《中值定理》PPT課件

第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,3.1、中值定理,I、知識(shí)要點(diǎn),一、羅爾定理,二 、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,四、 泰勒公式,1、帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式,2、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式,f(x)在x0處f （n）(x0)存在，則有,即 Rn（x）= o（xx0）n） n階泰勒公式的佩亞諾余項(xiàng),3、基本初等函數(shù)的麥克勞林公式,II、典型例題,一、利用中值定理證明中值等式,1、利用羅爾定理證明中值等式,例1、,兩邊積分,常用輔助函數(shù)：xk f(x)，ex f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x) (xx0)k f(x)，,2 利用拉格朗日、柯西中值定理,例2、,(2) 設(shè) f (x) 在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)， 證明：存在一點(diǎn),(a,b)使,證,在a ，b上由拉格朗日中值定理得,在a ，b上由柯西中值定理得,由(1),(2)得,3 利用拉格朗日結(jié)合介值定理,證明,二、函數(shù)恒等式的證明,所以 f（x）= C ex ，再由 f（0）= 1 C = 1， 所以 f（x）= ex 。,例1、,三、泰勒公式(帶佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式) 用于極限運(yùn)算,例1,2、泰勒公式用于無(wú)窮小的階的估計(jì),3、泰勒公式用于求函數(shù)在某點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù),例1 f（x）在x = 0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且有,求,解 由題設(shè)可得,3.2、洛必達(dá)法則,I、知識(shí)要點(diǎn),一、,(洛必達(dá)LHospital法則),二、,方法:將其它類型未定式化為,步驟:,化為,步驟:經(jīng)過(guò)通分、變量代換化為,步驟:,II、典型例題,方法：先化簡(jiǎn)（初等變換、等價(jià)無(wú)窮小替換、非零因子極限先求出、變量替換），再用洛必達(dá)法則,一、 利用洛必達(dá)法則求極限,解：,例2,例3,解,解法一： 原極限,解法二：先求:,原極限,注：數(shù)列極限利用函數(shù)極限來(lái)求,例5、,例6 設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，求,解 ：,但不可再用洛必達(dá)法則，,下一步應(yīng)利用二階導(dǎo)數(shù)定義 ：,