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1、8.2.1 對(duì)正態(tài)總體對(duì)正態(tài)總體 中中 的檢驗(yàn)的檢驗(yàn)),(20N設(shè) 是從正態(tài) 中抽取),(20N),.,(10XXXn現(xiàn)檢驗(yàn)假設(shè)的一個(gè)樣本，其中方差 為已知常數(shù)，現(xiàn)200100:;:HH（其中 為已知）08.2 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法U 檢驗(yàn)法也稱為正態(tài)檢驗(yàn)法，是使用U服從正態(tài)分布的 統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行檢驗(yàn)。U由上一節(jié)的討論知，檢驗(yàn)的關(guān)鍵在于找一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)假設(shè) 為真時(shí)，H0樣本均值 ，因此統(tǒng)計(jì)量),(20nNXonXU00服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)2,1(N得 ，使 2.)(2UP如圖8-1所示，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閷?duì)于給定的顯著性水平 ，正真態(tài)分布).(2 UW或2(UW或).2U0)(xxuu22圖8-1得U的
2、觀察值 若 ，則拒絕 ，即H0W認(rèn)為總體的均值 與 之間的顯著差異；0顯著差異。若 ，則接受 ，即認(rèn)為 與 無0H0W例例1 假定某廠生產(chǎn)一種鋼索的斷裂強(qiáng)度 （單位：）。從一批該cmN2/),(402NX產(chǎn)品中任選一個(gè)容量為9的樣本，經(jīng)計(jì)算將樣本觀察值 代入 ，算),.,(10 xxxnU得 ，能否據(jù)此樣本，認(rèn)為這cmNx2/780批鋼索的平均斷裂強(qiáng)度為？)05.0(/8002cmN解解 由題中所給條件，可知這是一個(gè)正態(tài)總體，且方差 已知，對(duì)均值4022 是否等于800進(jìn)行檢驗(yàn)的問題，即檢驗(yàn)假設(shè),800:;800:10HH 為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 對(duì)于)1,0(940800NXUH0顯著性水平 ，查正
3、態(tài)分布表得05.096.1025.02 ，因此檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?.96.1(UW計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U的觀察值.5.1940800780940800 x因?yàn)?，故接受原假設(shè) ，即96.15.1H0認(rèn)為這批鋼索的平均斷裂強(qiáng)度為cmN2/800是可接受的。上述檢驗(yàn)中的拒絕域 是雙).(2 UW側(cè)的，即 或 ，也即統(tǒng)計(jì)量uU2uU222 。因此檢驗(yàn)稱為雙側(cè)檢驗(yàn)。實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)只關(guān)心總體均值是否增大（或減小）。比如，經(jīng)過工藝改革后，材料的強(qiáng)度是否比以前提高，這時(shí)考慮的問題是在新工藝下，總體均值 是 落入 和 的概率之和為),(2u),(2uU否比原來總體均值大，即要檢驗(yàn)假設(shè).:;:0100HH可以證明，它和假設(shè)
4、檢驗(yàn)問題0100:;:HH在同一顯著性水平 下的檢驗(yàn)法是一 樣的。下面我們只考慮后者的情形。類似于前面的討論，用統(tǒng)計(jì)量 ，對(duì)U于檢驗(yàn)水平 ，查正態(tài)分布表得 ，使u.)(uUP如圖8-2所示，有檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?.(uUW該檢驗(yàn)稱為右方單側(cè)檢驗(yàn)。0)(xxu圖8-2類似地，檢驗(yàn)假設(shè)0100:;:HH對(duì)于檢驗(yàn)水平 ，查正態(tài)分布表得 。u由于 ，使統(tǒng)計(jì)量 滿足uu1U.)(uUP如圖8-3所示，得檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?)(uUP該檢驗(yàn)稱為左方單側(cè)檢驗(yàn)。例例2 某種電子元件，要求平均使用壽命不得低于 ?，F(xiàn)從一批這種h10000)(xxua圖8-3元件中隨機(jī)抽取25件，測(cè)其壽命，算得平均壽命 ，設(shè)該元件的壽命h
5、x950),(1002NX在 的檢驗(yàn)水平下，05.0確定這批元件是否合格？解解 本例是單側(cè)檢驗(yàn)問題，即在 下，檢驗(yàn)假設(shè)05.0.1000:;1000:10HH對(duì)于 ，查正態(tài)分布表得05.0645.105.0u，從而該檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?.645.1(UW計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 的觀察值U.5.2251001000950u由于 ，故拒絕原假645.15.2u ，認(rèn)為此批元件的平均壽命偏低，H0即不合格。8.2.2 對(duì)方差已知的量正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)對(duì)方差已知的量正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)設(shè)兩正態(tài)總體 及),(211NX),.,(),(121222XXXnNY和),.,(221YYYn假設(shè)是分別從 和 中抽取的兩個(gè)獨(dú)立樣X
6、Y本，分別為兩個(gè)樣本的均值，XY并且兩總體方差 ，已知。要檢驗(yàn)2122.:;:211210HH由于).,(),(22221211nnNYNX故當(dāng) 為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量H0對(duì)于給定的顯著性水平 ，查正態(tài)分布).,(22212121nnNYX).1,0(222121NYXUnn表得 ，使u2.)(2uUP因此，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?.(2uUW類似地，可以討論單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)問題。例例3 某公司從甲、乙兩個(gè)燈泡廠購買燈泡，已知甲廠燈泡壽命 ，),(8021NX乙廠燈泡壽命 ?，F(xiàn)從甲廠中),(7222NY抽取40個(gè)燈泡測(cè)得平均壽命 ；hx1282從乙廠中抽取50個(gè)燈泡測(cè)得平均壽命hy1208。能否判斷甲、乙兩廠的燈
7、泡平均壽命存在差異？)05.0(解解 本例是對(duì)兩正態(tài)總體，方差已知時(shí)，兩總體均值有無差異的檢驗(yàn)，即假設(shè)檢驗(yàn).:;:211210HH對(duì)于 ，查正態(tài)分布表得 ，05.096.1025.0u當(dāng) 為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 。又H0)1,0(NU,401n,1208,1282,5072802222212yxn代入求得 的觀察值nnYXU222121.8034.4504012081282728022222121nnyxu而檢驗(yàn)的拒絕域 。由于)96.1(UWWu因此，拒絕原假設(shè) ，即認(rèn)為甲、乙兩H0兩廠的燈泡平均壽命存在顯著差異。從燈泡質(zhì)量上看，甲廠優(yōu)于乙廠。8.2.3 對(duì)一般總體均值的檢驗(yàn)對(duì)一般總體均值的檢驗(yàn)（1
8、）一般總體 ，當(dāng)方差X20)(XD已知時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)期望 是否等于)(XE已知值 進(jìn)行檢驗(yàn)。0設(shè) 是從總體 中抽取),.,(21XXXnX的一個(gè)樣本，總體 的方差 已X20)(XD知，要檢驗(yàn)假設(shè).:;:0100HH由中心極限定理可知，不論總體 服從X什么樣的分布，在大樣本 下，當(dāng)50n 為真時(shí)，近似地有H0).1,0(00NnXU對(duì)于顯著性水平 ，由正態(tài)分布表查得 使u2)(2uUP從而該檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?。類似)(2uUW地，可進(jìn)行左、右單側(cè)檢驗(yàn)。例例4 某縣早稻收割面積為100萬畝，隨機(jī)抽取169畝作為樣本，統(tǒng)計(jì)其畝產(chǎn)量，計(jì)算平均畝產(chǎn)量 。設(shè)畝產(chǎn) 的kgx350X方差 。試檢驗(yàn)該縣早稻預(yù)計(jì)平13
9、02)(XD均畝產(chǎn) 是否成立？kg3100)05.0(解解 這是一個(gè)一般總體，方差已知，大樣本情況下，對(duì)總體均值是否等于kg3100的假設(shè)檢驗(yàn)問題。即檢驗(yàn)假設(shè).310:;310:10HH由于 較大，故近似地有169n).1,0(00NnXU對(duì)于顯著性水平 ，查正態(tài)分布表得 故該檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?6.105.0u)96.1(UW計(jì)算 的觀察值得U.96.14169130310350u由于 ，表明小概率事件在一次抽Wu樣中就發(fā)生了，所以拒絕原假設(shè) ，H0即不能認(rèn)為該縣早稻的平均畝產(chǎn)量為kg310（2）一般總體 ，當(dāng)方差 未X)(XD知時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)期望 是否等于)(XE已知值 進(jìn)行檢驗(yàn)0設(shè) 是總體 的一個(gè)樣本，),.,(21XXXnX要檢驗(yàn)假設(shè).:;:0100HH此時(shí)，若樣本容量 ，當(dāng) 為真50nH0時(shí)，近似地有).1,0(0NnSXU其中 ，分別為樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。XS對(duì)于顯著性水平 ，由正態(tài)分布表查得 ，使得u2)(2uUP檢驗(yàn)的拒絕域)(2uUW類似地可以進(jìn)行左、右單側(cè)檢驗(yàn)。
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