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1、4.1 平面的表示法平面的表示法4.2 各種位置的平面各種位置的平面4.3 屬于平面上的點和直線屬于平面上的點和直線4.1 4.1 平面的表示法平面的表示法不在同一直線不在同一直線上的三個點上的三個點直線及線直線及線外一點外一點abca b c dd 兩平行直線兩平行直線abca b c 兩相交直線兩相交直線平面圖形平面圖形c abca b caba b c baca b c X XX XX XX XX X4.1.1 4.1.1 平面的幾何元素表示法平面的幾何元素表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ1.平面與投影面的相對位置有：平面與投影面的相對位置有：垂直、平行、傾斜垂直、平行、傾斜三
2、種。三種。4 平面在三投影面體系中的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面(V)V)鉛垂面鉛垂面(H)H)側(cè)垂面?zhèn)却姑?W)W)正平面正平面(V)(V)水平面水平面(H)(H)側(cè)平面?zhèn)绕矫?W)(W)側(cè)垂面?zhèn)却姑嫱队懊娲怪泵嫱队懊娲怪泵鎂 V
3、W WH HY YX XZ Z正垂面正垂面鉛垂面鉛垂面鉛垂面鉛垂面c c 鉛垂面鉛垂面abca b b a 積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。及：及：水平投影積聚成直線。水平投影積聚成直線。該直線與投影軸該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。另外兩個投影面上的投影為類似形。Z Z類似性類似性類似性類似性X XO OY YH HY YW WPHPPH鉛垂面的跡線表示鉛垂面的跡線表示ABCacbabab bab cccPH
4、abab bab ccc正垂面正垂面c c 正垂面正垂面abca b b a 積聚性積聚性正垂面正垂面 投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。及：及：正面投影積聚成直線。正面投影積聚成直線。該直線與投影軸該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。另外兩個投影面上的投影為類似形。Z Z類似性類似性X XO OY YH HY YW W類似性類似性QQVQV正垂面的跡線表示正垂面的跡線表示AcCabB側(cè)垂面?zhèn)却姑鎐 c 側(cè)垂面?zhèn)却姑鎍bca b b a 積
5、聚性積聚性側(cè)垂面?zhèn)却姑?投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。及：及：側(cè)面投影積聚成直線。側(cè)面投影積聚成直線。該直線與投影軸該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。另外兩個投影面上的投影為類似形。Z Z類似性類似性類似性類似性X XO OY YH HY YW W側(cè)垂面的跡線表示側(cè)垂面的跡線表示VWSwSZXOYSwYCabABcX XY YZ ZH HV VW W側(cè)平面?zhèn)绕矫嬲矫嬲矫嫠矫嫠矫嫱队懊嫫叫忻嫱队懊嫫叫忻嫠矫嫠矫娣e聚性積聚性積
6、聚性積聚性實形性實形性水平面水平面投影特性：投影特性：它在水平投影面上的投影反映實形。它在水平投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。的投影軸平行的直線。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W正平面正平面積聚性積聚性積聚性積聚性實形性實形性正正平面平面投影特性：投影特性：它在正面投影面上的投影反映實形。它在正面投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。的投影軸平行的直線。a b c a b c abcZ ZX X
7、O OY YH HY YW W側(cè)平面?zhèn)绕矫娣e聚性積聚性積聚性積聚性側(cè)側(cè)平面平面投影特性：投影特性：它在側(cè)面投影面上的投影反映實形。它在側(cè)面投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。的投影軸平行的直線。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W實形性實形性一般位置平面一般位置平面X XY YZ ZH HV VW W 一般位置平面一般位置平面三個投影都為類似形。三個投影都為類似形。投影特性：投影特性：a b c a c b abcZ ZX XO OY YH HY YW W平面與三個投影面都傾斜。
8、平面與三個投影面都傾斜。a c b c a abcb 例例：正垂面正垂面ABCABC與與H H面的夾角為面的夾角為4545，已知其水平投影，已知其水平投影及頂點及頂點B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及側(cè)面投影。的正面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個解？思考：此題有幾個解？4545Z ZX XO OY YH HY YW W4.3.1 屬于一般位置平面的點和直線4.3.2 屬于特殊位置平面的點和直線4.3.3 屬于平面的投影面平行線4.3.4 屬于平面的最大斜度線*1 1平面上的直線平面上的直線 直線在平面上的幾何條件是：通過平面上的兩點；通直線在平面上的幾何條件是：通過平
9、面上的兩點；通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。2 2平面上的點平面上的點 點在平面上的幾何條件是：點在平面內(nèi)的某一直線上。點在平面上的幾何條件是：點在平面內(nèi)的某一直線上。在平面上取點、直線的作圖，實質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助在平面上取點、直線的作圖，實質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點題：判別已知點、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。和直線的投影；完成多邊形的投影。例
10、題例題1 1 例題例題2 2 例題例題3 3位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：平面上取任意直線平面上取任意直線若一直線過平面上若一直線過平面上的兩點，則此直線的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。必在該平面內(nèi)。若一直線過平面上若一直線過平面上的一點且平行于該的一點且平行于該平面上的另一直線平面上的另一直線，則此直線在該平，則此直線在該平面內(nèi)。面內(nèi)。A AB BM MQ QM MN NP P 取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。EDFddeeff abcb c a d d例：例：已知平面由直線已知平面由直線
11、AB、AC所確定，試在所確定，試在 平平面內(nèi)任作一條直線。面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有無數(shù)解！有無數(shù)解！n m nmabcb c a X XX X 取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線EDddee平面上取點平面上取點 先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例：例：已知已知K點在平面點在平面ABC上，求上，求K點的水平投影。點的水平投影。面上取點的方法：面上取點的方法：d d通過在面內(nèi)作輔助線
12、求解通過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取首先面上取線線kabca b c X Xk 利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解baca k b c X Xkddeeddeeee 1 1取屬于投影面垂直面的點和直線取屬于投影面垂直面的點和直線 2 2過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線總可作投影面的垂直面 (1)(1)幾何元素表示法幾何元素表示法 (2)(2)跡線表示法跡線表示法 3 3過特殊位置直線作平面過特殊位置直線作平面 (1)(1)過正垂線作平面過正垂線作平面 (2)(2)過正平線作平面過正平線作平面 bb1 取屬于投影面垂直面的點和直線取屬于投影面垂直面的點和直線aaeffeab
13、baSbaabAB2過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線過一般位置直線AB作鉛垂面作鉛垂面PH過一般位置直線過一般位置直線AB作作正垂面正垂面SVPPHSVABmn(n)(m)(1)過一般位置直線作投影面的垂直面過一般位置直線作投影面的垂直面(幾何元素表示法幾何元素表示法)(2)過一般位置直線作投影面的垂直面過一般位置直線作投影面的垂直面(跡線表示法跡線表示法)baSVQWPH 過正垂線作平面過正垂線作平面 (跡線表示法跡線表示法)PVSVQVRV（a）給題）給題（c）作側(cè)平面）作側(cè)平面（b）作水平面）作水平面（d）作正垂面）作正垂面（有無窮多個）
14、（有無窮多個）過正平線作平面過正平線作平面PHSHgg（a）給題給題（c）作正垂面作正垂面（b）作正平面作正平面（d）作一般位置平面作一般位置平面（有無窮多個）（有無窮多個）4.3.3 屬于平面的投影面平行線屬于平面的投影面平行線 屬于平面的水平線和正平線屬于平面的水平線和正平線 例題例題4 4 例題例題5 5 例題例題6 6P屬于平面的水平線和正平線屬于平面的水平線和正平線PVPH例：例：在平面在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距面的距 離為離為10mm10mm。n m nm1010c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？mnnmmnmnr
15、srs1015eebckada d b c k b 例例題題6 6 已知已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX X4.3.4 屬于平面的最大斜度線屬于平面的最大斜度線*1 1平面上的投影面最大斜度線平面上的投影面最大斜度線平面上對某個投影面傾角平面上對某個投影面傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。傾角。2平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上對某投影面平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上對某投影面的平行線相互垂
16、直。的平行線相互垂直。3平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正面投影平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正面投影面、水平投影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。面、水平投影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。（1 1）平面上對水平投影面的最大斜度線平面上對水平投影面的最大斜度線（2 2）平面上對正面投影面的最大斜度線平面上對正面投影面的最大斜度線（3 3）平面上對側(cè)面投影面的最大斜度線平面上對側(cè)面投影面的最大斜度線 例題例題8 8 例題例題9 9 例題例題1010 例題例題1111PCDaE1 SAE1.平面上對水平投影面平面上對水平投影面H的最大斜度線的最大斜度線 EF AB平行于平行于 H，EF垂直于垂直于 ABPEFBA2.平面上對正面投影面平面上對正面投影面V的最大斜度線的最大斜度線 CD AB平行于平行于V，CD垂直于垂直于 ABPBACD3.平面上對側(cè)面投影面平面上對側(cè)面投影面W的最大斜度線的最大斜度線 MN AB 平行于平行于W，MN垂直于垂直于ABPBAMNbddeebe BEab 例題10 過正平線作平面與水平投影面成過正平線作平面與水平投影面成 60。60bbbaaabAB 例題例題1111 已知直線已知直線EFEF為平面對為平面對H H面的最大斜度線，試作出該平面。面的最大斜度線，試作出該平面。aa給題
第4章 平面的投影
