《中值定理》PPT課件

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1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,3.1、中值定理,I、知識(shí)要點(diǎn),一、羅爾定理,二 、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,四、 泰勒公式,1、帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式,2、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式,f(x)在x0處f (n)(x0)存在,則有,即 Rn(x)= o(xx0)n) n階泰勒公式的佩亞諾余項(xiàng),3、基本初等函數(shù)的麥克勞林公式,II、典型例題,一、利用中值定理證明中值等式,1、利用羅爾定理證明中值等式,例1、,兩邊積分,常用輔助函數(shù):xk f(x),ex f(x),f(x)eg(x),f(x)g(x) (xx0)k f(x),,2 利用拉格朗日、柯西中值定理,例2、,(2) 設(shè)

2、 f (x) 在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 證明:存在一點(diǎn),(a,b)使,證,在a ,b上由拉格朗日中值定理得,在a ,b上由柯西中值定理得,由(1),(2)得,3 利用拉格朗日結(jié)合介值定理,證明,二、函數(shù)恒等式的證明,所以 f(x)= C ex ,再由 f(0)= 1 C = 1, 所以 f(x)= ex 。,例1、,三、泰勒公式(帶佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式) 用于極限運(yùn)算,例1,2、泰勒公式用于無(wú)窮小的階的估計(jì),3、泰勒公式用于求函數(shù)在某點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù),例1 f(x)在x = 0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且有,求,解 由題設(shè)可得,3.2、洛必達(dá)法則,I、知識(shí)要點(diǎn),一、,(洛必達(dá)LHospital法則),二、,方法:將其它類型未定式化為,步驟:,化為,步驟:經(jīng)過(guò)通分、變量代換化為,步驟:,II、典型例題,方法:先化簡(jiǎn)(初等變換、等價(jià)無(wú)窮小替換、非零因子極限先求出、變量替換),再用洛必達(dá)法則,一、 利用洛必達(dá)法則求極限,解:,例2,例3,解,解法一: 原極限,解法二:先求:,原極限,注:數(shù)列極限利用函數(shù)極限來(lái)求,例5、,例6 設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo),求,解 :,但不可再用洛必達(dá)法則,,下一步應(yīng)利用二階導(dǎo)數(shù)定義 :,

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