誤差理論與數(shù)據(jù)處理第8章線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘法與組合測(cè)量

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1、4- 1,第八章線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘法處理,教學(xué)目的和要求：,通過(guò)本章內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)間接測(cè)量不確定度的評(píng)定、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的分配和最佳測(cè)量方案的設(shè)計(jì)有一個(gè)系統(tǒng)和全面的了解。要求學(xué)生能夠熟練的進(jìn)行間接測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定度評(píng)定；掌握合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度分配的基本原則；初步掌握最佳測(cè)量方案設(shè)計(jì)的方法。,主要內(nèi)容：,1 間接測(cè)量不確定度的評(píng)定：評(píng)定的基本公式、 評(píng)定方法與步驟、實(shí)例。 2 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的分配：按等作用原則分配 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度、按可能性調(diào)整分配后的不 確定度、驗(yàn)算調(diào)整后的不確定度。,3. 最佳測(cè)量方案的設(shè)計(jì)：最佳測(cè)量函數(shù)公式的選擇、靈敏系數(shù)最小選擇。,第一節(jié)最小二乘法原理,最

2、小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量值中尋找最可信賴(lài)值的問(wèn)題。,對(duì)某量進(jìn)行測(cè)量，得到一組數(shù)據(jù) ,不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布,其標(biāo)準(zhǔn)差為,測(cè)得值落入的概率,測(cè)得值 同時(shí)出現(xiàn)的概率為,最可信賴(lài)值滿(mǎn)足,權(quán)因子,雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實(shí)際上，按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷已形成一種準(zhǔn)則。,第一節(jié)最小二乘法原理,線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘法處理,一般地，線(xiàn)性函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為 Yf（X，a） 那么，線(xiàn)性函數(shù)的測(cè)量方程為,,,(8-1),其相應(yīng)的估計(jì)量為,,8-2,相應(yīng)的殘余誤差方程為,,8-3,第二節(jié)正規(guī)方程,組合測(cè)量基本概念,如為精密測(cè)定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量,

3、測(cè)得值,待解的數(shù)學(xué)模型,待求量,為了獲得更可靠的結(jié)果，測(cè)量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目,組合測(cè)量，指直接測(cè)量一組被測(cè)量的不同組合值，從它們相互所依賴(lài)的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測(cè)量的最佳估計(jì)值。,,,,,,,一、等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程,線(xiàn)性參數(shù)的殘余誤差方程為,,,,正規(guī)方程組可寫(xiě)為,,矩陣形式,,例81 在不同溫度下測(cè)定銅棒的長(zhǎng)度如下表，試估計(jì)0時(shí)的銅棒長(zhǎng)度y0和銅的線(xiàn)膨脹系數(shù)a。,,解 測(cè)量銅棒長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)模型是 yy0（1at） 由此列出測(cè)量方程 yiy0（1ati） （i1，2，，6） 可得殘余誤差方程 viliy0（1ati） （i1，2，，6） 其中 li在溫度ti

4、下銅棒長(zhǎng)度的測(cè)量值； a銅的線(xiàn)膨脹系數(shù)。 令y0a ，a y0b為待估計(jì)的兩個(gè)參數(shù)，則殘余誤差方程可寫(xiě)為 vili（atib） （i1，2，，6） 為了方便計(jì)算，將數(shù)據(jù)列表如下,根據(jù)殘余誤差方程，按式（822）寫(xiě)出正規(guī)方程,,將表中計(jì)算出的正規(guī)方程的系數(shù)和常數(shù)代入正規(guī)方程，則有,,解之 a1999.97（mm） b0.03654（mm） 即 y01999.97（mm）,若按矩陣形式計(jì)算，則有,C,C1,AT L,于是可得,,,,,,所以,a1999.97（mm） b0.03654（mm） 即 y01999.97（mm）,,,因此，銅棒長(zhǎng)度y隨溫度t的線(xiàn)性變化的規(guī)律為 y1999

5、.97（10.0000183t）mm,二、不等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程,不等精度測(cè)量時(shí)線(xiàn)性參數(shù)的殘余誤差方程與等精度相同，不同之處在于進(jìn)行不等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二乘法處理時(shí)，要取加權(quán)殘余誤差平方和為最小，即,,不等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程,,,線(xiàn)性測(cè)量方程組,線(xiàn)性測(cè)量方程組的一般形式為,測(cè)量殘差方程組,,含有隨機(jī)誤差,,矩陣形式,,最小二乘法原理式,求導(dǎo),正規(guī)方程組,正規(guī)方程組解,,,不等權(quán),,正規(guī)方程組,不等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二乘法處理時(shí)，要取加權(quán)殘余誤差平方和為最小，即 為簡(jiǎn)化表達(dá)式，不妨令 將加權(quán)殘余誤差的平方和分別對(duì)各x1，x2，，xt求

6、偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即,,,,上列各式的二階偏導(dǎo)數(shù)恒正，即,,,,,由此可知，加權(quán)殘余誤差的平方和,的極小值存在。而由一階偏導(dǎo)數(shù)等于零所構(gòu)成的 線(xiàn)性方程組為,,（828）,線(xiàn)性方程組（828）稱(chēng)為不等精度測(cè)量線(xiàn)性參數(shù)最小二 乘法處理的正規(guī)方程。這是一個(gè)t元線(xiàn)性方程組，在其系數(shù) 行列式不等于零時(shí)，有唯一確定的解。這一確定的解滿(mǎn)足最 小二乘法原理式（87）、是未知參數(shù)的最佳估計(jì)量。 線(xiàn)性方程組（828）在形式上有如下特征：,1沿方程組主對(duì)角線(xiàn)上分布的項(xiàng)的系數(shù),,（j1，2，，t）,都是正數(shù)；,2以主對(duì)角線(xiàn)為軸對(duì)稱(chēng)分布的項(xiàng)的系數(shù)相等，如,,若不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)l1，l2，，ln的權(quán)分別為w1， w2

7、，，wn，將不等精度測(cè)量的正規(guī)方程式（828）單位權(quán)化， 即令,,于是，不等精度測(cè)量的正規(guī)方程式（828）轉(zhuǎn)化為,,（829）,顯然，正規(guī)方程式（829）在形式上與等精度測(cè)量的正規(guī)方程式（822）完全一樣。把不等精度測(cè)量的正規(guī)方程（828）各式分別展開(kāi)，整理后可得 與式（823）類(lèi)似的結(jié)果,,三、非線(xiàn)性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程,一般情況下，若測(cè)量方程 Yf（X1，X2，，Xn）為非線(xiàn)性函數(shù)，則測(cè)量的殘余誤差方程,,可以按線(xiàn)性參數(shù)的情形列出正規(guī)方程并解出r（r1，2，，t），進(jìn)而求得相應(yīng)的估計(jì)量xr（r1，2，，t）。,,四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系,最小二乘法原理與算術(shù)平均值原理

8、是一致的，算術(shù)平均值原理可看成最小二乘法原理的特例,第三節(jié) 不確定度評(píng)定,一、測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定度評(píng)定 （一）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定度評(píng)定 根據(jù)2分布的性質(zhì)，有,,,,,,,（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定度評(píng)定 測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差的無(wú)偏估計(jì)為單位權(quán)實(shí)驗(yàn)方差,,,二、最小二乘估計(jì)量的不確定度評(píng)定,設(shè)有正規(guī)方程,,,1 2 ,對(duì)不等精度測(cè)量可參照此步驟進(jìn)行,第四節(jié) 組合測(cè)量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理,組合測(cè)量是通過(guò)直接測(cè)量待測(cè)參數(shù)的估計(jì)量（一般采用等精度測(cè)量），然后對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而求得待測(cè)參數(shù)的估計(jì)量，并給出其不確定度。一般地，組合測(cè)量數(shù)據(jù)用最小二乘法進(jìn)行處理，這是最小二乘法在精密測(cè)量中的一種

9、重要應(yīng)用。,要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線(xiàn)間的距離。已知用組合測(cè)量法測(cè)得圖所示刻線(xiàn)間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。,,,,,,,,例題,計(jì)算步驟,【解】,列出測(cè)量殘差方程組,解出,,,,,,即,計(jì)算結(jié)果,代入殘差方程組可得,,,估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差,,估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差,組合測(cè)量的概念： 組合測(cè)量是指直接測(cè)量各被測(cè)量的組合量，將組合量的測(cè)得值和對(duì)應(yīng)的組合量一一列出方程，然后通過(guò)解測(cè)量方程組得到各被測(cè)量的量值，并給出其不確定度。 組合測(cè)量數(shù)據(jù)用最小二乘法進(jìn)行處理，這是最小二乘法在精密測(cè)量中的一種重要應(yīng)用。 組合測(cè)量既可提高測(cè)量的準(zhǔn)確度，又可減少測(cè)量的工作量，常用于精密測(cè)試和計(jì)量檢定之中,用組

10、合測(cè)量檢定三段刻線(xiàn)間距，求檢定結(jié)果。 如圖81所示，要求檢定A、B、C、D間的距離x1、x2、x3。,圖81,圖82,直接測(cè)量刻線(xiàn)間距的各種組合量（見(jiàn)圖82），得到如下測(cè)量數(shù)據(jù)：,,l11.015mml20.985mml31.020mm l42.016mml51.981mml63.032mm,列出殘差方程,,則正規(guī)方程為,,將表中正規(guī)方程的系數(shù)與常數(shù)代入得,,解正規(guī)方程得,,這就是刻線(xiàn)間距AB、BC、CD的最佳估計(jì)量。,計(jì)算殘余誤差,,于是,,直接測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差,,設(shè)不定乘數(shù),,不定乘數(shù)的方程組,,,,解得,d110.5，d220.5，d330.5。,估計(jì)量x1、x2、x3的標(biāo)準(zhǔn)不確定度,,；,；,。,