲、壓力容器、三維彈性問題、流動、熱傳導等采用有限元方法求解 ；美國空間計劃支持Nastran的開發(fā),1970s. 開發(fā)了ANSYS , ALGOR , COSMOS/M , SAP, NONSAP and ABAQUS etc.,目前. FEM系統(tǒng)可在微機上解決大規(guī)模結(jié)構(gòu)分析問題,13,計算力學發(fā)展展望,計算力學研究采用計算機和相應計算方法求解
9、力學問題、認識力學現(xiàn)象的方法、理論、軟件實現(xiàn)和工程應用。計算力學是力學學科和計算機科學技術(shù)交叉而形成的力學分支，是計算科學和工程的核心學科。 計算力學起始于有限元法.有限元法的誕生可追溯到50年代中期Martin, Clough,Turner(1956),Argyris(1955)等的工作；前者為了采用計算機求解波音公司的三角形機翼動力問題, 在Zienkiewicz等人的努力下，這一方法被迅速推廣至連續(xù)體、巖土工程、動力學問題、穩(wěn)定性問題的求解，其基礎數(shù)學理論和求解問題的算法也不斷得到完善。 有限元法取得的巨大成功是驚人的, 它以經(jīng)典牛頓力學為基礎，為人們提供前所未有的能力，預測和理解復雜系
10、統(tǒng)，模擬復雜的物理現(xiàn)象，利用這些模擬設計復雜的工程系統(tǒng)。它已使力學這個古老學科成為對制造、通訊、運輸、醫(yī)療、國防和很多對人類文明非常核心的領(lǐng)域產(chǎn)生決定性影響的學科；對科學和技術(shù)已經(jīng)產(chǎn)生了深遠的影響。,14,計算力學發(fā)展展望,計算力學的延伸造就了CAE軟件和產(chǎn)業(yè)，而CAE產(chǎn)業(yè)產(chǎn)生了巨大的社會和經(jīng)濟效益，其直接經(jīng)濟效益每年達數(shù)十億美元，而間接經(jīng)濟效益上百億美元。 計算力學已經(jīng)引發(fā)一個令人振奮的新觀點：理論、實驗和計算成為現(xiàn)代科學的三大支撐；產(chǎn)生了一個新的領(lǐng)域“計算科學”。 在2005年美國總統(tǒng)信息技術(shù)顧問委員會給總統(tǒng)的報告“計算科學：確保美國競爭力”中指出，“計算科學采用先進的計算能力理解和求解復
11、雜問題, 已經(jīng)成為對美國科技領(lǐng)導地位、經(jīng)濟競爭力和國家安全的關(guān)鍵，計算科學是21世紀最重要的技術(shù)領(lǐng)域之一” 。,15,隨著計算機軟硬件和軟件開發(fā)新工具、外圍設備和相關(guān)工具的改進和發(fā)展，新世紀的計算力學有了前所未有的發(fā)展機遇 隨著人們關(guān)心以量子、分子和生物力學為基礎的物理（微電子、微機電系統(tǒng)）和生物系統(tǒng)的模型，關(guān)心巨尺度的自然現(xiàn)象（海嘯、雪崩)，計算力學有無限的未來發(fā)展和應用的前景 計算力學研究具有跨學科的性質(zhì)，使其能反映概念、方法和原則的組合，常常橫跨力學、數(shù)學、計算機科學和其他科學領(lǐng)域。其成功推動了“基于模擬的工程科學”的產(chǎn)生,計算力學發(fā)展展望,16,計算力學發(fā)展展望,“基于模擬的工程科學”
12、 已經(jīng)并將持續(xù)對工程、科學研究和解決重大社會問題各個領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響；將帶來新世紀工程科學的革命性變革 Revolutionizing Engineering Science through Simulation,“基于模擬的工程科學” (Simulation-based Engineering Science)為工程系統(tǒng)的模擬提供科學和數(shù)學基礎的學科，它關(guān)注復雜、相互關(guān)聯(lián)的工程系統(tǒng)的計算機模型和模擬，關(guān)注滿足規(guī)定精度和可靠度標準的數(shù)據(jù)的獲取，它已科學理解的進步為基礎，并通過計算機模擬，將其與解決工程問題的新方法結(jié)合,17,教學內(nèi)容,計算固體力學的基本理論 固體力學(以彈性力學為主描述)的基
13、本理論 能量、變分原理和變分法 特殊問題的數(shù)值計算方法 介紹各類方法的構(gòu)造過程 計算固體力學的主要方法 有限差分法（Finite Different Method） 加權(quán)殘數(shù)法（Weighted Residual Method） 有限元法（Finite Element Method） 無網(wǎng)格法（Meshless Method） 邊界元方法（Boundary element Method） 有限元法的應用和前后處理,18,,,19,常用的數(shù)學知識和記號： 張量和張量運算 張量：滿足一定的坐標變化規(guī)律的數(shù)表。例如： 向量： 在不同的坐標系下，分量 和 滿足矢量的變換關(guān)系 稱為一階張量。,二階
14、張量,第二章 彈性力學基本理論,20,加減運算： 點積運算（內(nèi)積）： 求和約定： 微分運算： 例如：應變,張量的運算,21,彈性力學的基本理論,彈性力學的基本假定: 連續(xù)性,均勻性,各向同性,完全彈性,小變形五個假設 建立根據(jù)作用于彈性體上的外力,決定彈性體內(nèi)的變形和應力及其演化規(guī)律的數(shù)學模型（控制方程）。 彈性體的變形和內(nèi)力描寫應變，應力的定義 用應變張量描寫每一點的變形 用應力張量描寫每一點的內(nèi)力,,22,彈性力學的基本方程,應力-外力之間的關(guān)系：平衡方程（運動方程） 位移和應變的關(guān)系：幾何關(guān)系 應力-應變之間的關(guān)系：物理本構(gòu) 研究變形機理，變形的誘因（外部作用） 例如： 彈性力學問題：H
15、ooke定律。 熱彈性問題： 熱膨脹規(guī)律,彈性常數(shù)歲溫度的變化規(guī)律。 塑性力學： 屈服條件，強化準則，流動準則。 斷裂力學： 裂紋起裂條件和裂紋擴展規(guī)律等。,23,應力和平衡方程,,應力：單位面積上的內(nèi)力 應力與作用面的方向相關(guān)。各方向上的應力稱為一點的應力狀態(tài)。為了完整地描述一點的應力狀態(tài)，可取與坐標軸垂直的三個面上的應力表示。 為應力張量 對稱性： 應力向量（矩陣形式的表示方法）,24,,平衡方程： 可寫成 或 矩陣形式,25,,,應力邊界條件 矩陣形式 張量形式 其中,方向余弦,26,幾何關(guān)系（位移和應變的關(guān)系）,根據(jù)彈性體每一點的位移,給出每一點的變形（應
16、變、轉(zhuǎn)角）,建立變形與位移之間的定量關(guān)系,,,,,,,,Q,P,ds,Q,P,ds,,變形前,；變形后, 任意點的運動（u,v,w),,27,Green應變,Green應變 E 定義為：,設 分別為變形前后的材料矢量,Green應變的推導：,與Green應變定義對比，得到,28,位移、應變與幾何方程,位移 應變 小變形,29,位移、應變與幾何方程,張量形式 矩陣形式,30,大變形：,31,線性彈性應力應變關(guān)系（線彈性） 胡克定律：單向拉伸，如彈簧等 廣義胡克定律：復雜應力狀態(tài) 非線性彈性應力應變關(guān)系 塑性本構(gòu)關(guān)系：含“內(nèi)變量”并與熱相關(guān) 粘彈性本構(gòu)關(guān)系：應力與應變率相關(guān),材料的本
17、構(gòu)關(guān)系,32,低碳鋼單軸拉伸試驗曲線,,,,,試件,頸縮,33,一般線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,應力和應變滿足,由功的互等關(guān)系，共有21個獨立的彈性常數(shù) 注意：主應力和主應變方向不重合,34,各向同性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,各向同性線彈性和小變形假設下，應力和應變滿足廣義虎克定律,對各向同性材料有,(有2個獨立的彈性常數(shù) ),主應力和主應變方向重合,35,各向同性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,對于平面應力狀態(tài)，上式成為,或,對于平面應變狀態(tài)，則為,或,36,,,線彈性本構(gòu)關(guān)系的張量表示,一般的各向異性材料的線彈性應力應變關(guān)系：,或,對于一般的各向異性材料，彈性常數(shù)中只有21個獨立,三維各向同性材料本構(gòu)方程：
18、,37,正交各向異性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,應力和應變滿足（選取彈性對稱軸為x,y,z軸）,由功的互等關(guān)系，共有9個獨立的彈性常數(shù) 若坐標旋轉(zhuǎn)，則上述正交性質(zhì)將被掩蓋,38,熱應變,對于各向同性材料，熱應變與溫度變化成正比：,考慮熱應變，應力應變關(guān)系成為：,39,,邊界條件 在位移邊界條件上： 在應力邊界上：,40,彈性力學問題的構(gòu)成,彈性力學問題的建立與求解 變量：3個位移分量，6個應力分量，6個應變分量 基本方程：平衡方程，幾何方程，物理方程 邊界條件：位移邊界條件 ，應力邊界條件,41,求解方法及相對應的控制方程： 力法：以應力為基本位移量 平衡方程：變形協(xié)調(diào)方程 位移法
19、：以位移為基本未知數(shù) 平衡方程：位移表示的平衡方程 對應原理：變分原理 微分方程的積分形式，泛函變分與基本方程的對應。建立各種問題所對應的變分原理。 總之：固體力學是建立固體變形規(guī)律所必需滿足的規(guī)律以及數(shù)學模型。為各種求解策略提供理論基礎,42,彈性力學的主要解法,解析法；湊合法與半湊合法； 簡化假定 平截面假定桿，梁； 直法線假定板殼； 平面應力問題; 平面應變問題; 對稱問題（軸對稱問題，球?qū)ΨQ問題） 應力函數(shù)法； 復變函數(shù)法； 積分方程法； 有限差分法；變分法；,光測;電測; 數(shù)值方法,只能求解簡單的問題：簡單的結(jié)構(gòu)形狀、荷載分布和邊界條件,43,求解策略,物理模型的簡化 桿（梁） 平
20、面問題 平面應力問題，薄板 平面應力問題：（很厚）柱體 板（殼） 發(fā)展數(shù)值求解策略 直接求解方法：差分方法 積分形式的控制方程問題：有限元，加權(quán)余量等,44,桿件(包括桿和梁),桿:只在軸向受力 梁:考慮彎曲變形,幾何特點:結(jié)構(gòu)兩個方向的尺度相近,但遠小于第三方向尺度; 基本假定:垂直于桿件軸線的平斷面變形后保持平斷面; 三維問題簡化為一維;,無分布力時，桿的變形用線性函數(shù)描述即可,45,平面應力問題,幾何特點:結(jié)構(gòu)兩個方向的尺度相近,但遠大于第三方向尺度; 受力特點:只受到在平面內(nèi)的力; 平面外的應力分量為0; 三維問題簡化為二維,46,平面應變問題,幾何特點:結(jié)構(gòu)兩個方向的尺度相近,但第三方向尺度無窮大; 受力特點:受到的力在第三方向是均勻的; 平面外的應變分量為0; 三維問題簡化為二維,47,幾何特點:結(jié)構(gòu)兩個方向的尺度相近,但遠大于第三方向尺度; 受力特點:只受到在平面外的力; 直法線假定; 三維問題簡化為二維,平板彎曲問題,
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