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1、
[第64講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布]
(時間:45分鐘 分值:100分)
1.[2013·漳州模擬] 已知X的分布列為
X
-1
0
1
P
設(shè)Y=2X+3,則E(Y)的值為( )
A. B.4
C.-1 D.1
2.[2013·濰坊模擬] 設(shè)X為隨機(jī)變量,X~B,若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2,則P(X=2)等于( )
A. B.
C. D.
3.[2013·蚌埠質(zhì)檢] 若ξ~N(-2,σ2),且P(-4<ξ<-2)=0.3,則P(
2、ξ>0)的值為( )
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
4.[2013·鄭州檢測] 馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表:
x
1
2
3
P(ξ=x)
?
!
?
請小牛同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望.盡管“!”處完全無法看清,且兩個“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案Eξ=________.
5.[2013·西安遠(yuǎn)東一中月考] 某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為( )
A.100
3、B.200
C.300 D.400
6.某個數(shù)學(xué)興趣小組有女同學(xué)3名,男同學(xué)2名,現(xiàn)從這個數(shù)學(xué)興趣小組中任選3名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽,記X為參加數(shù)學(xué)競賽的男同學(xué)與女同學(xué)的人數(shù)之差,則X的數(shù)學(xué)期望為( )
A.- B.
C. D.-
7.[2013·臨沂二模] 某校在模塊考試中約有1 000人參加考試,其數(shù)學(xué)考試成績ξ~N(90,a2)(a>0,試卷滿分150分),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的,則此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為( )
A.200 B.300
C.400 D.600
8.[2013·贛州質(zhì)檢] 一個籃球運(yùn)動
4、員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計(jì)其他得分情況),則ab的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
9.有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,從中任意抽出3張卡片,設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X,則X的數(shù)學(xué)期望是( )
A.7.8 B.8
C.16 D.15.6
10.某高校進(jìn)行自主招生面試時的程序如下:共設(shè)3道題,每道題答對給10分、答錯倒扣5分(每道題都必須回答,但相互不影響).設(shè)某學(xué)生對每道題答對的概率都為,則該學(xué)生在面試時得分的期望值為________分.
5、
11.袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個,每次摸取一個球記下顏色后放回,現(xiàn)連續(xù)取球8次,記取出紅球的次數(shù)為X,則X的方差D(X)=________.
12.[2013·寧波一模] 已知某隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表,其中x>0,y>0,隨機(jī)變量ξ的方差Dξ=,則x+y=________.
ξ
1
2
3
P
x
y
x
13.[2013·浙江重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體摸底] 某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù),若在一年內(nèi)事件E發(fā)生,該公司要賠償a元,設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p,為使公司收益的期望值等于a的10%,公司應(yīng)要求投保人交的保險(xiǎn)金為________元.
14.(10分
6、)[2013·武漢武昌區(qū)調(diào)研] 某校從高二年級4個班中選出18名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽,學(xué)生來源人數(shù)如下表:
班別
高二(1)班
高二(2)班
高二(3)班
高二(4)班
人數(shù)
4
6
3
5
(1)從這18名學(xué)生中隨機(jī)選出兩名,求兩人來自同一個班的概率;
(2)若要求從18位同學(xué)中選出兩位同學(xué)介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),設(shè)其中來自高二(1)班的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
15.(13分)[2013·北京海淀區(qū)二模] 某公司準(zhǔn)備將100萬元資金投入代理銷售業(yè)務(wù),現(xiàn)有A,B兩個項(xiàng)目可供選
7、擇.
(i)投資A項(xiàng)目一年后獲得的利潤X1(萬元)的概率分布列如下表所示:
X1
11
12
17
P
a
0.4
b
且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)=12;
(ii)投資B項(xiàng)目一年后獲得的利潤X2(萬元)與B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調(diào)整,兩次調(diào)整相互獨(dú)立且在4月和8月進(jìn)行價(jià)格調(diào)整的概率分別為p(0
8、
(3)若E(X1)
9、[解析] ∵X~B,∴E(X)==2,即n=6,
∴P(X=2)=C=,故選D.
3.A [解析] 由隨機(jī)變量ξ~N(-2,σ2),則其正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=-2對稱.
∵P(-4<ξ<-2)=0.3,
∴P(-2<ξ<0)=P(-4<ξ<-2)=0.3,
∴P(ξ>0)=[1-P(-2<ξ<0)-P(-4<ξ<-2)]=0.2,故選A.
4.2 [解析] 設(shè)“?”處數(shù)值為t,則“!”處的數(shù)值為1-2t,所以Eξ=t+2(1-2t)+3t=2.
【能力提升】
5.B [解析] 記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”,則ξ~B(1 000,0.1),
所以Eξ=1 000×0.1=100,
10、而X=2ξ,
則E(X)=E(2ξ)=2Eξ=200,故選B.
6.A [解析] X的可能取值為-3,-1,1,
P(X=-3)==,P(X=-1)==,P(X=1)==,
所以E(X)=(-3)×+(-1)×+1×=-,故選A.
7.A [解析] 由數(shù)學(xué)考試成績ξ~N(90,a2),則其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=90對稱.
又∵成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的,
∴由對稱性知,成績在110分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的1-=,
∴此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有1 000×=200(人),故選A.
8.D [解析] 設(shè)投籃得分為隨機(jī)變量X,則X的分布列為
X
11、
3
2
0
P
a
b
c
E(X)=3a+2b=2≥2,所以ab≤,
當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b時,等號成立,故選D.
9.A [解析] X的取值為6,9,12,相應(yīng)的概率
P(X=6)==,P(X=9)==,P(X=12)==,E(X)=6×+9×+12×=7.8.
10.15 [解析] 設(shè)面試時得分為隨機(jī)變量ξ,由題意,ξ的取值可以是-15,0,15,30,則
P(ξ=-15)=1-3=,
P(ξ=0)=C1-2·=,
P(ξ=15)=C1-·2=,
P(ξ=30)=3=,
∴Eξ=-15×+0×+15×+30×=15.
11.2 [解析] 每次取球時,紅球被
12、取出的概率為,8次取球看作8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),紅球出現(xiàn)的次數(shù)X~B,故D(X)=8××=2.
12. [解析] 由分布列性質(zhì),得2x+y=1,Eξ=4x+2y=2.
又Dξ=,即Dξ=(-1)2x+12·x=,解得x=,
∴y=1-=,故x+y=.
13.(0.1+p)a [解析] 設(shè)要求投保人交x元,公司的收益額ξ作為隨機(jī)變量,則
P(ξ=x)=1-p,P(ξ=x-a)=p,
∴Eξ=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,
即x-ap=0.1a,解得x=(0.1+p)a.
14.解:(1)“從這18名同學(xué)中隨機(jī)選出兩名,兩人來自于同一個班”記作事件A,
則P(A)==.
(
13、2)X的所有可能取值為0,1,2.
∵P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,
∴X的分布列為
X
0
1
2
P
∴E(X)=0×+1×+2×=.
15.解:(1)由題意得:
解得a=0.5,b=0.1,
(2)X2的可能取值為4.12,11.76,20.40.
P(X2=4.12)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p),
P(X2=11.76)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2,
P(X2=20.40)=p(1-p).
所以X2的分布列為
X2
4.12
11.76
20
14、.40
P
p(1-p)
p2+(1-p)2
p(1-p)
(3)由(2)可得:
E(X2)=4.12p(1-p)+11.76[p2+(1-p)2]+20.40p(1-p)
=-p2+p+11.76.
因?yàn)镋(X1)