高等數(shù)學備課資料：第七章 微分方程 03 第三節(jié) 一階線性微分方程

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1、 第三節(jié) 一階線性微分方程 分布圖示 ★ 一階線性微分方程及其解法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 伯努利方程 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 內容小結 ★ 課堂練習 ★ 習題7—3 ★ 返回 內容要點 一、一階線性微分方程 形如 (3.1) 的方程稱為一階線性微分方程. 其中函數(shù)、是某一區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). 當方程(3.1)成為 (3.2) 這個方程稱為一階齊次線性方

2、程. 相應地，方程(3.1)稱為一階非齊次線性方程. 方程(3.2)的通解 (3.3) 其中為任意常數(shù). 求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法：即在求出對應齊次方程的通解(3.3)后，將通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)，并設一階非齊次方程通解為 一階非齊次線性方程(3.1)的通解為 (3.5) 二、伯努利方程：形如 (3.7) 的方程稱為伯努利方程，其中為常數(shù)，且. 伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性的. 事實上，在方

3、程(3.7)兩端除以，得 或 于是，令，就得到關于變量的一階線性方程 . 利用線性方程的求解方法求出通解后，再回代原變量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解 例題選講 一階線性微分方程 例1（E01）求方程的通解. 解 于是所求通解為 例2（E02）求方程的通解. 解 這是一個非齊次線性方程.先求對應齊次方程的通解. 由 用常數(shù)變易法,把換成即令則有 代入所給非齊次方程得兩端積分得 回代即得所求方程的通解為 例3 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解. 解 將方程

4、標準化為于是 由初始條件得故所求特解為 例4 求解方程 是的已知函數(shù). 解 原方程實際上是標準的線性方程，其中 直接代入通解公式，得通解 例5（E03）求方程的通解. 解 當將看作的函數(shù)時，方程變?yōu)? 這個方程不是一階線性微分方程，不便求解.如果將看作的函數(shù)，方程改寫為 則為一階線性微分方程，于是對應齊次方程為 分離變量，并積分得即 其中為任意常數(shù)，利用常數(shù)變易法，設題設方程的通解為代入原方程,得 積分得 故原方程的通解為，其中為任意常數(shù). 例6（E04）在一個石油精煉廠，一個存儲罐裝8000L的汽油，其中包含100g的添加劑

5、. 為冬季準備，每升含2g添加劑的石油以40L/min的速度注入存儲罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出. 在混合過程開始后20分鐘罐中的添加劑有多少？ 解 令是在時刻罐中的添加劑的總量. 易知. 在時刻罐中的溶液的總量 因此，添加劑流出的速率為 添加劑流入的速率，得到微分方程 即 于是，所求通解為 由確定C，得 ，， 故初值問題的解是 ， 所以注入

6、開始后20分鐘時的添加劑總量是 g. 注：液體溶液中（或散布在氣體中）的一種化學品流入裝有液體（或氣體）的容器中，容器中可能還裝有一定量的溶解了的該化學品. 把混合物攪拌均勻并以一個已知的速率流出容器. 在這個過程中，知道在任何時刻容器中的該化學品的濃度往往是重要的. 描述這個過程的微分方程用下列公式表示： 容器中總量的變化率=化學品進入的速率—化學品離開的速率. 例7 如圖(見系統(tǒng)演示)所示, 平行于軸的動直線被曲線與截下的線段之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 解 兩邊求導得解此微分方程得 由得故所求曲線為 例8

7、求的通解. 解 兩端除以得 令得解得 故所求通解為 伯努利方程 例9（E05）求方程的通解. 解 以除方程的兩端,得 即 令則上述方程變?yōu)? 解此線性微分方程得 以代得所求通解為 例10（E06） 求方程的通解. 解 令則于是得到伯努利方程 令上式即變?yōu)橐浑A線性方程 其通解為 回代原變量，即得到題設方程的通解 例11（E07）求解微分方程 解 令則 利用分離變量法解得 將代回，得所求通解為 課堂練習 1. 求微分方程的通解. 2. 設函數(shù)可微且滿足關系式 求.

8、 雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli，1654~1705) 伯努利瑞士數(shù)學、力學、天文學家。1654年12月27日生于瑞士巴塞爾；1705年8月16日卒于巴塞爾。 雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位藥商，1662年移居巴塞爾。他的父親接過興隆的藥材生意，并成了市議會的一名成員和地方行政官。他的母親是市議員兼銀行家的女兒。雅格布在1684年一位富商的女兒結婚，他的兒子尼古拉，伯努得是藝術家，巴塞爾市議會的議員和藝術行會會長。 雅格布畢業(yè)于巴塞爾大學，1671年獲藝術碩士學位。這里的藝術是指“自由藝術”，它包括算術、幾何、天文學、數(shù)理音樂的基礎，以及方法、修

9、辭和雄辯術等七大門類。遵照他父親的愿望，他又于1676年得碩士學位。同時他對數(shù)學有著濃厚的興趣，但是他在數(shù)學上的興趣遭到父親的反對，他違背父親的意愿，自學了數(shù)學和天文學。1676年，他到日內瓦做家庭教師。從1677年起，他開始在這里寫內容豐富的《沉思錄》。1678年雅格布進行了他第一次學習旅行，他到過法國、荷蘭、英國和德國，與數(shù)學家們建立了廣泛的通信聯(lián)系。然后他又在法國度過了兩年時光，這期間他開始研究數(shù)學問題。起初他還不知道牛頓和萊布尼茲的工作，他首先熟悉了笛卡爾的《幾何學》、活利斯的《無窮的算術》以及巴羅的《幾何學講義》。他后來逐漸地熟悉了萊布尼茲的工作。1681-1682年間，他做了第二次

10、學習旅行，接觸了許多數(shù)學家和科學家。通過訪問和閱讀文獻，豐富了他的知識，拓寬了個人的興趣。這次旅行，他在科學上的直接收獲就是發(fā)表了還不夠完備的有關慧星的理論以及受到人們高度評價的重力理論。回到巴塞爾后，從1683年起，雅格布做了一些關于科技問題的文章，并且也繼續(xù)研究數(shù)學著作。1687年，雅格布在《教師學報》上發(fā)表了他的“用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分方法”。1684年之后，雅格布轉向詭辯邏輯的研究。1685年出版了他最早的關于概率論的文章。由于受到活利斯以及巴羅的涉及到數(shù)學、光學、天文學的那些資料的影響，他又轉向了微分幾何學。在這同時，他的弟弟約翰.伯努利一直跟其學習數(shù)學。1687年雅格布成為巴塞爾科學院的國外院士，直到1705年去世。在這段時間里，他一直與萊布尼茲保持著通信聯(lián)系。1699年，雅格布被選為巴黎科學院的國外院士，1701年被柏林科學協(xié)會（即后來的柏林科學院）接受為會員 雅各布.伯努利是在17-18世紀期間，歐洲大陸在數(shù)學方面做過特殊貢獻的伯努利家庭的重要成員之一，他在數(shù)學上的貢獻涉及微積分、解析幾何、概率論以及變分法等領域。