電子測量技術(shù)（西電版）第2章測量誤差理論與數(shù)據(jù)處理

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1、第2章測量誤差理論與數(shù)據(jù)處理,2.1 測量誤差的基本概念 2.2 測量誤差的來源與分類 2.3 測量誤差的分析與處理 2.4 測量誤差的合成與分配 2.5 測量數(shù)據(jù)處理 思考與練習(xí),2.1 測量誤差的基本概念 2.1.1 有關(guān)誤差的基本概念 1. 真值 一個量在被觀測時， 該量本身所具有的真實大小稱為真值(記為A0)。 在不同的時間和空間， 被測量的真值往往是不同的。 在一定的時間和空間環(huán)境條件下， 某被測量的真值是一個客觀存在的確定數(shù)值。 要想得到真值， 必須利用理想的測量儀器或量具進行無誤差的測量， 由此可以推斷， 真值實際上是無法得到的。,這是因為理想的測量儀器或量具, 即測量過程的參考

2、比較標(biāo)準(zhǔn)(或叫計量標(biāo)準(zhǔn))只是一個純理論值。 盡管隨著科技水平的提高， 可供實際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)可以越來越接近理想的理論定義值， 但誤差總是存在的， 而且在測量過程中還會受到各種主觀和客觀因素的影響， 所以， 做到無誤差的測量是不可能的。 ,2. 實際值 滿足規(guī)定準(zhǔn)確度要求， 用來代替真值使用的量值稱為實際值(記為A)或叫約定真值。 由于真值是無法絕對得到的， 在誤差計算中， 常常用一定等級的計量標(biāo)準(zhǔn)作為實際值來代替真值。 實際測量中， 不可能都與國家計量標(biāo)準(zhǔn)相比對， 所以國家通過一系列的各級實物計量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)， 把國家標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的計量單位逐級比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。,在每一

3、級的比較中， 都把上一級計量標(biāo)準(zhǔn)所測量的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值， 一般要求高一等級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的1/31/10。 在實際值中， 把由國家設(shè)立的盡可能維持不變的各種實物標(biāo)準(zhǔn)作為指定值(或稱約定真值)， 例如， 指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1 kg， 指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的， 在特定條件下銫-133原子基態(tài)的兩個超精細能級之間躍遷所對應(yīng)輻射的9192631770個周期的持續(xù)時間為1 s等。,3. 標(biāo)稱值 測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值， 如標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1 ， 標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來的電動勢1.0186 V， 標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的1 kg等。 標(biāo)稱值并不一

4、定等于它的真值或?qū)嶋H值， 由于制造和測量水平的局限及環(huán)境因素的影響， 它們之間存在一定的誤差， 因此， 在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時， 通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級。 例如某電阻的標(biāo)稱值為1 k， 誤差為1%， 即意味著該電阻的實際值在990 到1010 之間；某信號發(fā)生器頻率刻度的工作誤差小于且等于1%1 Hz， 如果在額定條件下該儀器頻率刻度是100 Hz，這就是它的標(biāo)稱值， 而實際值是1001001%1 Hz， 即實際值在98到102之間。,4. 示值 由測量器具指示的被測量的量值稱為測量器具的示值， 也稱測量儀器的測量值或測得值。 一般來說， 測量儀器的示值和讀數(shù)是有區(qū)別的， 讀數(shù)

5、是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字， 對于數(shù)字顯示儀表， 通常示值和讀數(shù)是一致的， 但對于模擬指示儀器， 示值需要根據(jù)讀數(shù)值和 所用的量程進行換算。 例如以100分度表示量程為50 mA的電流表， 當(dāng)指針在刻度盤上的50位值時， 讀數(shù)是50， 而示值應(yīng)是25 mA。 ,5. 測量誤差 在實際測量中， 由于測量器具的不準(zhǔn)確， 測量手段的不完善， 測量環(huán)境的影響， 對客觀規(guī)律認識的局限性以及工作中的疏忽或錯誤等因素， 都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值不同。 測量儀器與被測量真值之間的差別稱為測量誤差。 測量誤差的存在具有必然性和普遍性， 人們只能根據(jù)需要和可能， 將其限制在一定的范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。

6、 不同的測量， 對其測量誤差的大小， 也就是測量準(zhǔn)確度的要求往往是不同的。,人們進行測量的目的， 通常是為了獲得盡可能接近真值的測量結(jié)果， 如果測量誤差超過一定的限度， 測量工作及由此產(chǎn)生的測量結(jié)果將失去意義。 在科學(xué)研究及現(xiàn)代化生產(chǎn)中， 錯誤的測量結(jié)果有時還會使研究工作誤入歧途甚至帶來災(zāi)難性的后果。 我們研究誤差理論的目的， 就是要分析誤差產(chǎn)生的原因及其發(fā)生規(guī)律， 正確認識誤差的性質(zhì)， 尋找減小或消除測量誤差的方法， 學(xué)會測量數(shù)據(jù)的處理方法， 使測量結(jié)果更接近于真值。 在測量中， 研究誤差理論還可以指導(dǎo)我們合理地設(shè)計測量方案， 正確地選用測量儀器和測量方法， 確保產(chǎn)品和研究課題的質(zhì)量。 ,2

7、.1.2 測量誤差的表示方法 1. 絕對誤差 (1) 定義： 由測量所得到的被測量值x與其真值A(chǔ)0之差， 稱為絕對誤差， 即 x=x-A0 (2-1) 式中，x為絕對誤差。 前面已提到， 真值A(chǔ)0一般無法得到， 所以用實際值A(chǔ)代替A0， 因而絕對誤差更有實際意義的定義是: x=x-A (2-2),絕對誤差表明了被測量的測量值與被測量的實際值之間的偏離程度和方向。 對于絕對誤差， 應(yīng)注意以下兩點： 第一， 絕對誤差是有單位的量， 其單位與測得值和實際值相同；第二， 絕對誤差是有符號的量， 其符號表示出了測量值與實際值的大小關(guān)系， 若測量值大于實際值， 則絕對誤差為正

8、值， 反之為負值。 在一般測量工作中， 只要按規(guī)定的要求， 達到誤差可以忽略不計， 就可以認為該值接近于真值， 并用它來代替真值。 除了實際值以外， 還可以用已修正過的多次測量值的算術(shù)平均值來代替真值使用。 ,(2) 修正值： 與絕對誤差的絕對值大小相等， 但符號相反的量值， 稱為修正值， 用C表示， 即 C=-x=A-x (2-3) 測量儀器的修正值可以通過上一級標(biāo)準(zhǔn)給出， 修正值可以是數(shù)值表格、 曲線或函數(shù)表達式等形式。 在日常測量中， 利用其儀器的修正值C和該已檢儀器的示值x， 可以求得被測量的實際值 A=x+C (2-4),例如用某

9、電流表測電流， 電流表的示值為10 mA， 該表在檢定時， 10 mA刻度處的修正值是+0.04 mA， 則被測電流的實際值為10.04 mA。 在自動測量儀器中， 修正值還可以先編成程序儲存在儀器中， 測量時儀器可以對測量結(jié)果自動進行修正。,2. 相對誤差 絕對誤差雖然可以說明測量結(jié)果偏離實際值的情況， 但不能完全科學(xué)地說明測量的質(zhì)量(測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度)。 因為一個量的準(zhǔn)確程度， 不僅與它的絕對誤差的大小有關(guān)， 而且與這個量本身的大小有關(guān)。 當(dāng)絕對誤差相同時， 這個量本身的絕對值越大， 測量準(zhǔn)確程度相對越高；這個量本身的絕對值越小， 測量準(zhǔn)確程度相對越低。,例如測量兩個電壓量， 其中一個電

10、壓為V1=10 V， 其絕對誤差V1=0.1V；另一個電壓為V2=1 V，其絕對誤差V2=0.1 V。盡管兩次測量的絕對誤差皆為0.1 V， 但是我們不能說兩次測量的準(zhǔn)確度是相同的， 顯然， 前者測量的準(zhǔn)確度高于后者測量的準(zhǔn)確度。 因此， 為了說明測量的準(zhǔn)確程度， 又提出了相對誤差的概念。 ,,絕對誤差與被測量的真值之比， 稱為相對誤差(或稱為相對真誤差)， 用表示為 =100 (2-5) 相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值， 只有大小和符號， 沒有單位。 ,,,1) 實際相對誤差 由于真值是不能確切得到的， 通常用實際值A(chǔ)代替真值A(chǔ)0來表示相對誤差， 用A表示為 A

11、=100% (2-6) 式中， A為實際相對誤差。,3) 分貝誤差相對誤差的對數(shù)表示 在電子學(xué)及聲學(xué)測量中， 常用分貝來表示相對誤差， 稱為分貝誤差。 分貝誤差是用對數(shù)形式(分貝數(shù))表示的一種相對誤差， 單位為分貝(dB)， 用dB表示。 下 面以有源網(wǎng)絡(luò)電壓增益為例， 引出分貝誤差的表示形式。 ,設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(如放大器或衰減器)的電壓增益實際值為A， 其分貝值G=20 lgA。 電壓增益的測量值為Ax， 其誤差為A=Ax-A，即Ax=A+A, 則增益測得值的分貝值為,,由此得到分貝誤差為 dB=Gx-G=20 lg (1+ ) =20 lg(1+A) (2-8) 式(2-8)為相對誤

12、差的對數(shù)表現(xiàn)形式， 式中，dB只與增益的相對誤差有關(guān)， 由于A是帶有正負符號的， 因而dB也是有符號的。 若xA， 則式(2-8)可寫成: dB=20 lg(1+x) (2-9),式(2-9)即分貝誤差的一般定義式。 若測量的是功率增益， 分貝誤差定義為 dB=10 lg(1+x) (210) 【例2-1】某電流表測出的電流值為96 A， 標(biāo)準(zhǔn)表測出的電流值為100 A，求測量的相對誤差和分貝誤差。 ,,,解： 測量的絕對誤差為 x=96-100= -4 A 測量的實際相對誤差為 A=100%=-4% 分貝誤差為 dB=20 lg1+(-0.04)=-0.355 dB 從

13、上面分貝誤差的公式和例子可以看出， 當(dāng)相對誤差為正值時， 分貝誤差也為正值；反之亦然。 ,3. 滿度相對誤差(引用相對誤差) 前面介紹的相對誤差較好地反映了某次測量的準(zhǔn)確程度， 但是， 在連續(xù)刻度的儀表中， 用相對誤差來表示整個量程內(nèi)儀表的準(zhǔn)確程度就有些不便。 因為使用這種儀表時， 在某一測量量程內(nèi)， 被測量有不同的數(shù)值， 若用式(2-5)計算相對誤差， 隨著被測量的不同， 式中的分母相應(yīng)變化， 求得的相對誤差也將隨著改變。,,在用式(2-5)求相對誤差時， 用電表的量程作為分母， 從而引出了滿度相對誤差(引用相對誤差)的概念。 實際中常用測量儀器在一個量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差xm與該量程

14、的滿刻度值(該量程的上限值與下限值之差)xm之比來表示， 即 m=100% (2-11), 式中, m為滿度相對誤差(或稱引用相對誤差)。 對于某一確定的儀器儀表， 它的最大引用相對誤差是確定的。 滿度相對誤差在實際測量中具有重要意義。,(1) 用滿度相對誤差來標(biāo)定儀表的準(zhǔn)確度等級。 我國電工儀表就是按引用相對誤差m之值進行分級的， m是儀表在工作條件下不應(yīng)超過的最大引用相對誤差， 它反映了該儀表的綜合誤差大小。 我國電工儀表共分七級： 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5及5.0。 其中， 準(zhǔn)確度等級在0.2級以上的儀表屬于精密儀表, 使用時要求較高的工作環(huán)境及嚴(yán)格的操作

15、步驟， 一般作為標(biāo)準(zhǔn)儀表使用。 如果儀表準(zhǔn)確度等級為s級， 則說明該儀表的最大滿度相對誤差不超過s，即|m|s。,【例2-2】某電流表的量程為100 mA， 在量程內(nèi)用待定表和標(biāo)準(zhǔn)表測量幾個電流的讀數(shù)如表2-1所示。 試根據(jù)表中測量數(shù)據(jù)大致標(biāo)定該儀表的準(zhǔn)確度等級。,表2-1 例 2-2的電流表讀數(shù),,,,解： 由x=x-A計算出各點xi如表2-1所示。 因為xm=80-78=2 mA且xm=100 mA， 由式(2-11)求得該表的最大滿度相對誤差為 m=100%=100%=2%,所以該表大致為2.5級表。 當(dāng)然， 在實際中， 標(biāo)定一個儀表的準(zhǔn)確度等級是要通過大量的測量數(shù)據(jù)并經(jīng)過一定的計算和

16、分析后才能完成的。 (2) 用滿度相對誤差來檢定儀表是否合格。 ,,,【例2-3】檢定一個1.5級100 mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50 mA處的誤差最大， 為1.4 mA， 其它刻度處的誤差均小于1.4 mA，問這塊電流表是否合格？ 解： 由式(2-11)求得該表的最大滿度相對誤差為 m=100%=100%=1.4%1.5% 所以這塊表是合格的。 實際中， 要判斷該電流表是否合格， 應(yīng)在整個量程內(nèi)取足夠多的點進行檢定。 ,(3) 指導(dǎo)我們在使用多量程儀表時， 合理地選擇儀表的量程。 由式(2-11)可知， 滿度相對誤差實際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值 xm=mxm (2-1

17、2) 若某儀表的等級是s級， 被測量的真值為A0， 那么測量的最大絕對誤差 xmxms% (2-13) 通常取 xm=xms% (2-14),,,一般講， 測量儀器在同一量程不同示值處的絕對誤差實際上未必處處相等， 但對使用者來講， 在沒有修正值可以利用的情況下， 只能按最壞的情況來處理， 即認為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個常數(shù)且等于xm，把這種處理叫做誤差的整量化。 由式(2-13)可知， 測量的最大相對誤差 s%,,即 maxs% (2-15) 通常取 max=s% (2-16) 由式(2-14)可知， 當(dāng)一個儀表的等級s確定后， 測量中的最大絕對誤差與所選

18、儀表的上限xm成正比， 所以在測量中， 所選儀表的滿刻度值不應(yīng)比真實值A(chǔ)0大太多。,同樣， 在式(2-16)中， 因A0 xm，可見當(dāng)儀表等級s選定后, A0越接近xm時， 測量中相對誤差的最大值越小， 測量越準(zhǔn)確。 因此， 在用多量程儀表測量時， 應(yīng)合理地選擇量程， 一般情況下應(yīng)盡量使被測量的示值在儀表滿刻度的三分之二以上。 ,在實際測量時， 一般應(yīng)先在大量程下， 測得被測量的大致數(shù)值， 然后選擇合適的量程再進行測量， 以盡可能減小相對誤差。 【例2-4】某1.0級電流表， 滿度值xm=100A，求測量值分別為x1=100 A，x2=80 A，x3=20A時的絕對誤差和示值相對誤差。 ,,,

19、,,,,,,,,解： 由式(2-14)得最大絕對誤差為 xm=xms%=100(1.0%)=1 A 前面說過， 絕對誤差是不隨測量值改變而變化的。 而測得值分別為100 A、80 A、 20 A時的示值相對誤差是各不相同的， 分別為 x1=100%=100%=100%=1%x2=100%=100%=100%=1.25% x3=100%=100%=100%=5%,可見， 在同一量程內(nèi)， 測得值越小， 示值相對誤差越大。 由此可知， 在測量中， 測量結(jié)果的準(zhǔn)確度并不等于所用儀器的準(zhǔn)確度。 只有在示值與滿度值相同時， 二者才相等(僅考慮儀器誤差而不考慮其它因素造成的誤差)。 通常， 測得值的準(zhǔn)確

20、度低于所用儀表的準(zhǔn)確度。 ,,,(4) 在一定量的測量中， 滿度相對誤差可指導(dǎo)我們合理選擇儀表的準(zhǔn)確度等級。 【例2-5】欲測量一個10V左右的電壓， 現(xiàn)有兩塊電壓表， 其中一塊量稱為100 V，1.5級；另一塊量程為15 V， 2.5級， 問選用哪一塊表好？ 解： 用1.5級量程為100 V的電壓表測量10 V電壓時， 最大相對誤差為 1=s1%=1.5%=15%,,,用2.5級量程為15V的電壓表測量10 V電壓時， 最大相對誤差為 2=s2%=2.5=3.75 通過計算得知， 用2.5級量程為15 V電壓表測量10 V電壓的準(zhǔn)確度高于用1.5級量程為100 V電壓表測量10 V電

21、壓的準(zhǔn)確度， 且2.5級量程為15 V電壓表經(jīng)濟實用， 所以應(yīng)選擇2.5級量程為15 V的電壓表。 上例說明， 如果選擇合適的量程， 即使使用較低等級的儀表進行測量， 也可以取得比高等級儀表還高的準(zhǔn)確度。 因此， 在選用儀表時， 不要單純追求儀表的級別， 而應(yīng)根據(jù)被測量的大小， 兼顧儀表的級別和測量上限， 合理地選擇儀表。 ,,2.2 測量誤差的來源與分類 2.2.1 測量誤差的來源 為了減小測量誤差， 提高測量結(jié)果的準(zhǔn)確度， 必須明確測量誤差的主要來源， 并采取相應(yīng)的措施減小測量誤差。 測量誤差的主要來源有以下五個方面。 ,1. 儀器誤差 儀器誤差是由于測量儀器及其附件的設(shè)計、 制造、 裝配

22、、 檢定等環(huán)節(jié)不完善， 以及儀器使用過程中元器件老化、 機械部件磨損、 疲勞等因素而使儀器設(shè)備帶有的誤差。 例如， 儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差；儀器相應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動態(tài)誤差；儀器儀表的零點漂移、 刻 度的不準(zhǔn)確和非線性， 讀數(shù)分辨率有限而造成的讀數(shù)誤差以及數(shù)字儀器的量化誤差等都屬儀器誤差。 為了減小儀器誤差的影響， 應(yīng)根據(jù)測量任務(wù)， 正確地選擇測量方法和儀器， 并在額定的工作條件下按使用要求進行操作等。,2. 使用誤差 使用誤差也稱操作誤差， 是由于對測量設(shè)備操作使用不當(dāng)而造成的。 比如有些儀器設(shè)備要求測量前進行預(yù)熱而未預(yù)熱；有些測量設(shè)備要求實際測量前必須進行校準(zhǔn)(例如普通萬用表測量電

23、阻時應(yīng)進行校零， 用示波器觀測信號的幅度前應(yīng)進行幅度校準(zhǔn)等)而未校準(zhǔn)等。 減小使用誤差的方法就是要嚴(yán)格按照測量儀器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進行操作。,3. 影響誤差 影響誤差是指由于各種環(huán)境因素(溫度、 濕度， 振動、 電源電壓、 電磁場等)與測量要求的條件不一致而引起的誤差。 影響誤差常用影響量來表征。 所謂影響量， 是指除了被測量以外， 凡是對測量結(jié)果有影響的量， 即測量系統(tǒng)輸入信號中的非被測量值信息的參量。 影響誤差可以是來自系統(tǒng)外部環(huán)境(如環(huán)境溫度、 濕度、 電源電壓等)的外界影響， 也可以是來自儀器系統(tǒng)內(nèi)部(如噪聲、 漂移等)的內(nèi)部影響。,通常影響誤差是指來自外部環(huán)境困素的影響，

24、當(dāng)環(huán)境條件符合要求時， 影響誤差可不予考慮。 但在精密測量中， 須根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、 濕度、 電源電壓等影響數(shù)值求出各項影響誤差， 以便根據(jù)需要做進一步的處理。,4. 理論誤差和方法誤差 理論誤差是指由于測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密， 或者對測量計算公式的近似等原因， 致使測量結(jié)果出現(xiàn)的誤差。 例如， 當(dāng)用平均值檢波器測量交流電壓時， 平均值檢波器的 輸出正比于被測正弦電壓的平均值， 而交流電壓表通常以有效值U來定度， 兩者理論間關(guān)系為 U==KF (2-17) 式中KF =，稱為定度系數(shù)。 由于和均為無理數(shù)， 因此當(dāng)用有效值定度時， 只好取近似公式 U1.11 (2-18

25、),,從而就產(chǎn)生了誤差， 這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。 由于測量方法不合理(如用低輸入阻抗的電壓表去測量高阻抗電路上的電壓)而造成的誤差稱為方法誤差。 理論誤差和方法誤差通常以系統(tǒng)誤差的形式表現(xiàn)出來。 在掌握了具體原因及有關(guān)量值后， 通過理論分析與計算或者改變測量方法， 這類誤差是可以消除或修正的。 對于內(nèi)部帶有微處理器的智能儀表， 做到這一點是很方便的。,5.人身誤差 人身誤差是由于測量人員感官的分辨能力、 反應(yīng)速度、 視覺疲勞、 固有習(xí)慣、 缺乏責(zé)任心等原因， 而在測量中操作不當(dāng)、 現(xiàn)象判斷出錯或數(shù)據(jù)讀取疏失等引起的誤差。 比如指針式儀表刻度的讀取， 諧振法測量

26、時諧振點的判斷等， 都容易產(chǎn)生誤差。 減小或消除人身誤差的措施有： 提高測量人員操作技能、 增強工作責(zé)任心、 加強測量素質(zhì)和能力的培養(yǎng)、 采用自動測試技術(shù)等。 ,2.2.2 測量誤差的分類 雖然產(chǎn)生誤差的原因多種多樣， 但按誤差的基本性質(zhì)和特點， 誤差可分為三類， 即系統(tǒng)誤差、 隨機誤差和粗大誤差。 1. 系統(tǒng)誤差 在同一測量條件下， 多次重復(fù)對同一量值進行測量時， 測量誤差的絕對值和符號保持不變， 或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差， 稱為系統(tǒng)誤差， 簡稱系差。 前者為恒值系差， 后者為變值系差。,圖 2-1 系統(tǒng)誤差的特征,變值系差又可分為累進性系差、 周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化

27、的系差。 圖2-1描述了幾種不同系差的變化規(guī)律： 直線a表示恒值系差；直線b屬變值系差中的累進 性系差， 這里表示遞增情況， 也有遞減系差； 曲線c表示周期性系差； 曲線d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。,,,,式(2-19)表明， 在不考慮隨機誤差影響的情況下， 測量值的數(shù)學(xué)期望偏離真值的大小就是系統(tǒng)誤差， 即系統(tǒng)誤差表明了一個測量結(jié)果的平均值偏離真值或?qū)嶋H值的程度。 系統(tǒng)誤差越小， 平均值越靠近真值， 測量越準(zhǔn)確。 所以， 系統(tǒng)誤差常用來表征測量結(jié)果準(zhǔn)確度的高 低。 需要說明的是， 由于上述技術(shù)規(guī)范定義中的測量是在重復(fù)性條件下進行的， 即測量條件不改變， 故這里的是定值系統(tǒng)誤差。 此外， 因為

28、重復(fù)測量實際上只能進行有限次， 測量的真值也只能用實際值代替， 所以實際中的系統(tǒng)誤差也只是一個近似的估計值。 ,系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成的， 這些因素主要有： (1) 測量儀器方面的因素： 儀器機構(gòu)設(shè)計原理的缺陷； 儀器零件制造偏差和安裝不當(dāng)； 元器件性能不穩(wěn)定等。 如把運算放大器當(dāng)作理想運放， 由被忽略的輸入阻抗、 輸出阻抗引起的誤差； 刻度偏差及使用過程中的零點漂移等引起的誤差。,(2) 環(huán)境方面的因素： 測量時的實際環(huán)境條件(溫度、 濕度、 大氣壓、 電磁場等)相對于標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境條件的偏差， 測量過程中溫度、 濕度等按一定規(guī)律變化引起的誤差。 (3) 測量方法的因

29、素： 采用近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差。 (4) 測量人員方面的因素： 由于測量人員的個人特點， 在刻度上估計讀數(shù)時， 習(xí)慣偏于某一方向； 動態(tài)測量時， 記錄快速變化信號有滯后的傾向。 ,系統(tǒng)誤差的主要特點是： 只要測量條件不變， 誤差即為確切的數(shù)值， 用多次測量取平均值的辦法不能改變和消除系差， 而當(dāng)條件改變時， 誤差也隨著遵循某種確定的規(guī)律而變化， 具有可重復(fù)性， 較易修正和消除。,,2. 隨機誤差 在同一測量條件下(指在測量環(huán)境、 測量人員、 測量技術(shù)和測量儀器等相同的條件下)， 多次重復(fù)對同一量值進行等精度測量時， 每次測量誤差的絕對值和符號以不可預(yù)知的方式變化的誤差

30、， 稱為隨機誤差或偶然誤差， 簡稱隨差。 在我國新制定的國家計量技術(shù)規(guī)范(JG 10011998通用計量術(shù)語及定義)中， 參照并采用了1993年幾個國際權(quán)威組織提出的隨機誤差定義： 隨機誤差i是測量結(jié)果xi與在重復(fù)條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值 (數(shù)學(xué)期望)之差。 即 i=xi- (2-21),,式中， 按式(2-20)計算。 隨機誤差是測量值與數(shù)學(xué)期望之差， 它表明了測量結(jié)果的分散性， 經(jīng)常用來表征測量精密度的高低。 隨機誤差愈小， 精密度愈高。 同樣， 在實際中， 由于測量次數(shù)有限， 不可能進行無限多次測量， 因此， 實際中的隨機誤差只是一個近似的估計值

31、。 隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成， 這些因素主要包括以下幾個方面。,(1) 測量裝置方面的因素： 儀器元器件產(chǎn)生的噪聲， 零部件配合的不穩(wěn)定、 摩擦、 接觸不良等。 (2) 環(huán)境方面的因素： 溫度的微小波動、 濕度與氣壓的微量變化、 光照強度變化、 電源電壓的無規(guī)則波動、 電磁干擾、 振動等。 (3) 測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。 ,隨機誤差的特點是： 雖然某一次測量結(jié)果的大小和方向不可預(yù)知， 但多次測量時， 其總體服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。 在多次測量中， 誤差絕對值的波動有一定的界限， 即具有有界性； 當(dāng)測量次數(shù)足夠多時， 正負誤差出現(xiàn)的機會幾乎

32、相同， 即具有對稱性； 同時隨機誤差的算術(shù)平均值趨于零， 即具有抵償性。 由于隨機誤差的這些特點， 可以通過對多次測量取平均值的辦法來減小隨機誤差對測量結(jié)果的影響， 或者用數(shù)理統(tǒng)計的辦法對隨機誤差加以處理。,3. 粗大誤差 在一定測量條件下， 測量結(jié)果明顯偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差， 簡稱粗差， 也稱疏失誤差。 產(chǎn)生粗差的主要原因有： (1) 測量操作疏忽和失誤， 如測錯、 讀錯、 記錯以及實驗條件未達到預(yù)定的要求而匆忙實驗等。 ,(2) 測量方法不當(dāng)或錯誤， 如用普通萬用表電壓擋直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓， 用普通萬用表交流電壓擋測量高頻交流信號的幅值等。 (3) 測量環(huán)境條件

33、的突然變化， 如電源電壓突然增高或降低， 雷電干擾、 機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。 這類變化雖然也帶有隨機性， 但由于它造成的示值明顯偏離實際值， 因此將其列入粗差范疇。 ,含有粗差的測量值稱為壞值或異常值， 由于壞值不能反映被測量的真實性， 所以在數(shù)據(jù)處理時， 應(yīng)予以剔除。 4. 測量誤差對測量結(jié)果的影響 測量中若發(fā)現(xiàn)粗大誤差， 數(shù)據(jù)處理時應(yīng)予以剔除， 這樣要考慮的誤差就只有系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。 ,,將式(2-19)和式(2-21)等號兩邊分別相加, 得： +i=-A0+xi-=xi-A0=xi(i=1，2，，n) (2-22) 式中， xi為各次測得值的絕對誤差。 式(2

34、-22)表明， 各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差i的代數(shù)和。,由式(2-22)可得： xi=A0++i (2-23) 或 A0=xi--i (2-24) 式(2-23)說明了測得值xi為測量值的真值、 系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和， 可用圖2-2 表示。 其中E(x)為多次測量的數(shù)學(xué)期望。,圖2-2 測量誤差對測量結(jié)果的影響,從式(2-19)、 式(2-21)及式(2-23)可以總結(jié)出以下幾點結(jié)論： (1) 從系統(tǒng)誤差大小看： E(x)A0 說明測量越正確， 即系統(tǒng)誤差反映了測量的正確度， 或測量的正確度是系統(tǒng)誤差大小的反映。 ,,(2) 從隨機誤差i大小看： ix

35、iE(x) 說明測量越精密， 即隨機誤差反映了測量的精密度，或測量的精密度是隨機誤差大小的反映。 (3) 從隨機誤差i大小和系統(tǒng)誤差大小共同看： ,說明測量越準(zhǔn)確(或越精確)， 即系統(tǒng)誤差和隨機誤差共同反映了測量的準(zhǔn)確度(或精確度)， 或準(zhǔn)確度是系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合反映。 正確度、 精密度與準(zhǔn)確度的概念也可用圖2-3所示的打靶結(jié)果來描述測量誤差的影響。,子彈著靶點有三種情況： 在(a)中， 著靶點圍繞靶心均勻分散， 但分散程度大， 這種情況對應(yīng)于測量中的系統(tǒng)誤差小， 隨機誤差大， 即正確度高， 精密度低；在(b)中， 子彈著靶點很集中， 但著靶點的中心位置偏離靶心較遠， 這種情況相當(dāng)于測量

36、中測量值雖然很集中但由于系統(tǒng)誤差的影響偏離真值(或?qū)嶋H值)較遠， 說明了系統(tǒng)誤差大， 隨機誤差小， 即正確度低， 精密度高； 在(c)中，著靶點既集中又距離靶心較近， 這種情況對應(yīng)于測量中的系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小， 即準(zhǔn)確度高。 ,圖 2-3 射擊誤差示意圖,值得注意的是， 正確度、精密度與準(zhǔn)確度都是定性概念， 如要定量給出， 則應(yīng)用實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差和測量不準(zhǔn)確度等概念。 定量分析將在下面幾節(jié)中進行。 在任何一次測量中， 系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的， 而且兩者之間并不存在嚴(yán)格的界限。 由于認識不足或受測試條件所限， 常把系統(tǒng)誤差當(dāng)作隨機誤差， 并在數(shù)據(jù)上進行統(tǒng)計分析處理。 隨著人們對誤差

37、來源及其變化規(guī)律認識的提高， 就有可能把以往因認識不到而歸為隨機誤差的某項誤差明確為系統(tǒng)誤差進行分析和處理。,此外， 系統(tǒng)誤差和隨機誤差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的， 對某一具體誤差， 在一種場合下為系統(tǒng)誤差， 在另外一種場合下有可能為隨機誤差， 反之亦然。 掌握了誤差轉(zhuǎn)換的特點， 在有些情況下就可以將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機誤差， 用增加測量次數(shù)并進行數(shù)據(jù)處理的方法減小誤差的影響， 或者將隨機誤差轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)誤差， 用修正的方法減小其影響。,,2.3 測量誤差的分析與處理 測量誤差分為隨機誤差、 系統(tǒng)誤差和粗大誤差三類。 由于每類誤差的性質(zhì)、 特點各不相同， 因此處理方法也不一樣。 下面分別討論

38、這三類誤差的特性和判別方法， 以及怎樣減少或消除它們， 并給出測量結(jié)果的處理步驟。,2.3.1 隨機誤差的分析與處理 隨機誤差是在相同條件下對同一量進行多次測量時， 誤差的絕對值和符號均發(fā)生變化， 而且這種變化沒有確定的規(guī)律也不能事先預(yù)知。 隨機誤差使測量數(shù)據(jù)產(chǎn)生分散， 即偏離它的數(shù)學(xué)期望。 雖然對單次測量而言， 隨機誤差的大小和符號都是不確定的， 沒有規(guī)律性的， 但是， 在進行多次測量后， 隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律。,我們的任務(wù)就是要研究隨機誤差使測量數(shù)據(jù)按什么規(guī)律分布， 多次測量的平均值有什么性質(zhì)， 以及在實際測量中對于有限次的測量， 如何根據(jù)測量數(shù)據(jù)的分布情況， 估計出被測量的數(shù)學(xué)期望、

39、 方差和被測量的真值出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率等。 總之， 我們是用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法來研究隨機誤差對測量數(shù)據(jù)的影響， 并用數(shù)理統(tǒng)計的方法對測量數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理， 從而克服或減少隨機誤差的影響。,1. 隨機變量的數(shù)字特征 由于隨機誤差的存在， 測量值也是隨機變量。 在測量中， 測量值的取值可能是連續(xù)的， 也可能是離散的。 從理論上講， 大多數(shù)測量值的可能取值范圍是連續(xù)的， 而實際上由于測量儀器的分辨力不可能無限小， 因而得到的測量值往往是離散的。 此外， 一些測量值本身就是 離散的。 例如測量單位時間內(nèi)脈沖的個數(shù)， 其測量值本身就是離散的。 實際中要根據(jù)離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的特征來分析

40、測量值的統(tǒng)計特性。 ,在概率論中， 不管是離散型隨機變量還是連續(xù)型隨機變量都可以用分布函數(shù)來描述它的統(tǒng)計規(guī)律。 但實際中較難確定概率分布， 并且不少情況下也不需求出概率分布規(guī)律， 只需知道某些數(shù)字特征就夠了。 數(shù)字特征是反映隨機變量的某些特性的數(shù)值， 常用的有數(shù)學(xué)期望和方差等。 ,,,1) 數(shù)學(xué)期望 隨機變量(或測量值)的數(shù)學(xué)期望能反映其平均特性， 其定義為： 設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，，xi，，相應(yīng)的概率為p1，p2， ，pi，，則X數(shù)學(xué)期望定義為(條件是絕對收斂) E(X)= (2-25),,若X為連續(xù)型隨機變量， 其分布函數(shù)為F(x)， 概率密度函數(shù)為p(x)，

41、 則數(shù)學(xué)期望定義為(條件是積分收斂) E(X)= (2-26) 數(shù)學(xué)期望反映了測量值的平均特性， 在統(tǒng)計學(xué)中， 數(shù)學(xué)期望與均值是同一個概念， 無窮多次的重復(fù)條件下重復(fù)測量單次結(jié)果的平均值即為數(shù)學(xué)期望值。 ,,2) 方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差 方差是用來描述隨機變量的可能值與其數(shù)學(xué)期望的分散程度， 設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)， 則X的方差定義為 2=D(X)=EX-E(X)2 (2-27) 對于離散型的隨機變量， 2=D(X)=xi-E(X)2pi (2-28),或 2=D(X)=pi (2-29) 當(dāng)測量次數(shù)n時， 用測量值出現(xiàn)的頻率1/n代替概率pi， 則測量值的方差

42、為 2=D(X)= xi-E(X)2 (2-30),,,對于連續(xù)型的隨機變量， 2=D(X)=x-E(X)2p(x) dx (2-31) 或 2=D(X)=2p(x) dx (2-32),,式中， 2稱為測量值的樣本方差， 簡稱方差，取平方的目的是， 不論是正是負， 其平方總是正的， 這樣取平方后再進行平均才不會使正負方向的誤差相互抵消， 且求和取平均后， 個別較大的誤差在式中所占的比例也較大， 使得方差對較大的隨機誤差反映較靈敏。 由于實際測量中都是帶有單位的(mV，V等), 因而方差是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方便， 為了與隨機誤差的單位一致， 引入了標(biāo)準(zhǔn)

43、偏差的概念， 標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為 = (2-33),測量中常常用標(biāo)準(zhǔn)偏差來描述隨機變量X與其數(shù)學(xué)期望E(X)的分散程度， 即隨機誤差的大小， 因為它與隨機變量X具有相同量綱。 反映了測量的精密度， 小表示精密度高， 測得值集中， 大表示精密度低， 測得值分散。,2. 隨機誤差的分布 1) 正態(tài)分布 在很多情況下， 測量中的隨機誤差正是由對測量值影響較微小的、 相互獨立的多種因素的綜合影響造成的， 也就是說， 測量中的隨機誤差通常是多種因素造成的許多微小誤差的總和。 在概率論中， 中心極限定理指出： 假設(shè)被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和， 其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，

44、則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布， 又叫做高斯分布。 測量中隨機誤差的分布及在隨機誤差影響下測量數(shù)據(jù)的分布大多接近于服 從正態(tài)分布。,,,,正態(tài)分布隨機誤差的概率密度函數(shù)為 p()=exp- (2-34) 測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為 p(x)=exp (2-35),,,,,根據(jù)式(2-26)和式(2-31)可分別求出服從正態(tài)分布的隨機誤差的數(shù)學(xué)期望E()和方差D()為 E()==exp(-)d=0 D()=E(-0) 2=2p() d=2 exp(-)d=2,同樣可求出服從正態(tài)分布的測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)為,,上面兩式說明： 測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)中

45、的參數(shù)即為隨即變量的期望值， 為其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 隨機誤差和測量數(shù)據(jù)對應(yīng)的概率密度分布曲線分別如圖2-4中的 (a)、(b)所示，可以看出，隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同， 因為它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差相同(都為)， 只是橫坐標(biāo)相差E(X)這一常數(shù)值。 對于隨機誤差， 其數(shù)學(xué)期望為零。,圖2-4 隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的概率密度分布曲線,圖2-5 對概率分布的影響,由圖可見， 隨機誤差具有以下規(guī)律： 對稱性： 絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的概率相同。 單峰性： 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。 有界性： 絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零， 即隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。 抵償性：

46、 當(dāng)測量次數(shù)n時， 全部誤差的代數(shù)和趨于零。 ,標(biāo)準(zhǔn)偏差是表示測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征值。 不同， 分布曲線形狀不同， 圖2-5 中表示了不同(123)的三條曲線。 由圖可見， 值越小， 則曲線形狀越尖銳，說明測量數(shù)據(jù)越集中， 隨機誤差越小； 越大， 則曲線形狀越平坦， 說明測量數(shù)據(jù)越分散， 隨機誤差越大。 ,2) 測量誤差的非正態(tài)分布 測量中的隨機誤差除了大量滿足正態(tài)分布外， 還有一些不滿足正態(tài)分布， 統(tǒng)稱為非正態(tài)分布。 常見的非正態(tài)分布有均勻分布、 三角分布、 反正弦分布等。 其中均勻分布的應(yīng)用僅次于正態(tài)分布。 表2-2列出了三種分布的概率密度函數(shù)、 數(shù)學(xué)期望、 標(biāo)準(zhǔn)偏差和適用

47、條件。 可以看出， 這三種分布都服從對稱性、 有界性和抵償性。,表2-2 幾種常見的非正態(tài)分布,3. 有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值 前面所討論的被測量的數(shù)字特征都是在無窮多次測量的條件下求得的， 但是在實際測量中只能進行有限次測量， 就不能按式(2-25)式(2-33)準(zhǔn)確地求出被測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。 下面討論如何根據(jù)有限次測量結(jié)果來估計被測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。,,,,1) 有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計值算術(shù)平均值若對一個被測量x進行n次等精度測量， 其中取得xi的次數(shù)為ni，由概率論的貝努里定理可知： 事件發(fā)生的頻度nin依概率收斂于事件發(fā)生的概率pi，即當(dāng)測量次數(shù)n時，可

48、以用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率。這時，被測量x的數(shù)學(xué)期望為 E(X)== (當(dāng)n時) (2-36),,,若不考慮測量值相同的情況， 即當(dāng)對一個被測量x進行n次等精度測量， 而獲得n個測量數(shù)據(jù)xi(i=1，2，，n，xi可相同)時， 取得xi的次數(shù)都計為1， 代入式(2-36) ， 則可得被測量x的數(shù)學(xué)期望為 E(X)== (當(dāng)n時) (2-37),可見， 被測量x的數(shù)學(xué)期望就是當(dāng)測量次數(shù)n時， 各次測量值的算術(shù)平均值。 在實際等精度測量中， 當(dāng)測量次數(shù)n為有限次時， 常用算術(shù)平均值作為被測量的數(shù)學(xué)期望或被測量的估計值， 用 表示， 即,(2-38),可以證明， 算術(shù)平均值是被測量數(shù)學(xué)期

49、望的無偏估計值和一致估計值。 用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果是否可以減小隨機誤差的影響呢？我們可以通過計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來回答這個問題。 當(dāng)測量次數(shù)n有限時， 統(tǒng)計特征本質(zhì)上是隨機的， 所以， 所有算術(shù)平均值本身也是一個隨機變量。 根據(jù)正態(tài)分布隨機變量之和的分布仍然是正態(tài)分布的理論， 也屬于正態(tài)分布。,因為是等精度測量， 假定測量是獨立的， 那么一系列測量就具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差， 又根據(jù)概率論中“幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各個隨機變量方差之和”的定理可推導(dǎo)出的方差為 或 (2-39),式(2-39)說明， n次測量值的算術(shù)平均值的方差是總體或單次測量值的方差的1n， 或者說算術(shù)

50、平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是總體或單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的1/ 倍。 這是由于隨機誤差的抵償性， 在計算的求和過程中， 正負誤差相互抵消； 測量次數(shù)越多， 抵消程度越大， 平均值離散程 度越小， 這是采用統(tǒng)計平均的方法減弱隨機誤差的理論依據(jù)。 所以， 用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果， 減少了隨機誤差的影響。 ,2) 用有限次測量數(shù)據(jù)估計測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差貝塞爾公式實際測量中通常以算術(shù)平均值代替真值， 以測量值與算術(shù)平均值之差， 即剩余誤差(簡稱殘差)來代替真誤差， 即 i=xi- (2-40),當(dāng)n時， 。 對i求和， 則得到,由式(2-40)又可得到,由于， 貝塞爾公式還可表示為,(2-43),可以證

51、明， 是(x)的無偏估計值。 根據(jù)式(2-39)， 也可以把=作為平均標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值。 下面列出前面所定義的各種標(biāo)準(zhǔn)偏差的符號公式及所表示的不同意義， 以便在使用時不致于混淆。 總體測量值標(biāo)準(zhǔn)偏差: (測量值離散程度表征),總體測量值標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值: s(x)= 測量平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差: (平均值離散程度表征) 測量平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差估計值:,4. 測量結(jié)果的置信度 1) 置信概率與置信區(qū)間 由于隨機誤差的影響， 測量值均會偏離被測量真值。 測量值分散程度用標(biāo)準(zhǔn)偏差(x)表示。 一個完整的測量結(jié)果， 不僅要知道其量值的大小， 還希望知道該測量結(jié)果的可信賴的程度。,下面從兩方面來分析測量的可

52、信度問題。 (1) 雖然不能預(yù)先確定即將進行的某次測量的結(jié)果， 但希望知道該測量結(jié)果落在數(shù)學(xué)期望附近某一確定區(qū)間內(nèi)的可能性有多大。 由于均方差表示測量值的分散程度， 常用標(biāo)準(zhǔn)偏差(x)的若干倍來表示這個確定區(qū)間，=c(x)， c稱為置信系數(shù)。 也就是說， 希望知道測量結(jié) 果落在E(x)-c(x), E(x)+c(x)這個區(qū)間內(nèi)的概率有多大。 置信區(qū)間如圖2-6 所示， 對應(yīng)的概率為 PE(x)-c(x)xE(x)+c(x) (2-44),圖2-6 置信區(qū)間,(2) 在大多數(shù)實際測量中， 我們真正關(guān)心的不是某次測量值出現(xiàn)的可能性， 而是關(guān)心測量真值處在某測量值x附近某確定區(qū)間x-c(x), x+

53、c(x)內(nèi)的概率， 如圖2-7所示， 即想要知道概率： Px-c(x)

54、必須要知道測量值的分布。 下面分別討論正態(tài)分布和t分布下的置信問題。,2) 正態(tài)分布下的置信問題 正態(tài)分布下的測量值x的概率密度函數(shù)為,查本章附錄就可以根據(jù)設(shè)定的區(qū)間c大小求出置信概率， 或者根據(jù)置信概率求出對應(yīng)的置信區(qū)間。 ,圖2-8 置信概率的意義,【例2-6】 已知某被測量x服從正態(tài)分布， (x)=0.2， E(x)=50, 求在Pc=99%情況下的置信區(qū)間。 解： 已知 P|x-E(x)|

55、值在真值附近E(x)(x), E(x)2(x),E(x)3(x)區(qū)間中的置信概率。,解: 對應(yīng)于置信區(qū)間的系數(shù)c分別為 E(x)(x) (c=1) E(x)2(x) (c=2) E(x)3(x) (c=3) 查表得： c=1時，Pc=0.683; c=2時，Pc=0.954; c=3時, Pc=0.997。,即 P|x-E(x)|<(x)=68.3% P|x-E(x)|<2(x)=95.4% P|x-E(x)|<3(x)=99.7% 上述結(jié)果說明： 誤差落在區(qū)間的可能性為68.3， 落在2區(qū)間的可能性為95.4， 落在3區(qū)間的可能性為99.7，即誤差的絕對值超過2者為少數(shù)， 超過3者為極少

56、數(shù)。 所以當(dāng)誤差為正態(tài)分布時， 置信系數(shù)一般取23， 其置信區(qū)間的對應(yīng)置信概率為95.499.7。 ,3) 應(yīng)用t分布討論的置信問題 前面分析的正態(tài)分布的置信問題是在n時的樣本下進行的。 但在實際測量中， 測量次數(shù)是有限的， 特別是當(dāng)測量次數(shù)為十幾次， 甚至只有幾次時， 測量結(jié)果已不符合正態(tài)分布， 若仍用正態(tài)分布的2和3作誤差限， 就不太適合了。 另一方面， 在正態(tài)分布的置信問題討論中， 是以測量值作為測量結(jié)果來討論的， 而在實際測量中是以算術(shù)平均值作為被測量的最佳估計值的， 而且以均方差的估計值s(x)代替(x)， s()代替()。,這樣在討論置信問題時， 要以ks()作為置信區(qū)間， 相應(yīng)的

57、置信概率為,圖2-9 t分布,式中: (x)為伽馬函數(shù), v=n-1為自由度， n是測量次數(shù)。 t分布的圖形如圖2-9所示， 圖形類似于正態(tài)分布。 但t分布與無關(guān)， 與測量次數(shù)有關(guān)。 從圖2-9可以看出， 當(dāng)n20以后， t分布與正態(tài)分布就很接近了。 可以用數(shù)學(xué)方式證明當(dāng)n時， t分布與正態(tài)分布完全相同， 即正態(tài)分布是n時t分布的一個特例。t分布一般用來解決小子樣置信問題。 ,根據(jù)t分布的概率密度函數(shù)p(t)， 可用積分的方法求出E(x)在附近對稱區(qū)間 內(nèi)的置信概率為,為區(qū)別起見， 這里標(biāo)準(zhǔn)偏差的系數(shù)用kt表示， 稱為t分布因子或置信因子。 由于t分布的積分計算很復(fù)雜， 也有現(xiàn)成的表格利用。

58、給定置信概率和測量次數(shù)n， 從表2-3中可查得對應(yīng)置信因子。 ,表2-3 t分布的kt值表,【例2-8】 當(dāng)測量次數(shù)n=10， 求置信區(qū)間在3s()時的置信概率。 解： n=10即v=n-1=9，又kt=3， 則查表得 P|-E(x)|<3s()=0.986,【例2-9】 對某電感進行了12次等精度測量， 測得的數(shù)值(單位：mH)為20.46，20.52，20.50，20.52， 20.48， 20.47， 20.50， 20.49， 20.47， 20.49，20.51， 20.51， 若要求置信概率P=95%， 問該電感真值應(yīng)在什么置信區(qū)間內(nèi)？,解： 第一步： 求出及s()。 第二步

59、： 查t分布表， 由v=n-1=11及P=0.95，查得kt=2.20。第三步： 估計電感L的置信區(qū)間。 置信區(qū)間： L-kts(), L+kts()， 而 kts()=2.200.006=0.013mH,所以電感的置信區(qū)間為20.48， 20.51 mH，對應(yīng)的置信概率為Pc=0.95。 通過本例可以進一步深入理解置信概率和置信區(qū)間的意義。 從電感的總體中取得的這12個 數(shù)據(jù)成為一個子樣， 得出一組及s()所對應(yīng)的置信區(qū)間。 如果另取一組子樣， 可以得到不同的及s()， 對應(yīng)不同的置信區(qū)間。 這里所得的20.48， 20.51 mH只是各種可能的置信區(qū)間中的一個。,如果能用更高級的儀器或用某

60、種方法測得該電感更精確的值， 則并不能肯定這個區(qū)間一定包含真值， 但在同樣測量條件下， 求出足夠多的置信區(qū)間， 就可以確定這些區(qū)間中有95%的區(qū)間包含真值， 這就是置信概率的意義。 ,4) 非正態(tài)分布的置信因子 由于常見的非正態(tài)分布都是有界的， 設(shè)其極限為， 鑒于在實際測量中一般不會遇到非常 大的誤差， 所以這種有限分布的假設(shè)是合理的。 按照標(biāo)準(zhǔn)偏差的基本定義可以求得各種分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差， 再求得置信因子(又稱覆蓋因子)k： k= 幾種非正態(tài)分布的置信因子的取值參見表2-4。,2.3.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法 上述隨機誤差的分析和處理方法是以測量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng)誤差為前提的。 實際上， 測量

61、過程中往往存在系統(tǒng)誤差， 在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。 由于系統(tǒng)誤差和隨機誤差同時存在測量數(shù)據(jù)中， 且不易被發(fā)現(xiàn)， 多次重復(fù)實驗又不能減少它對測量結(jié)果的影響， 這種潛伏性使得系統(tǒng)誤差比隨機誤差具有更大的危險性。 因此， 研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性， 并用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減少或消除系統(tǒng)誤差， 就顯得十分重要。,1. 系統(tǒng)誤差的判斷 1) 不變的系統(tǒng)誤差 常用校準(zhǔn)的方法來檢查恒定系統(tǒng)誤差是否存在， 通常用標(biāo)準(zhǔn)儀器或標(biāo)準(zhǔn)裝置來發(fā)現(xiàn)并確定系統(tǒng)誤差的數(shù)值， 或依據(jù)儀器說明書上的修正值， 對測量結(jié)果進行修正。 還可用實驗比對的方法來判斷是否存在不變的系統(tǒng)誤差， 即改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進行不同的測

62、量。 例如， 用 兩臺儀器對同一量分別進行多次測量， 然后分別計算平均值， 若兩個平均值相差較大， 可認為存在系統(tǒng)誤差。 ,2) 變化的系統(tǒng)誤差 (1) 殘差法。 殘差法是將所測得的數(shù)據(jù)及其殘差按測得的先后次序列表或作圖， 觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化情況， 從而判斷是否存在系統(tǒng)誤差及其規(guī)律。 但此方法只適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況， 如圖2-10(a)所示。 當(dāng)系統(tǒng)誤差比隨機誤差小時， 如圖2-10(b)所示， 就不能通過殘差法來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差， 此時就要通過一些判斷準(zhǔn)則來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。 這些判斷準(zhǔn)則實質(zhì)是檢驗誤差的分布是否偏離正態(tài)分布， 常用的有馬利科夫判據(jù)和阿卑-赫梅特判據(jù)。,

63、圖2-10 殘差法 (a) 具有線性變化的系統(tǒng)誤差；(b) 無明顯規(guī)律的系統(tǒng)誤差,(2) 馬利科夫判據(jù)。 馬利科夫判據(jù)是判別有無累進性系統(tǒng)誤差的常用方法。 把n個等精度測量值所對應(yīng)的殘差按測量先后順序排列， 把殘差分成兩部分求和， 再求其差值D。 測量次數(shù)n有可能是偶數(shù)也有可能是奇數(shù)。,當(dāng)n為偶數(shù)時， 當(dāng)n為奇數(shù)時, (2-48),當(dāng)測量中含有累進性系統(tǒng)誤差時， 前后兩部分殘差和明顯不同， D值明顯異于零。 所以馬利科夫判據(jù)為： 若D近似等于零， 則上述測量數(shù)據(jù)中不含累進性系統(tǒng)誤差， 若D明顯地不等于零(與i值相當(dāng)或更大)， 則說明上述測量數(shù)據(jù)中存在累進性系統(tǒng)誤差。,(3) 阿

64、卑-赫梅特判據(jù)。 通常用阿卑-赫梅特判據(jù)來檢驗周期性系統(tǒng)誤差的存在。 把測量數(shù)據(jù)按測量順序排列， 將對應(yīng)的殘差兩兩相乘， 然后求其和的絕對值， 再與測量值方差估計值相比較， 若式(2-49)成立， 則可認為測量中存在周期性系統(tǒng)誤差。 (2-49),2. 系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法 (1) 從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差。測量儀器本身存在誤差和對儀器安裝、 使用不當(dāng)， 測量方法或原理存在缺點， 測量環(huán)境變化以及測量人員的主觀原因都可能造成系統(tǒng)誤差。 在開始測量以前應(yīng)盡量發(fā)現(xiàn)并消除這些誤差來源或設(shè)法防止測量受這些誤差來源的影響， 這是消除或減弱系統(tǒng)誤差最好的方法。,在

65、測量中， 除要在測量原理和測量方法上盡力做到正確、 嚴(yán)格外， 還必須對測量儀器定期檢定和校準(zhǔn)， 注意儀器的正確使用條件和方法。 例如儀器的放置位置、 工作狀態(tài)、 使用頻率范圍、 電源供給、 接地方法、 附件和導(dǎo)線的使用以及連線都要注意符合規(guī)定并正確合理， 部分儀器使用前需要預(yù)熱和調(diào)零。,應(yīng)注意周圍環(huán)境對測量的影響， 特別是溫度對電子測量的影響較大， 精密測量要注意恒溫或采取散熱、 空氣調(diào)節(jié)等措施。 為避免周圍電磁場及有害震動的影響， 必要時可采用屏蔽或減震措施。 盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。 在提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心的同時， 還可以從改進設(shè)備方面盡力避免測量人員

66、造成的誤差。 例如用數(shù)字式儀表常?？梢员苊庾x數(shù)誤差。,(2) 用修正方法減小系統(tǒng)誤差。 修正方法是預(yù)先通過檢定、 校準(zhǔn)或計算得出測量器具的系統(tǒng)誤差的估計值， 作出誤差表或誤差曲線， 然后取與誤差數(shù)值大小相同、 方向相反的值作為修正值， 將實際測量結(jié)果加上相應(yīng)的修正值， 即可得到已修正的測量結(jié)果。 如米尺的實際尺寸不等于標(biāo)稱尺寸， 若按照標(biāo)稱尺寸使用， 就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。 因此， 應(yīng)按經(jīng)過檢定得到的尺寸校準(zhǔn)值(即將標(biāo)稱尺寸加上修正值)使用， 即可減少系統(tǒng)誤差。 值得注意的是， 修正不可能達到理想完善， 因此系統(tǒng)誤差不可能完全消除。 ,(3) 采用一些專門的測量方法削弱或消除系統(tǒng)誤差。 替代法。 替代法是在測量裝置上相對被測量進行測量， 然后不改變測量條件， 立即用一個標(biāo)準(zhǔn)量代替被測量， 放到該裝置上再次進行測量， 從而測出被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值， 即被測量=標(biāo)準(zhǔn)量+差值。 替代法可消除固定不變的系統(tǒng)誤差。 , 交換法。 由于某些因素可能使測量結(jié)果產(chǎn)生單一方向的系統(tǒng)誤差， 因此我們可以進行兩次測量。 利用交換被測量在系統(tǒng)中的位置或測量方向等方法， 設(shè)法在兩次測量中誤差源對被測量的作用相反。