《機械系統(tǒng)動力學第四章固有頻率的實用計算方法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《機械系統(tǒng)動力學第四章固有頻率的實用計算方法（29頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第4章 固有頻率的實用計算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 一 列方程法,單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)運動,,只要列出單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的運動微分方程，就可以得到振動系統(tǒng)的固有頻率,,第4章 固有頻率的實用計算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 一 列方程法,例4-1-1：建立圖4-1-1(a)所示的均質桿繞O點作微幅轉動振動系統(tǒng)的運動微分方程。,,解：單自由度系統(tǒng)，取均質桿為研究對象，畫其受力圖如圖(b)。根據(jù)動量矩定理,,,,第4章 固有頻率的實用計算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 一 列方程法,即,,解：單自由度系統(tǒng)，取均質桿為研究對象，畫其受力圖如圖(b)。根據(jù)動量矩定理,,,,,,振動系統(tǒng)固有頻
2、率：,,第4章 固有頻率的實用計算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 二能量法,原理： 對于單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)，其響應為簡諧振動，系統(tǒng) 或 。在靜平衡位置，勢能為0，動能達到最大，即： 。在最大位移處，動能為0，勢能達到最大，即： 。所以有：,,例：對圖4-1-1所示的振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的動能,,,,,,,,,,系統(tǒng)的勢能,,第4章 固有頻率的實用計算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 二能量法,令,,例：對圖4-1-1所示的振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的動能,,,,,,,,,,系統(tǒng)的勢能,,,則有：,,,最大動能,,,最大勢能：,由,,,得：,系統(tǒng)的固有頻率,,第4章
3、固有頻率的實用計算方法,4-2 多自由度系統(tǒng) 4-2-1求特征值法,令,,對于多自由度振動系統(tǒng)，其無阻尼自由振動運動微分方,,,,,,,,,,,,帶入方程4-2-1并消去 項得,,,欲使方程有非0解，令方程的系數(shù)行列式等于0,,,可得到特征方程的n個特征根 ，即振動系統(tǒng)的固有頻率,,,,,4-2-1,,,,特征方程，又稱振幅方程,,,第4章 固有頻率的實用計算方法,4-2 多自由度系統(tǒng) 4-2-1求特征值法,,例4-2-1：2個自由度振動系統(tǒng)，其運動微分方程為：,,,,,,,,,,,,令其特征方程的系數(shù)行列式等于0得,,,,,即：,,,,,,,,,,,,,可得固有頻率
4、,,第4章 固有頻率的實用計算方法,4-2 多自由度系統(tǒng) 4-2-2計算固有頻率的近似法,,一、瑞利法（Rayleigh法）,,,,,,,,,,,,瑞利法從單自由度振動系統(tǒng)固有頻率計算的能量方法出發(fā)，對于多自由度振動系統(tǒng)，在作無阻尼自由振動時， 響應為同步振動。系統(tǒng)的動能可表示為：,,,,,系統(tǒng)的勢能,,,,,,,,,,,,,設,,,,,,帶入得最大動能,,,最大勢能,第4章 固有頻率的實用計算方法,4-2 多自由度系統(tǒng) 4-2-2計算固有頻率的近似法,,一、瑞利法（Rayleigh法）,,,,,,,,,,,,帶入公式 得：,,,,,利用4-2-7精確計算多自由度振動系統(tǒng)
5、的固有頻率，前提條件是需要已知系統(tǒng)的振型，這是無法做到的。但振動系統(tǒng)的一階振型的近似值一般可以預測，大都數(shù)情況下與其靜載荷作用下產生的靜變形十分接近。,,,,,,,,,,,,,例如例4-2-1所給出的振動問題，若取,,,,,,,,代入式4-2-7進行試算：,,4-2-7,,第4章 固有頻率的實用計算方法,,一、瑞利法（Rayleigh法）,,,,,,,,,,,,,,,,若取,,,,,,,,,,,,,若取,,,,,,,,與精確解相比，一階固有頻率的相對計算誤差,,,,,代入式4-2-7進行試算,,,,二階固有頻率的相對計算誤差,瑞利法的計算精度決定于對振型的假設。計算一階固有頻率精度較高但數(shù)值偏
6、大,第4章 固有頻率的實用計算方法,,二、鄧克利法（Dunkenley法）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對于二個自由度系統(tǒng)：,,,,,,,,,,,,,,,展開整理,對于多自由度振動系統(tǒng)，若用柔度法建立的運動微分方程可表示為：,,4-2-8,同樣地令,,,,特征方程,,,(a),第4章 固有頻率的實用計算方法,,二、鄧克利法（Dunkenley法）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一般有 ，即 因此有,,,,,,,,,,,,,,,設 為方程的兩個根，則有,,比較（a）（b）兩式，可得,,,,,,,（b）,,,,,第4章 固有頻
7、率的實用計算方法,,二、鄧克利法（Dunkenley法）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,用Dunkenley法求解上例,,,,,,,,,,,,,,,一般地，對于具有n個自由度的振動系統(tǒng),,即Dunkenley法計算自由度的振動系統(tǒng)一階固有頻率的計算公式。,,,,,,,,,,,,,,,Dunkenley法計算結果偏小,第4章 固有頻率的實用計算方法,,4-3 傳遞矩陣法（Transfer Matrix Method）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,傳遞矩陣法屬于一種半解析數(shù)值解法，其基本思路：將系統(tǒng)離散成若干單元，每一個
8、單元與鄰近單元界面上用位移協(xié)調條件和力的平衡條件予以聯(lián)系；每一單元可以用牛頓第二定律建立運動方程，從而建立單元兩端之間的傳遞矩陣。求解從系統(tǒng)的邊界開始，在邊界上有的外力及位移關系是已知的，求出另一側的力和位移；依次進行下去最后可得到問題的解。傳遞矩陣法既可求振動系統(tǒng)的固有頻率，也可以求振動系統(tǒng)的強迫振動響應問題。,,,,,,,,,,,,,,,,第4章 固有頻率的實用計算方法,,4-3 傳遞矩陣法（Transfer Matrix Method）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,圖
9、4-3-1 軸的縱向振動離散化模型,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,傳遞矩陣法的求解步驟,1.系統(tǒng)的離散化,利用集中質量法將具有分布質量的連續(xù)系統(tǒng)離散為具有n個自由度的鏈式系統(tǒng)，如圖4-3-1(b),并進行編號,2.建立點場矩陣,取第i個質量彈簧元件研究,兩端狀態(tài)向量關系,,寫成矩陣形式,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,
10、,,,,,,,,,,,,場傳遞矩陣,研究質量元件,在沒有外激勵力作用時，根據(jù)牛頓第二定律，可得下列關系式,若振動系統(tǒng)作簡諧振動，則有,,,,,,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,即,質量 兩側狀態(tài)向量之間的關系方程,,,,,,,,,點傳遞矩陣,,3.求系統(tǒng)的傳遞矩陣,第i個質量彈簧單元的狀態(tài)向量傳遞關系,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸
11、的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,令 ,稱振動系統(tǒng)的狀態(tài)向量,寫成簡潔的形式,對于圖4-3-1(b)所示的振動系統(tǒng)，最右端狀態(tài) 與最左端狀態(tài) 之間的關系,,,,,,,,,,,第i個質量彈簧單元的傳遞矩陣,,,4-3-7,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,稱系統(tǒng)的總的傳遞矩陣,而狀態(tài)向量 依賴于邊界條件。,4.求系統(tǒng)的固有頻率,,,,,,,,,,,,,,,,求系統(tǒng)的固有頻率時，從最左邊的狀態(tài) 向量 出發(fā)，利用式4-3-7
12、計算最右邊的狀態(tài)向量 得到一個關于 的方程式，其中滿足所需解決問題邊界條件的 就是系統(tǒng)的固有頻率。,,,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,對于圖5-3-1所示的懸臂梁的縱向振動問題，其邊界條件為 ， ，代入3-3-7式有,從而得 ， 。滿足 的 即 為系統(tǒng)的固有頻率。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,
13、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,例4-3-1用傳遞矩陣法求圖4-3-2所示的單自由度系統(tǒng)的固有頻率,解：1：編號：如圖所示 2：計算點、場矩陣,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,點矩陣,,場矩陣,,3、計算傳遞矩陣：,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4、求系統(tǒng)的固有頻率(無阻尼自由振動) 根據(jù)
14、邊界條件 代入：,,,,,,,固有頻率,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例4-3-2用傳遞矩陣法求圖4-3-3所示的2個自由度系統(tǒng)的固有頻率,,,,,,,解：1：編號：如圖所示 2：計算點、場矩陣及傳遞矩陣,,圖4-3-3,,,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振
15、動,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3.求系統(tǒng)的固有頻率(無阻尼自由振動) 由邊界條件 代入上式得:,,,,,,,由上式的第2式得：,,,,即：,,可解出兩個根，即系統(tǒng)的固有頻率：,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-2傳遞矩陣法分析圓軸的扭轉振動,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一 傳遞矩陣的計算,,,,,,,圖4-3-4b)為系統(tǒng)的某一具有代表性的第n段單元。其點矩陣形式的動力方程為,,,,,為第n段單元對轉
16、軸的轉動慣量,,圖4-3-4 扭轉振動單元狀態(tài)向量表示,,,,場矩陣形式的彈性方程,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-2傳遞矩陣法分析圓軸的扭轉振動,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一 傳遞矩陣法的計算,,,,,,,第n段單元的傳遞矩陣,,,,,,,,,系統(tǒng)的傳遞矩陣的計算公式仍然可以表示為,,,,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-2傳遞矩陣法分析圓軸的扭轉振動,,,,
17、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二 算法流程圖,,,,,,,,,,圖4-3-5(a)所示的一端固定一端自由的圓軸作扭轉自由振動，其中桿長為l ，軸徑為d ，材料的切變模量為G ，密度為 ，用傳遞矩陣法計算一階固有頻率。,,,,,,,,,,,,第4章固有頻率的實用計算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-2傳遞矩陣法分析圓軸的扭轉振動,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二 算法流程圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖4-3-7 傳遞矩陣法的計算結果,在01000rad/s范圍內，計算得到的前3階固有頻率為158.5，475和791.5rad/s。而由理論解分別為159.08，477.24和795.4rad/s,相對誤差分別為0.365%，0.469%和0.490%。,
機械系統(tǒng)動力學第四章固有頻率的實用計算方法
