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1、1.2 初始條件與邊界條件,特定條件準(zhǔn)確說明對象的初始狀態(tài)以及邊界上的約束條件。,用以說明初始狀態(tài)的條件稱為“初始條件”；,用以說明邊界上約束情況的條件稱為“邊界條件”。,描述物理現(xiàn)象：,初始條件,弦振動問題：初始條件是指弦在開始振動時刻的位移和速度。如果以 f(x) 和 g(x) 分別表示弦的初位移和初速度，則初始條件可以表達(dá)為,初始條件用以給出具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)。,熱傳導(dǎo)問題：初始條件是指開始傳熱的時刻物體溫度的分布情況。若以 f(M) 表示 t =0 時物體內(nèi)一點(diǎn)M的溫度，則熱傳導(dǎo)問題的初始條件可以表示為,泊松方程和拉普拉斯方程：描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與時間無關(guān)，所以不提初始條件。,不同類型
2、的方程，相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同。 關(guān)于t的n階偏微分方程，要給出n個初始條件。 初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而 非系統(tǒng)中個別點(diǎn)的初始狀態(tài)。,注意：,邊界條件,邊界條件是給出具體物理現(xiàn)象在邊界上所處的物理情況。根據(jù)邊界條件數(shù)學(xué)表達(dá)方式的不同，一般把邊界條件分為三類。設(shè) u 是未知函數(shù)，S 為邊界，則分類如下：,第一類邊界條件：直接給出 u 在邊界 S 上的值,弦振動問題：如果弦的兩端是固定的，也就是說端點(diǎn)無位移，則其邊界條件為,若弦的兩端不是固定的，而是按照規(guī)律 在運(yùn)動,則其邊界條件為,熱傳導(dǎo)問題：當(dāng)物體與外界接觸的表面溫度 f(M,t) 已知時，其邊界條件為,第二類邊界條件：給出
3、 u 沿 S 的外法線方向的 方向?qū)?shù),弦振動問題：弦的一端（如 x=l）可以在垂直x軸的直線上自由的上下滑動，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點(diǎn)為“自由端”。,在這一端點(diǎn)，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的分量為0，因此在方程的推導(dǎo)中知 , 即,當(dāng)該點(diǎn)處的張力沿垂直x軸的方向的分量是 t 的已知函數(shù) 時，有,熱傳導(dǎo)問題：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為0，則由方程推導(dǎo)過程可知，有邊界條件,第三類邊界條件：給出 u 以及 的線性組合 在邊界的值，即,弦振動問題：當(dāng)端點(diǎn) x=l 被彈性支撐所支承，設(shè)彈性支撐原來位置在 u=0，則 表示彈性支撐的應(yīng)變。,由Hook
4、e定律知，在 x=l 端張力沿位移方向的分量 應(yīng)等于 ,即有,其中非負(fù)常數(shù) k 表示彈性體的倔強(qiáng)系數(shù),,熱傳導(dǎo)問題：如果物體內(nèi)部通過邊界S 與周圍的介質(zhì)有熱量交換，這時能測量到物體與接觸處的介質(zhì)的溫度 。通常情形下， 與物體在表面S上的溫度 u 不相同。根據(jù)熱學(xué)中的牛頓實(shí)驗(yàn)定律，物體從一介質(zhì)流入另一介質(zhì)的熱量與兩個介質(zhì)間的溫度差成正比，即 ，其中常數(shù) 表示兩種介質(zhì)之間的熱交換系數(shù)。,在物體內(nèi)部任意取一個無限貼近S 的閉曲面 ，由于在S 的內(nèi)側(cè)熱量不能積累，所以在 上的熱量流速應(yīng)等于邊界S上的熱量流速。 上的熱量流速為 ，其中 k 為熱傳導(dǎo)系數(shù).,所以當(dāng)物體與外界有熱
5、交換時，相應(yīng)的邊界條件為,在上面給出的邊界條件中， 都是定義在邊界S上（通常也依賴于t）的已知函數(shù)。 當(dāng) 時，相應(yīng)的邊界條件稱為齊次的，否則稱為非齊次的。,注1,注2 三種邊界條件可用一個式子表達(dá)：,1.3 定解問題的提法,初始條件和邊界條件都稱為定解條件。,定解問題是指偏微分方程和相應(yīng)定解條件的結(jié)合體。,偏微分方程和相應(yīng)初始條件構(gòu)成的定解問題稱為初值問題或者柯西(Cauchy)問題。,波方程的Cauchy問題,由偏微分方程和相應(yīng)邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為邊值問題。,Laplace方程的邊值問題,由偏微分方程和相應(yīng)的初始條件及邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為混合問題。,熱傳導(dǎo)方程的混合問題,一個定解問題的適定性(Well-posedness)包含以下幾個方面：,1）解的存在性，即所提的定解問題是否有解；,3）解的穩(wěn)定性，即看定解問題的解是否連續(xù)依賴定解條件。也就是說，當(dāng)定解條件有微小變動時，引起解的變動是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定的，否則稱解是不穩(wěn)定的。,,2）解的唯一性，即所提的定解問題是否有唯一的解；,解：,一般二階線性偏微分方程（n個自變量）,兩個自變量二階線性偏微分方程的一般形式,線性方程的疊加原理,,例 非齊次波動方程的Cauchy問題,的解等于問題(I)和問題(II)的解之和,課后作業(yè),P17 習(xí)題一 1. 5.,
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