高中數(shù)學“圓錐曲線”教學研究.doc

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專題講座 高中數(shù)學“圓錐曲線”教學研究 金寶錚 北京師范大學二附中 一、對“圓錐曲線”數(shù)學知識的深層次理解 （一）“圓錐曲線”知識結構 圓錐曲線的內(nèi)容在新課標中安排在選修課程的選修系列1和選修系列2之中. 知識結構圖： 圓錐曲線研究的圖形對于學生來講是比較陌生的圖形. 雖然在初中階段學習函數(shù)的時候，同學們聽說過拋物線、雙曲線的名詞，當時的認識只是停留在直觀的感受. 從二次函數(shù)的圖像，經(jīng)過教師的授課，知道二次函數(shù)的圖像叫做拋物線；學習反比例函數(shù)時，教師告知反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，并且是以坐標軸為漸近線的. 對于滿足什么條件的點的軌跡是拋物線、雙曲線學生的認識仍然是一片空白. 只有學習了本單元內(nèi)容之后，學生才會對圓錐曲線有一個全面、準確的認識.本講從軌跡方程的角度研究圓錐曲線.首先給出橢圓、雙曲線、拋物線的定義，依據(jù)定義推導他們的方程，在此基礎上，依據(jù)他們的方程研究三種曲線的幾何性質(zhì). 雖然橢圓、雙曲線、拋物線都屬于平面圖形，但是運用平面幾何的知識和研究方法很難研究的透徹.解析幾何學科的特點和優(yōu)越性從這個研究過程中開始有強烈的顯現(xiàn).在此之前用代數(shù)的方法研究直線和圓的教學，從學習方法上來說，為本講的學習奠定了基礎.區(qū)別在于，盡管同樣是研究幾何圖形的性質(zhì)，在研究直線與圓的階段，平面幾何的知識得到充分的應用，利用了平面幾何的相關知識，有時可以使得運算過程得到簡化. 選修系列1和選修2系列對于教學的要求上有所不同.主要體現(xiàn)在兩點. 第一點：選修系列1中沒有曲線與方程這一節(jié)的要求.這樣安排教學要求的目的是，對于學習選修系列1的同學從理論的學習要求做了適當?shù)慕档?只要求直觀的解決問題，直觀的認識具體曲線的定義、性質(zhì).第二點是選修系列1中沒有直線與圓錐曲線的教學內(nèi)容，對于這一點的要求不同，我們建議教師還是應該予以適當?shù)难a充.從目前的考試要求以及高考試題看，在文科數(shù)學試卷中，對于這個內(nèi)容還是有要求的.但是不會要求太高，教師在教學中可以側重以直線與橢圓的位置關系的開展討論，其他的曲線討論可以輕描淡寫的處理，體現(xiàn)出選修系列1和選修系列2的區(qū)別. （二）如何把握圓錐曲線的定義 圓錐曲線的定義有多種形式，教師應該盡量的了解和知道.橢圓的定義學生首先接觸的都是到兩個定點距離之和等于定長的點的集合（軌跡）. 為什么橢圓、雙曲線、拋物線稱為圓錐曲線？教科書中有詳細的說明.建議教師不要忽視其中的原委.有些試題還是在考查該項定義. 下面請看幾個案例，雖然都是利用圓錐曲線的定義解題，但是各有特點. 例1 如圖是長度為定值的平面的斜線段，點為斜足，若點在平面內(nèi)運動，使得的面積為定值，則動點P的軌跡是 A.圓 B.橢圓 C.一條直線 D.兩條平行線 我們通過這個例題可以讓學生進一步認識圓錐曲線的定義. 根據(jù)已知條件的面積為定值，是長度為定值的平面的斜線段，那么點到直線的距離為定值，僅僅考慮這一點，點P應該在一個圓柱的側面上，這個圓柱是以PA所在的直線為軸，點到直線的距離為底面半徑.同時這個點又在平面α上，點P的軌跡是平面α與圓柱側面的截線，依據(jù)圓錐曲線的定義，應該選B. 對于概念的認識，不僅僅限于對概念的記憶，甚至個別的老師還讓學生齊聲背誦定義，這樣的結果往往是學生知其然，不知其所以然.教師如果能夠選擇像上面類似的題目，對于學生深刻理解概念是有積極作用的.下面例題的選取也是這個目的. 例2如圖，線段=8，點在線段上，且=2，為線段上一動點，點繞點旋轉后與點繞點旋轉后重合于點.設=， 的面積為.則的定義域為________；的最大值為 ________. 據(jù)題意，PD＝PB，PD+PC＝BC＝6，又CD=CA=2，依據(jù)定義知：點P在以C、D為焦點的橢圓上，其焦距為2，其長軸長為6，可得出短軸長為，PC＝時，的面積取得最大值，最大值為. 當看到一個動點到兩個定點距離之和為定長時，學生應該聯(lián)想到橢圓的定義，學生能否做到這一點，教師的引導和適當?shù)睦}是關鍵. （三）圓錐曲線不同形式的方程 在選修系列4教學要求中，選修4-4是坐標系與參數(shù)方程.在部分的教學內(nèi)容中，將增加圓錐曲線的參數(shù)方程的形式和極坐標形式.雖然只是一種初步的、帶有介紹形式的，建議教師還是抓住機會與選修系列1、選修系列2的內(nèi)容進行有機的整合.具體建議稍后再詳細說明. （四）教學內(nèi)容的重點、難點 圓錐曲線的教學重點是：三種圓錐曲線的方程與性質(zhì).在此之前的學習中，我們已經(jīng)初步感受了解析幾何學科的特點，以及如何用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì).本講與之前的研究所不同的是，之前研究的對象是學生熟知的圖形，直線和圓.利用方程研究曲線的性質(zhì)，從知識上學生沒有感到有新的收獲，沒有獲得直線與圓的新的幾何性質(zhì).然而本章研究的曲線對于學生來說是陌生的.學生對于橢圓、雙曲線、拋物線的認識幾乎接近空白.什么取值范圍、對稱軸、對稱中心、頂點、離心率、漸近線等，對于學生來說都是全新的.研究之前，學生對于曲線的這些性質(zhì)處于無知或者是朦朧的狀態(tài)，學習之后成就感明顯的高于直線與圓的學習. 圓錐曲線的難點是：圓錐曲線的綜合問題. 特別是直線與圓錐曲線的位置關系有關的綜合題目，學生感覺難度較大. 與圓錐曲線有關的綜合題，題目呈現(xiàn)的方式是多樣的.不像三角函數(shù)、立體幾何題目的呈現(xiàn)方式那樣單純，可以從模仿入手. 對于學生來說，對于分析問題、解決問題的能力要求較高.模式化的東西相對少一些. 二、“圓錐曲線”的教學策略以及學生學習中常見的錯誤與問題的分析與解決策略 （一）正確認識曲線的方程 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程由于焦點的位置不同，方程的形式相應的不同.橢圓按照焦點在x軸上和焦點在y軸上，相應的有兩個標準方程；雙曲線也是按照焦點在x軸上和焦點在y軸上，相應的有兩個標準方程；而拋物線則是按照焦點在x軸的正半軸上、焦點在x軸的負半軸上、焦點在y軸的正半軸上、焦點在y軸的負半軸上相應的有四個標準方程. 確定曲線的方程，就是根據(jù)條件確定方程中的參數(shù)的具體數(shù)值.根據(jù)題目所給的條件，使用數(shù)學中常見的待定系數(shù)法，通?？梢源_定參數(shù)的數(shù)值，換一個角度來說，曲線方程的確定也是方程思想的應用.依據(jù)條件，找到參數(shù)適合的方程或方程組，從本質(zhì)上來說，與列方程解應用題是相同的. （二）數(shù)學思想的滲透與培養(yǎng) 前面已經(jīng)提到利用方程的思想確定橢圓、雙曲線、拋物線的方程. 其他幾個重要的數(shù)學思想在本講中也應該積極的滲透. 數(shù)形結合的數(shù)學思想. 同一個問題可以有數(shù)、形兩種不同的表現(xiàn)形式. 比如直線與橢圓的位置關系有相交、相切、相離.如何描述直線與橢圓相交？從“形”的角度說，直線與橢圓恰有一個公共點；如果從“數(shù)”的角度來描述，將直線的方程代入橢圓的方程，得到一個關于x的（或者是關于y的）一元二次方程.這個方程的判別式應該為0. 化歸思想的應用對于本講內(nèi)容來說也是很好的滲透的平臺. 分類討論的思想在本講學習中，也是應該給予足夠的重視.分類討論的思想一定要讓學生明確不是為了分類而分類.許多的分類在解題之前是不明確的，在解題的過程中，依據(jù)算法、算理的需求，對字母的取值限制進行討論. 化歸是數(shù)學中對能力要求較強的一種思想方法.所謂化歸，就是將復雜的問題、不熟悉的問題轉化為簡單的、熟悉的問題.對于解析幾何的綜合性問題，我們建議將解題的過程劃分為兩個階段，設計解題方案、實施解題方案的兩個過程. 例1已知橢圓（）的焦距為，離心率為. （Ⅰ）求橢圓方程； （Ⅱ）設過橢圓頂點，斜率為的直線交橢圓于另一點，交軸于點，且成等比數(shù)列，求的值. 化歸的思想教師說起來很簡單，但是學生做起來往往找不到實施的辦法.需要教師的示范和在具體問題解決中的認識，需要一定時間的培養(yǎng)和訓練. 例1中解決第（Ⅱ）問可以設計三個解題方案.第一個方案是按照常規(guī)思路設法把點B、D、E的坐標用斜率k表示出來，之后用兩點間距離把的長度表示出來，再利用他們成等比數(shù)列，求出的值.表面一看，這個思路很好，但是在實際的解題過程中可以看到，題目的運算量較大.第二個方案也是按照常規(guī)思路設法把點B、D、E的坐標用斜率k表示出來，之后將三條線段投影到x軸上，利用相似三角形的知識可以證明，投影到坐標軸上的三條線段按照相應的對應關系也是成等比數(shù)列的.等比數(shù)列這個限制條件就變成三個點的橫坐標的限制條件.第三個方案也是按照常規(guī)思路設法把點B、D、E的坐標用斜率k表示出來，之后將三條線段投影到y(tǒng)軸上，利用相似三角形的知識可以證明，投影到坐標軸上的三條線段按照相應的對應關系也是成等比數(shù)列的.等比數(shù)列這個限制條件就變成三個點的縱坐標的限制條件.比較上述三個方案，顯然第一個方案的運算量最大，后兩個方案的運算量顯著的下降. 當我們把三條線段投影到坐標軸上，運算量下降了，達到了將復雜的問題轉化為簡單問題的目的.再細致的比較后兩個方案，由于點E的縱坐標為0，第三個方案比第二個方案的運算量還要再小一些，所以選擇方案三. 詳解如下： （Ⅰ）由已知，. 解得， 所以， 橢圓的方程為. （Ⅱ）由（Ⅰ）得過點的直線為， 由 得， 所以，所以， 依題意，. 因為成等比數(shù)列，所以， 所以，即， 當時，，無解， 當時，，解得， 所以，解得， 所以，當成等比數(shù)列時，. 回顧對這個問題的分析與解答，教師設計了三個解題方案，在實施方案之前，要對設計的三個方案進行比較、分析，從中選出簡捷的方案. （三）對于參數(shù)方程處理方式的建議 參數(shù)方程的學習在這一階段的學習過程中，是一個相對獨立的內(nèi)容.原則上不需要做過多的補充.但是對于橢圓的參數(shù)方程，還是建議教師更具學生的實際情況做適當?shù)难a充.主要是對橢圓上的點的坐標可以表示為，特別是對于一些最值有關的問題解決還是有益處的. 例1 已知矩形ABCD的四個頂點都在橢圓上，且對稱軸平行于坐標軸.求矩形ABCD面積的最大值. 解：設點A在第一象限， 例2 已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD是橢圓的長軸，頂點B、C都在橢圓上.求梯形ABCD面積的最大值. 解法仿照例1，此處略去. 以上兩個例題的特點是很明確的，使用參數(shù)方程形式描述橢圓上的點的坐標，其中a、b都是常量，只有θ一個字母是變量，這樣面積的公式將是僅有一個自變量的解析式.學生在中學學習的函數(shù)僅限于一元函數(shù)，對于兩個自變量的函數(shù)學生往往感到困惑，使用參數(shù)方程處理上述問題，回避了出現(xiàn)二元函數(shù)的矛盾，建議教學中考慮介紹橢圓的參數(shù)方程的應用. （四）直線與圓錐曲線的位置關系 直線與圓錐曲線的位置關系比直線與圓的位置關系要復雜.首先打破了學生頭腦中固有的認識：直線與曲線有恰一個公共點，直線與曲線相切.當直線與拋物線的對稱軸平行的時候，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與拋物線相交而不是相切！同樣，當直線與雙曲線的漸近線平行的時候，直線與雙曲線恰有一個公共點，此時直線與雙曲線也是相交而不是相切！直線與圓錐曲線的問題，通常不要真的把直線與圓錐曲線的交點求出來，一般交點的坐標比較難求.聯(lián)立方程組之后，先轉化為一元二次方程，可以借助一元二次方程根與系數(shù)的關系，將與根有關的問題轉化為兩根和、兩根積的形式，分別把兩根之和、兩根之積看做兩個整體，再做整體的代換，可以使的整體的運算過程比較簡化. 例1已知橢圓 經(jīng)過點其離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； (Ⅱ)設直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標原點. 求到直線距離的最小值. 解：（Ⅰ）由已知，，所以， ① 又點在橢圓上，所以 ， ② 由①②解之，得. 故橢圓的方程為. (Ⅱ) 當直線有斜率時，設時， 則由 消去得，， ， ③ 設A、B、點的坐標分別為，則： ， 由于點在橢圓上，所以 . 從而，化簡得，經(jīng)檢驗滿足③式. 又點到直線的距離為： 當且僅當時等號成立 當直線無斜率時，由對稱性知，點一定在軸上，從而點為，直線的方程為，所以點到直線的距離為1 . 所以點到直線的距離最小值為. 這是一個典型的直線與圓錐曲線有關的問題. 對于題目解答的思路粗略的說，可以將直線的方程代入橢圓的方程，消去字母y（也有時消去字母x），得到一個關于x的一元二次方程.在解題的過程中，我們設A、B、點的坐標分別為，但是我們并沒有真的去把這四個量求解出來，而是利用一元二次方程的根系關系，用含有參數(shù)k、m的代數(shù)式將其表示出來. 學生在學習的開始階段，對于上述的解法并不熟悉. 其中一個重要的原因是義務教育階段的課程標準中，對于一元二次方程的根系關系較之前的教學大綱的要求有所降低，學生對于這個內(nèi)容的基礎知識以及理解程度都不是很高，教師可以適當?shù)募右匝a充. 學生對于分析問題的綜合能力需要一個比較長的螺旋式上升的過程，學生在學習的過程中，注意力往往只關注本單元的學習內(nèi)容，不善于聯(lián)想其他的數(shù)學知識，為了提高學生綜合運用知識的能力，使得學生能夠主動地、有意識的聯(lián)想各個模塊知識間的聯(lián)系，教師在選擇題目時候，要有意識的選擇一些綜合其他模塊知識的題目，避免全部都是當前每模塊的試題. 例2 已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為,離心率是.橢圓C的左，右頂點分別記為A,B.點S是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點. （1）求橢圓C的方程； （2）求線段MN長度的最小值； （3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于. 試確定點T的個數(shù). 例2的第二問是求弦長的最小值，問題解決的思路與例1是一致的.第三問是研究在第二問的條件下，判斷符合條件的點T的個數(shù)，這個問題的解決要注意用數(shù)形結合的思想去分析，構造與AS平行的直線系，在這個直線系中，找到與橢圓相切的兩條直線，不難得出問題的答案. 進一步引導學生思考，當我們調(diào)整數(shù)值時，隨著這個數(shù)值的變化，問題的結論會發(fā)生什么變化？ （五）關于動點軌跡的研究 對于不同基礎的學生可以采用不同的研究方式.基礎中等的學生，可以從教師示范，學生模仿開始.之后再進行創(chuàng)造.模仿的過程中，教師要揭示解題的思路和關鍵要點，而不是簡單的解題步驟. 例1 已知圓O的方程為：，點A（3，0），P是圓O上的動點，M是線段PA的中點.求點M的軌跡方程. 分析：首先我們設動點M的坐標為，點P的坐標為，依據(jù)題意找到這兩個點坐標之間的關系.，進一步得到，因為P是圓O上的點，代入得到：為所求軌跡方程. 我們的教學應該避免就題論題的模式.在解決一個問題的同時，應該揭示問題的本質(zhì)，使得學生掌握一類問題的解題策略. 本題的特點是動點M是隨著點P的運動而運動，通常把這兩個點稱為相關點.解題的關鍵是找到相關點的坐標之間的關系.利用其中一個點在曲線上，將這個點的坐標代入曲線的方程即可得到所求軌跡的方程. 如何訓練學生從一個問題的解決，提升為對一類問題的深刻認識？當一個題目解決之后，建議作一些變式的工作，一方面使得學生對于解題的思路有深入的理解和認識，同時也有助于學生跳出題海. 具體的說，變式可以從相關點的關聯(lián)性入手，這個題目點M是AP的中點，可以變?yōu)槿赛c，甚至MA與MP的長度比值為λ等等；從另外一個角度，可以變換動點P所在曲線的方程，不難看出，將圓換成橢圓、雙曲線、拋物線，其解決問題的思路完全相同，只是在問題的最后一步有所不同. 更進一步說，點P所在的曲線只要能用解析式描述，上述方法就可以運用，不限制一定是圓錐曲線. 常用的求軌跡方程的方法有：相關點法、參數(shù)法、幾何法、定義法……等等，因篇幅所限，這里再舉例2，分析一下定義法.定義法的思路是：先設動點的坐標，找到動點滿足的幾何條件，在依據(jù)幾何條件，變換為代數(shù)條件，之后對這個代數(shù)條件做適當?shù)幕喒ぷ?，得出所求軌跡方程. 例2 已知直線上有一個動點,過點作直線垂直于軸,動點在上,且滿足(為坐標原點),記點的軌跡為. 求曲線的方程. 解:設點的坐標為,則點的坐標為. ∵, 幾何條件 ∴. 代數(shù)條件 當時,得,化簡得. 代數(shù)方程 當時, 、、三點共線，不符合題意，故. ∴曲線的方程為. 軌跡方程 這個方法是求軌跡方程的最基礎的方法，讓學生在理解的基礎上，較好的掌握這個方法. （六）向量與圓錐曲線 向量知識的出現(xiàn)，使得解析幾何命題的思路又開了一扇門.但是有一些題目表面上與向量有關，實際上與向量無關.例如原來在解析幾何中關于垂直的描述，現(xiàn)在表現(xiàn)為兩個向量的點積為0.我們可以戲稱為假向量.即題目的本質(zhì)與向量并沒有關系.還有一類真的與向量有關，主要反映在一些計算的問題上. 例1 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若過點的直線與橢圓交于不同的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）設所求的橢圓方程為： 由題意： 所求橢圓方程為：． （Ⅱ）若過點的斜率不存在，則． 若過點的直線斜率為，即：時， 直線的方程為 由 因為和橢圓交于不同兩點 所以， 所以 ① 設 由已知，則 ② ③ 將③代入②得： 整理得： 所以代入①式得 ，解得． 所以或． 綜上可得，實數(shù)的取值范圍為：． 前面提到過學習圓錐曲線的問題，要注意與其他模塊的內(nèi)容相結合.在這里特別強調(diào)與向量知識的結合.因為向量的知識內(nèi)容，與解析幾何有一個共同的特點，用數(shù)量關系來描述圖形的性質(zhì). 教師在講解問題的過程中，應特別突出如何運用向量的知識，解決解析幾何的綜合題.例如本題題目解答的思路主體上與其他的解析幾何題目是相同的. 將直線的方程代入圓錐曲線的方程，整理后得到一個關于x的一元二次方程.不同點在于有了向量的相關條件之后，A、B、P三點的坐標之間除了原有的一元二次方程的根系關系之外，還有由向量條件得到的特定的關系“”，只有充分利用好這個條件，才能使本題得到順利的解決. 三、學生學習目標的檢測 （一）課程標準與高考對“解析幾何初步”內(nèi)容的要求 以下摘自普通高中數(shù)學課程標準： 圓錐曲線與方程（約16課時） （1）圓錐曲線 ①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. ②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì). ③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關性質(zhì). ④能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題. ⑤通過圓錐曲線的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想. （2）曲線與方程 結合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數(shù)形結合的基本思想. 課程標準對于圓錐曲線的教學要求具體明確.我們認為重點還是放在以下三個方面：首先是進一步體現(xiàn)解析幾何中用代數(shù)的方法研究幾何圖形性質(zhì)的基本思想；其次應該突出對于圓錐曲線的研究.既有對圓錐曲線基本性質(zhì)的研究，也有對于圓錐曲線教委復雜問題的研究；第三是滲透和培養(yǎng)常見的數(shù)學思想以及方法，使得學生在學習知識的同時，學會分析問題、解決問題的方法，進而達到培養(yǎng)學生能力的目的. （二）典型題目的檢測分析 檢測的題目選擇的原則，既要強調(diào)注重基礎知識和基本方法，同時還要體現(xiàn)能力的要求. 例1雙曲線的離心率為______；若橢圓與雙曲線有相同的焦點，則______. 例1就是以離心率、焦點坐標這些基礎的知識為檢測目標. 在圓錐曲線的學習過程中，學生對于橢圓、雙曲線中出現(xiàn)的字母a、b、c容易混淆，特別是這幾個字母之間的關系. 針對學生出現(xiàn)的問題，教師可以結合圖形強調(diào)：在橢圓中a、b、c的關系是：，而在雙曲線中a、b、c的關系是：. 對于檢測題目的選擇要重視考查學生綜合運用知識的能力. 既要檢測學生對圓錐曲線內(nèi)容的掌握情況，同時要檢測學生將以往所學知識與圓錐曲線知識綜合運用的能力. 例2 已知橢圓的焦點為，，在長軸上任取一點，過作垂直于的直線交橢圓于點，則使得的點的概率為（ ） A． B． C． D． 例2涉及了三個模塊的知識. 有橢圓的知識，也是本題的主干；有向量的知識，由向量的點積小于0可以得出∠是個鈍角；還有概率的知識.這里涉及的是一個幾何概型.從以上分析可以看出，在學習新的知識的同時，要適時的與之前學習的內(nèi)容進行有機的整合. 例3 已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，動點. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程； （Ⅲ）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N， 證明線段ON的長為定值，并求出這個定值. 例3 一共分為3個小題.第1個小題是利用曲線與方程的概念確定橢圓的方程.這是一個基本的問題，用到了待定系數(shù)法等，難度不大，一般同學都可以順利解決；第2問就是解決一類圓錐曲線的問題，用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題，確定圓的方程.如果使用弦長公式解決，運算量較大，如果使用平面幾何的知識，將直線被圓所截得弦長的問題轉化為點到直線的距離問題，體現(xiàn)了思維多樣性、靈活性的考查；第3問是進一步研究曲線的性質(zhì)，證明線段ON的長為定值，并求出這個定值，既可以使用解析幾何的的知識解決，也可以運用向量的知識來解決，體現(xiàn)了對綜合分析問題、解決問題能力的考查. 詳解如下： （Ⅰ）由題意得① 因為橢圓經(jīng)過點，所以 ② 又 ③ 由①②③ 解得 ，. 所以橢圓方程為. （Ⅱ）以OM為直徑的圓的圓心為,半徑， 方程為： 因為以OM為直徑的圓被直線截得的弦長為2， 所以圓心到直線的距離 . 所以，解得. 所求圓的方程為. （Ⅲ）方法一：過點F作OM的垂線，垂足設為K，由平幾知：. 則直線OM：，直線FN： 由，得：. ∴ . 所以線段ON的長為定值. 方法二：設，則 ，， ，. ∵ ，∴ .∴ . 又∵ ，∴ ， ∴ . ∴ 為定值. 解析幾何的綜合題往往是集中檢測運算能力、空間想象能力、邏輯推理能力于一身，因此解析幾何的綜合題成為我們檢測的重要內(nèi)容之一. 我們建議教師在設計解析幾何綜合題這類檢測題目的時候，要注意對學生運算能力、空間想象能力、邏輯推理能力的檢測. 在具體題目的設計時，還需要注意幾個問題. 首先題目要有一定的梯度.綜合題也應該有一個由易到難的過程，對于基礎較弱的同學也能夠有入手之處；其次，雖然注重運算能力的考查，但是還要有邏輯思維能力的考查，盡量不要有過大的運算量.按照減小運算量、增加思維量的原則處理為宜；第三適當?shù)呐c其他模塊的知識綜合，比如與函數(shù)的知識綜合，與向量的知識綜合，與不等式的知識綜合，與概率的知識綜合、與三角函數(shù)的知識綜合等等. 以上是對高中“圓錐曲線”教學的一些想法和認識，供各位老師參考，不妥之處，敬請批評指正. 互動對話 【參與人員】 金寶錚：北京師范大學二附中 程　敏：北京師范大學二附中 趙瑞娟：北京師范大學二附中 【互動話題】 1．如何突破“解析幾何綜合題”這個難點 高中數(shù)學“圓錐曲線”教學中，橢圓、雙曲線、拋物線主要是直線和圓錐曲線的位置關系，學生往往感到困惑。如何在教學中，克服學生的畏難情緒，幾位教師作了較為詳細的論述，建議教師遵循循序漸進的教學原則，綜合問題也要由淺入深，并且列舉一些案例。 2．圓錐曲線的“包絡”身份與幾何畫板作圖 經(jīng)?？吹揭恍┙處熢谡n堂上，利用折紙“折出”圓錐曲線，幾位教師談話揭露了其中的奧妙。幾位教師從什么是包絡開始講起，借助幾何畫板的演示，詳細敘述了圓錐曲線的包絡，還介紹了在高考中出現(xiàn)的與包絡有關的試題。 3．重視與其它知識的交匯點 圓錐曲線的知識與其他模塊的知識之間存在有諸多的聯(lián)系。三位老師建議教師在教學過程中不要忽視與其他知識的結合。他們列舉的實例雖然僅僅是立體幾何的聯(lián)系，但是教師在體會了其中的意思之后，會舉一反三，自然地遷移到其他的模塊。 4．圓錐曲線發(fā)展史 數(shù)學文化往往被強大的升學壓力所淹沒，我們還是希望我們的教師能夠更多的關注知識形成過程，這樣有助于加深我們對知識完整的理解。幾位老師對圓錐曲線發(fā)展史簡單的介紹，豐富了解析幾何學科內(nèi)容的同時，感受數(shù)學文化的熏陶。 案例評析 【案例信息】 案例名稱：《拋物線的焦點弦》 講課教師：汪燕銘（北師大二附中，高級教師） 評析教師：金寶錚（北師大二附中，特級教師） 【課堂實錄】 【案例評析】 汪燕銘老師的教學課例《拋物線的焦點弦》是選修系列2-1中的一個內(nèi)容。 普通高中數(shù)學課程標準中明確指出：數(shù)學教育作為教育的組成部分，在發(fā)展和完善人的教育活動中、在形成人們認識世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動社會進步和發(fā)展的進程中起著重要的作用。 這節(jié)課，首先由教師提出研究課題：拋物線的焦點弦。把拋物線的焦點弦作為研究的主要對象，帶領學生進行探討。這種探討，既不是教師提出問題讓學生解答，也不是放羊式的讓學生漫無邊際的空想。 教師首先啟發(fā)學生思考，有哪些與拋物線的焦點弦有關的問題，從錄像課中我們可以看到學生的思維是非常活躍的，提出了弦的中點的軌跡問題；頂點與弦的兩個端點構成的三角形產(chǎn)生的面積關系；…，有了這些感性的、具體的問題，教師進行了適當?shù)臍w納：首先是點和直線的關聯(lián)，可以探究由此產(chǎn)生的問題；第二可以從研究拋物線本身的關系入手；第三研究直線和拋物線的關系。 教師這樣的提示有利于學生積極地探索，同時也滲透了如何從未知的角度發(fā)現(xiàn)新問題的方法。汪老師還強調(diào)了一點，首先是發(fā)現(xiàn)結論得出猜想，如果時間不夠，可以把證明先放一放。這個作法可以讓學生更放松的去探討未知的性質(zhì)。 教師讓學生自主研討，并且不時地走到同學面前和他們交談，對于學生探討中遇到的障礙給予幫助。整個自主探討的過程持續(xù)了11分鐘，足以看出教師對于學生的放手是充分的。 學生的討論是否會有成果，能否發(fā)現(xiàn)拋物線的焦點弦的性質(zhì)？接下來的討論完全可以讓我們放心。 教師先后讓六位同學發(fā)言，簡單記錄如下（根據(jù)錄像整理，不是原話）： 生1：我探討的是拋物線的焦點弦的弦長的最小值，當弦垂直于其對稱軸時取得最小值，沒有最大值。 同時我還得到焦點弦兩個端點縱坐標之間的關系：。 生2：弦中點與準線的距離等于弦長的一半，從弦AB的中點向準線引垂線，如果垂足是C，則∠ACB＝90°，點C在以AB為直徑的圓上，準線是這個圓的切線。 生3：△AOB的面積有最小值。 生4：焦點弦的中垂線與拋物線的交點到焦點弦的距離相等。 生5：如果A、B在準線上的射影分別為：，那么。 生6：弦中點的軌跡亦為拋物線，新拋物線的焦點與原拋物線的焦點是有聯(lián)系的。 至此，教師啟發(fā)、引導學生進行探索的階段已經(jīng)完成。無論是學生經(jīng)過自身努力獲得探索的結果，還是受其他發(fā)言同學的啟發(fā)思路更加開闊，對于學生來是說，都是一種巨大的收獲。 普通高中數(shù)學課程標準在理念的論述中指出：倡導積極主動、勇于探索的學習方式。學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式。這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。同時，高中數(shù)學課程設立“數(shù)學探究”“數(shù)學建?！钡葘W習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣。高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。 高中數(shù)學課程應注重提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一。人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構等思維過程。這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和做出判斷。數(shù)學思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用。 汪老師的這節(jié)課，成功之處在于真正的實施讓學生自主探索，在學習知識的同時，能力得到提升。 在學生交流之后，教師又帶領學生一起對拋物線的焦點弦的中點的軌跡等兩個問題進行了論證，體現(xiàn)了對學生思維能力的培養(yǎng)。 縱觀整節(jié)課程，汪老師較好的體現(xiàn)了新的課程標準的理念，同時注重基礎知識、基本方法和基本技能的落實，確實值得我們借鑒。 思考與活動 1．同課異構活動 圍繞圓錐曲線綜合題，自選一節(jié)課，約請一個區(qū)域（或幾個學校）的幾個數(shù)學老師作課，相互觀摩實際的授課，聽課之后一起評議。重點探討如何突破教學難點。 2．目標檢測設計 選擇一個單元的內(nèi)容，約請一個區(qū)域（或幾個學校）的幾個數(shù)學分別命制目標檢測題，交流之后，安排一次研討，品評每一道題目的優(yōu)劣，達到提高命制目標檢測題目水平的目的。 3．教學設計交流 選擇一個大家公認難教的課題，約請一個區(qū)域（或幾個學校）的幾個數(shù)學老師作該課程的教學設計，之后相互交流研討，達成共識。 參考資料 【相關資源】 1.一類圓錐曲線交點問題的常用解法(PDF) 2.一類過定點的橢圓和雙曲線方程的求法(PDF) 3.一類非標準雙曲線離心率的求法(PDF) 4.一道高考題另一種形式的推廣(PDF) 5.三角形和圓的性質(zhì)在圓錐曲線中的運用(PDF) 6.優(yōu)美圓錐曲線(PDF) 7.再議圓錐曲線上兩點關于直線對稱的問題(PDF) 8.雙曲線中有關中點弦存在性問題的探索(PDF) 9.雙曲線的軌跡問題求解四法(PDF) 10.向量與解析幾何的交匯(PDF) 11.圓的垂徑定理的推廣_橢圓_雙曲線的性質(zhì)探究及應用(PDF) 12.圓錐截線若干性質(zhì)的解析證明(PDF) 13.圓錐曲線一個有趣的關系式(PDF) 14.圓錐曲線一組統(tǒng)一性質(zhì)的推廣(PDF) 15.圓錐曲線與其他熱點知識的交匯(PDF) 16.圓錐曲線與方程的探究性學習(PDF) 17.圓錐曲線中“范圍問題”的解法——高考熱點問題專題復習設計(PDF) 18.圓錐曲線中的定值與最值問題(PDF) 19.圓錐曲線幾類問題的簡明解法(PDF) 20.圓錐曲線定點弦的一個奇妙定值(PDF) 21.圓錐曲線平行弦性質(zhì)探究(PDF) 22.圓錐曲線最值問題的處理方法(PDF) 23.圓錐曲線焦點弦的性質(zhì)及應用(PDF) 24.圓錐曲線焦點弦的長度與條數(shù)關系(PDF) 25.圓錐曲線的“共軛直線”及應用(PDF) 26.圓錐曲線的“內(nèi)部”作用(PDF) 27.圓錐曲線的一個優(yōu)美性質(zhì)(PDF) 28.圓錐曲線的切線性質(zhì)相關性(PDF) 29.圓錐曲線的應用性問題(PDF) 30.圓錐曲線的新性質(zhì)探究(PDF) 31.圓錐曲線的有趣性質(zhì)(PDF) 32.圓錐曲線的通徑公式及其應用(PDF) 33.圓錐曲線解題誤區(qū)辨析(PDF) 34.圓錐曲線問題中一對奇異的“伴侶點”(PDF) 35.探析解析幾何中的例索性_存在性問題(PDF) 36.探究雙曲線四種定義的_統(tǒng)一_性_一節(jié)選修課的設計思路(PDF) 37.數(shù)學高考復習綜合能力題選講——解析幾何(PDF) 38.有關圓錐曲面鏡面反射的幾個結論(PDF) 39.有關橢圓焦點弦的高考題的探究(PDF) 40.有心圓錐曲線的一組性質(zhì)(PDF) 41.橢圓與雙曲線的一個重要性質(zhì)(PDF) 42.橢圓與雙曲線的兩個統(tǒng)一性質(zhì)(PDF) 43.橢圓與雙曲線的另一定義(PDF) 44.橢圓準線上點的有趣性質(zhì)的簡證及新性質(zhì)(PDF) 45.橢圓第二定義的應用(PDF) 46.現(xiàn)代手持教育技術支持下的數(shù)學實驗探究_圓錐曲線焦點弦的一種性質(zhì)(PDF) 47.用幾何畫板畫橢圓的六種方法(PDF) 48.運用圓錐曲線的光學性質(zhì)解題續(xù)談(PDF) 49.運用圓錐曲線范圍解題例說(PDF) 50.2005年高考全國試題分類解析（圓錐曲線）(PDF) 51.2006年高考數(shù)學試題分類匯編（圓錐曲線）(PDF) 52.2007年高考數(shù)學試題分類匯編（圓錐曲線）(PDF) 53.2008年高考數(shù)學試題分類匯編－－圓錐曲線(PDF) 54.2009年高考數(shù)學試題分類匯編——圓錐曲線（共77頁）(PDF) 55.2011年高考數(shù)學試題分類匯編——直線與圓(PDF) 課程簡介 高中數(shù)學“圓錐曲線”教學研究 【課程簡介】 高中數(shù)學“圓錐曲線”教學研究分為三個方面。首先是對“圓錐曲線”數(shù)學知識的深層次理解。在對“圓錐曲線”的知識結構分析之后，對這部分內(nèi)容在整個解析幾何中的地位與作用作了詳盡的分析；接下來第二部分是“圓錐曲線”的教學策略以及學生學習中常見的錯誤與問題的分析與解決策略。這一部分是本講的重點，從教師的教和學生的學兩個方面作了論述。第三是學生學習目標的檢測。重點講解了檢測題目設置的原則和一些具體的問題。 學習本課程，幫助教師準確把握課程標準的要求尺度以及教學的重點和難點。由于本講內(nèi)容難度較大，學生學習困難也較大，我們對一些教學內(nèi)容的處理提出幾種不同層次的要求，希望教師結合自己學生的實際情況，恰當?shù)匕盐战滩模^好的完成相應的教學內(nèi)容。 本課程結合主講教師的教學實踐經(jīng)驗，既有從宏觀上把握教學重點、難點的經(jīng)驗，還配合有大量的教學案例，使得聽課教師有直觀的切身感受，有腳踏實地的感受。換個角度說，主講教師將教學理論和教學實踐作了較好的整合。聽課教師不會感到空洞。 【學習要求】 1.高中數(shù)學“圓錐曲線”教學的學習要求，首先要求教師整體把握全章的知識結構。對全章內(nèi)容有一個整體的了解。這樣才能把握好每一個具體知識點的教學要求。避免忽深忽淺。 思考題：如何區(qū)別高中數(shù)學“圓錐曲線”的內(nèi)容中對于三種曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）在教學要求中的相同點和不同點？ 2.正確理解高中數(shù)學“圓錐曲線”教學的重點、難點。明確哪些內(nèi)容是基礎的，對于學生學習是不困難的，哪些內(nèi)容學生的學習是困難的。對于常用的數(shù)學方法要引導學生深入理解。不宜過分強調(diào)一些特殊的、偏怪的解題技巧。 思考題：我們應該采取哪些措施，突破教學的重點和難點？ 3.明確高中數(shù)學“圓錐曲線”教學中，對于學生的目標檢測的原則和要求。特別是在檢測知識的同時，要注意能力要求的檢測。 思考題：如何設計好本講的目標檢測題？ 教師團隊 【主講教師】 金寶錚 北京市數(shù)學特級教師，任教于北京師大二附中?，F(xiàn)任中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會理事；北京市教育學會中學數(shù)學教學研究會常務理事；北京市西城區(qū)數(shù)學學會常務理事。 1991年至1993年被教育部派往日本研修教育理論；2000年被教育部選為骨干教師國家級培訓學員，在華東師范大學研修。 2004年被評為北京市中學數(shù)學學科帶頭人；2003年開始參加北京市義務教育數(shù)學教科書編寫工作；現(xiàn)任《數(shù)學通報》編委會委員； 1998年被西城區(qū)評為首批數(shù)學學科帶頭人；2001年至2009年擔任北京數(shù)學會理事；曾任《中學生數(shù)學》編委會委員。 【互動教師】 程敏：北京師大二附中青年骨干教師。2010年在中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會舉辦的第五屆全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比中，程敏老師的課題《歸納推理》獲得全國一等獎。2011年被西城區(qū)教育委員會評為西城區(qū)先進教育工作者。