傅里葉變換性質(zhì)證明.doc

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? 2.6 傅里葉變換的性質(zhì) 2.6.1線性 　　若信號(hào)和的傅里葉變換分別為和， 　　　　　　 　　則對(duì)于任意的常數(shù)a和b，有 　　　　　　 　　將其推廣，若,則 　　　　　　 　　其中為常數(shù)，n為正整數(shù)。 　　由傅里葉變換的定義式很容易證明線性性質(zhì). 　　顯然傅里葉變換也是一種線性運(yùn)算，在第一章我們已經(jīng)知道了，線性有兩個(gè)含義：均勻性和疊加性。均勻性表明，若信號(hào)乘以常數(shù)a，則信號(hào)的傅里葉變換也乘以相同的常數(shù)a，即 　　　　　　 疊加性表明，幾個(gè)信號(hào)之和的傅里葉變換等于各個(gè)信號(hào)的傅里葉變換之和 　　　　????? 2.6.2 反褶與共軛性 　　設(shè)f(t)的傅里葉變換為，下面我們來討論信號(hào)反褶、共軛以及既反褶又共軛后，新信號(hào)的傅里葉變換。 　?。?）反褶 　　f(-t)是f(t)的反褶，其傅里葉變換為 　　????????? 　?。?）共軛 　　????????? 　　（3）既反褶又共軛 　　 ??????? 本性質(zhì)還可利用前兩條性質(zhì)來證明： 　設(shè)g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，則 　 ??? ???????在上面三條性質(zhì)的證明中，并沒有特別指明f(t)是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，因此,無論f(t)為實(shí)信號(hào)還是復(fù)信號(hào)，其傅里葉變換都滿足下面三條性質(zhì) 　　　　　　　　 ? 2.6.3 奇偶虛實(shí)性 　　已知f(t)的傅里葉變換為。在一般情況下，是復(fù)函數(shù)，因此可以把它表示成模與相位或者實(shí)部與虛部?jī)刹糠?，? 　??????? 　　根據(jù)定義，上式還可以寫成 　　 ???? 　　下面根據(jù)f(t)的虛實(shí)性來討論F()的虛實(shí)性。 　　(1) f(t)為實(shí)函數(shù) 　　對(duì)比式(2-33)與(2-34)，由FT的唯一性可得 　　 　?。?.1）f(t)是實(shí)的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t) 　　X()的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故 　　這時(shí)X()=0，于是 　　　　　 　　可見，若f(t)是實(shí)偶函數(shù)，則F()也是實(shí)偶函數(shù)，即 　　　 左邊反褶，右邊共軛 　?。?.2）f(t)是實(shí)的奇函數(shù)，即-f(t)=f(-t) 　　R()的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故 　　這時(shí)R()=0，于是 　　　　　　　　　　　 　　可見，若f(t)是實(shí)奇函數(shù)，則F()是虛奇函數(shù)，即 　　　　左邊反褶，右邊共軛 有了上面這兩條性質(zhì)，下面我們來看看一般實(shí)信號(hào)（即可能既不是偶信號(hào)，又不是奇信號(hào)，反正不清楚，或者說是沒有必要關(guān)心信號(hào)的奇偶特性）的FT頻譜特點(diǎn)。 ? 2.6.4對(duì)稱性 　　傅里葉變換與傅里葉反變換之間存在著對(duì)稱關(guān)系，稱為傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)。若已知 　　　　　F()=F[f(t)] 則有 　　　　　F[f(t)]=2лf(-) 　　證明：因?yàn)? 　　 　　　 　　將變量t與互換，再將2乘過來，得 　　　　　　　　 　　上式右邊是傅里葉正變換定義式，被變換函數(shù)是F(t) 　　所以 　　　　　　　　F[F(t)]=2лf(-) 　　若f(t)為偶信號(hào)，即f(t)=f(-t)，則有 　　　　　　　　F[F(t)]=2f() 　　從上式可以看出，當(dāng)f(t)為偶信號(hào)時(shí)，頻域和時(shí)域的對(duì)稱性完全成立――即f(t)的頻譜是F()，F(xiàn)(t)的頻譜為f()。 　　若f(t)為奇信號(hào)，即f(t)=-f(-t)，則有 　　　　　　　　F[F(t)]=-2f() 　　利用FT的對(duì)稱性，我們可以很方便地一些信號(hào)的傅里葉變換。下面我們舉些例子來說明這一點(diǎn)。 ???????? ??? 2.6.5 尺度變換 　　若F[f(t)]=F()，則 　　　　　　　　　　　　　　 　　這里a是非零的實(shí)常數(shù)。 　　下面利用FT的定義及積分的性質(zhì)，分a>0和a<0兩種情形來證明傅里葉變換的尺度變換特性。 　　證明：因?yàn)? 　　　　　　　　　　 　　令at=x， 　　當(dāng)a > 0時(shí) 　 　　當(dāng)a < 0時(shí)　 　　上述兩種情況可綜合成如下表達(dá)式： 　　　　　　　　　　　 　　由上可見，若信號(hào)f(t)在時(shí)域上壓縮到原來的1/a倍，則其頻譜在頻域上將展寬a倍，同時(shí)其幅度減小到原來的1/a。 　　尺度變換性質(zhì)表明，在時(shí)域中信號(hào)的壓縮對(duì)應(yīng)于頻域中信號(hào)頻帶的擴(kuò)展，反之，信號(hào)的時(shí)域擴(kuò)展對(duì)應(yīng)于頻域的壓縮。對(duì)于a=-1的特殊情況，它說明信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反褶。 　　對(duì)傅里葉變換的尺度變換特性最通俗的解釋可以采用生活中的實(shí)例來說明，在錄音帶快放時(shí)，其放音速度比原磁帶的錄制速度要快，這就相當(dāng)于信號(hào)在時(shí)間上受到了壓縮，于是其頻譜就擴(kuò)展，因而聽起來就會(huì)感覺到聲音發(fā)尖，即頻率提高了。反之，當(dāng)慢放時(shí)，放音的速度比原來速度要慢，聽起來就會(huì)感覺到聲音渾厚，即低頻比原來豐富了（頻域壓縮）。 ? 2.6.6 時(shí)間平移(延時(shí)) 　　 　　下面進(jìn)行證明 　　證明： 　　 上式右邊的積分項(xiàng)為傅里葉變換定義式， 　　于是可以得到 　　　　　　　　　　　　 　　同理可以得到 　　　　　　　　　　　　 2.6.7　時(shí)域微分 　　若F[f(t)]=F()，則 ???????????? 　　　　　 　　證明：因?yàn)?，兩邊對(duì)t求導(dǎo)，可得 　　　 ???????????????　　　　　　　 　　所以　　　　　　 　　同理，可以推出 　　　　　　　　　　　 　　由上可見，在時(shí)域中f(t)對(duì)t取n階導(dǎo)數(shù)等效于在頻域中f(t)的頻譜F()乘以(j)n. 下面舉一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用例子。若已知單位階躍信號(hào)u(t)的傅里葉變換，可利用此定理求出(t)的FT 　　　　　　　　　　 2.6.8 頻域微分 　　若F[f(t)]=F()，則 　　　　　　　　　　　　　 　　證明：因?yàn)?，兩邊分別對(duì)求導(dǎo)，可得 　　　　　　　　　　　 　　所以 　　　　　　　　 　　 ????????? ? 2.6.9 時(shí)域積分 ????????? ????????? 可見，這與利用符號(hào)函數(shù)求得的結(jié)果一致。 2.6.10 頻域積分 　　若F[f(t)]=F() ，則有 　　 2.6.11 時(shí)域卷積定理 ???????? ? 2.6.12 頻域卷積定理 　　與時(shí)域卷積定理類似， 　　證明方法同時(shí)域卷積定理，在這里不在重復(fù)，同學(xué)們可自己證明。 　　由上可見，兩個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積?；蛘哒f，兩個(gè)時(shí)間函數(shù)乘積的頻譜等于各個(gè)函數(shù)頻譜乘積乘以1/2。 　　顯然，時(shí)域與頻域卷積定理是對(duì)稱的，這是由傅里葉變換的對(duì)稱性決定的。 ? 2.6.13 　帕斯瓦爾定理 　　前面我們?cè)谥v信號(hào)分解時(shí)，提及帕斯瓦爾定理。下面我們來研究一下該定理在FT中的具體表現(xiàn)形式。 　　若F[f(t)]=F() ，則 　　　　　　 　　這就是帕斯瓦爾定理在傅里葉變換中體現(xiàn)，它表明了信號(hào)的能量在時(shí)域與頻域是守恒的。下面利用FT的定義和性質(zhì)，推導(dǎo)信號(hào)能量的求解。 　???????? 　　式中 是信號(hào)f(t)的總能量，為信號(hào)f(t)的能量譜密度。 　　帕斯瓦爾定理表明，這個(gè)總能量既可以按每單位時(shí)間的能量|f(t)|2在整個(gè)時(shí)間內(nèi)積分計(jì)算出來，也可以按單位頻率內(nèi)的能量/2在整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分來得到。 　　此定理也可以如下證明。由相關(guān)性定理可得 　　　　　 　　取t=0，即得帕斯瓦爾定理。