高中數(shù)學 精講優(yōu)練課型 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3 平面向量的坐標運算課件 新人教版必修4

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1、2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3平面向量的坐標運算,【知識提煉】 1.平面向量正交分解的定義 把一個平面向量分解為兩個_________的向量. 2.平面向量的坐標表示 (1)基底：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個 _________i，j作為_____.,互相垂直,單位向量,基底,(2)坐標：對于平面內(nèi)的一個向量a，有且僅有一對實數(shù)x，y，使得 a=_____，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標. (3)坐標表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐標：i=_______，j=_______，0=(0，0).,xi+yj,(1，0),(0，1),3.

2、平面向量的坐標運算 設向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，R，則有下表：,和,差,(x1+x2，y1+y2),(x1-x2，y1-y2),(x1，y1),終點,起點,(x2-x1，y2-y1),【即時小測】 1.思考下列問題. (1)與坐標軸平行的向量的坐標有什么特點？ 提示：與x軸平行的向量的縱坐標為0，即a=(x，0)；與y軸平行的向量的橫坐標為0，即b=(0，y).,(2)若把向量 平移到 ，則 和 的坐標相同嗎？ 的坐標 是C點的坐標嗎？ 提示：相同， 的坐標不是C點的坐標，只有點B與原點O重合時 的 坐標才是C點坐標.,2.如圖所示，在矩形ABCD中，AC與BD交于點O，下列

3、是正交分解的 是( ) 【解析】選B.由于 ，則 是正交分解,3.在平面直角坐標系內(nèi)，已知i，j是兩個互相垂直的單位向量，若a=i-2j，則向量用坐標表示a=________. 【解析】由于i，j是兩個互相垂直的單位向量， 所以a=(1，-2). 答案：(1，-2),4.若a=(2，3)，b=(-3，1)，則a+b=________. 【解析】a+b=(2，3)+(-3，1)=(-1，4). 答案：(-1，4),5.若點M(3，5)，點N(2，1)，用坐標表示向量 =_______ 【解析】 =(2，1)-(3，5)=(-1，-4). 答案：(-1，-4),【知識探究】 知識點1 平面

4、向量的正交分解及坐標表示 觀察圖形，回答下列問題：,問題1：點的坐標與向量的坐標有什么區(qū)別？ 問題2：相等向量的坐標相同嗎？相等向量的起點、終點一定相同嗎？,【總結(jié)提升】 1.解讀平面向量的坐標表示 (1)向量的坐標只與始點和終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān). (2)向量確定后，向量的坐標就被確定了. (3)引入向量的坐標表示以后，向量就有兩種表示方法：一種是幾何法，即用向量的長度和方向表示；另一種是坐標法，即用一對有序?qū)崝?shù)表示.有了向量的坐標表示，就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.,2.辨析點的坐標與向量坐標 (1)平面向量的坐標只有當起點在原點時，向量的坐標才與向量終點的坐標

5、相同. (2)書寫不同：向量a=(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號. (3)在平面直角坐標系中，符號(x，y)可表示一個點，也可表示一個向量，敘述中應指明點(x，y)或向量(x，y).,(4)給定一個向量，它的坐標是唯一的，對應一對實數(shù)，由于向量可以平移，故以這對實數(shù)為坐標的向量有無窮多個. 注意：相等向量的坐標是相同的，但是兩個相等向量的起點、終點的坐標卻可以不同.,知識點2 平面向量的坐標運算 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：,問題1：兩個向量的和與差、實數(shù)與向量的積的坐標如何運算？ 問題2：求向量 的坐標需要哪些向量？ 問題3：向量可以平移，平移前后它的坐標發(fā)生

6、變化嗎？,【總結(jié)提升】 1.兩個向量和(差)的坐標 由于向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)等價于a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，則a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2).這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).,2.實數(shù)與向量的積的坐標 由a=(x，y)，可得a=xi+yj，則a=(xi+yj)=xi+yj.從而a=(x，y).這就是說實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.,【題型探究】 類型一 平面向量的

7、坐標表示 【典例】1.已知基向量i=(1，0)，j=(0，1)，m=4i-j，則m的坐標 是() A.(4，1)B.(-4，1)C.(4，-1)D.(-4，-1) 2.如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i，j作為 基底，分別用i，j表示 并求出它們的坐標.,【解題探究】1.典例1中向量i與向量j有什么關(guān)系？ 提示：向量i與向量j垂直. 2.典例2中，點A，B的坐標分別是多少， 如何用 表示. 提示：A(6，2)，B(2，4)，,【解析】1.選C.因為向量i與向量j垂直，m=4i-j，所以m=(4，-1). 2.由圖形可知， =6i+2j， =2i+4j， =-4i+2j，它們的坐標表

8、示為： =(6，2)， =(2，4)， =(-4，2).,【方法技巧】求點和向量坐標的常用方法 (1)求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置的坐標. (2)求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標.,【變式訓練】已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30角， 則 =______， =_____.,【解析】由題知B，D分別是30，120角的終邊與單位圓的交點. 設B(x1，y1)，D(x2，y2). 由三角函數(shù)的定義，得x1=cos30= y1=sin30= ，所以 x2=cos120=- ，y2=sin120=

9、 所以 所以 答案：,【補償訓練】在直角坐標系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分別計算出它們的坐標.,【解題指南】題目中給出了向量a，b，c的模以及與坐標軸的夾角，要求向量的坐標，先將向量正交分解，把它們分解為橫、縱坐標的形式，然后寫出其相應的坐標.,【解析】設a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 則a1=|a|cos45=2 a2=|a|sin45=2 b1=|b|cos120=3 b2=|b|sin120=3 c1=|c|cos(-30)=4 c2=|c|sin(-30)=4 因此a=( )，b= ，c=(2 ，-

10、2).,類型二 平面向量的坐標運算 【典例】1.已知平面上三個點A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)， 則 =______， =_______. 2.已知a=(1，2)，b=(-3，4)，求向量a+b，a-b，3a-4b的坐標,【解題探究】1.典例1中 ， 的坐標分別為多少？ 提示： = (3，-1)， = (-3，2). 2.典例2中如何求向量和、差、數(shù)乘的坐標？ 提示：直接利用平面向量的坐標運算求解.,【解析】1.因為A(4，6)、B(7，5)、C(1，8) 所以 =(7，5)-(4，6)=(3，-1)； =(1，8)-(4，6)=(-3，2)； =(3，-1)-(-3，2)=

11、(6，-3)； =2(3，-1)+ (-3，2) =(6，-2)+ 答案：(6，-3),2.a+b=(1，2)+(-3，4)=(-2，6)； a-b=(1，2)-(-3，4)=(4，-2)； 3a-4b=3(1，2)-4(-3，4)=(15，-10),【延伸探究】若典例1中條件不變，則 的坐標是多少？ 【解析】因為A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)，所以 =(7，5)-(1，8)=(6，-3)， =(4，6)-(7，5)=(-3，1)， 所以,【方法技巧】平面向量坐標運算的技巧 (1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行. (2)若已知有向線段兩端點

12、的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算. (3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行.,【變式訓練】1.若向量 =(2，3)， =(4，7)，則 =( ) A.(-2，-4)B.(3，4) C.(6，10)D.(-6，-10) 【解析】選A.因為 =(2，3)， =(4，7)，,2.已知a=(-1，2)，b=(2，1)，求： (1)2a+3b.(2)a-3b.(3) . 【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1) =(-2，4)+(6，3)=(4，7) (2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3) =(-7，-1),【補償訓練】如圖所示

13、，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求 的坐標,【解析】因為A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， 所以 =(3-7，5-8)=(-4，-3)， =(4-7，3-8)=(-3，-5) 又因為D是BC的中點， 所以 因為M，N分別為AB，AC的中點，所以F為AD的中點 所以,類型三 由相等向量求坐標 【典例】1.(2015江蘇高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若 ma+nb=(9，-8)(m，nR)，則m-n的值為________. 2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若 則 的坐標為

14、____. 3.已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及 (1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？ (2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由.,【解題探究】1.典例1中如何利用ma+nb=(9，-8)這個條件？ 提示：先求出ma+nb的坐標，然后根據(jù)相等向量的坐標對應相等求解 m，n. 2. 典例2中 能確定哪些點的坐標？ 提示：由 可確定點C的坐標，由 可確定點D的坐標. 3.典例3中點P在x軸上，在y軸上的坐標有何特點？ 提示：點P在x軸上，縱坐標為0，在y軸上橫坐標為0.,【解析】1.因為a=(2，1)，b=(1，-2)，所以

15、ma+nb=m(2，1)+n(1，-2) =(2m+n，m-2n).又因為ma+nb=(9，-8)，所以 解得 所以m-n=-3. 答案：-3,2.設C(x，y)，則由 得， (x-2，y-4)= (-6，2)，解得x=-7，y=7， 即點C的坐標為C(-7，7) 又設D(m，n)，則由 得， (m+4，n-6)= (6，-2)， 解得m=4，n= ，即D點的坐標為(4， ) 故 答案：,3.(1) =(1，2)+t(3，3)=(1+3t，2+3t)， 若點P在x軸上，則2+3t=0，所以t=- . 若點P在y軸上，則1+3t=0，所以t=- . (2) =(1，2)， =(3-3

16、t，3-3t)若四邊形OABP為平行四邊形， 則 所以 該方程組無解 故四邊形OABP不能成為平行四邊形,【延伸探究】 1.(改變問法)若本例3條件不變，問t為何值時，B為線段AP的中點？ 【解析】由 得 所以當t=2時， B為線段AP的中點,2.(改變問法)若本例3條件不變，問t為何值時，點P在第二象限？ 【解析】若點P在第二象限，則 所以,【方法技巧】坐標形式下向量相等的條件及其應用 (1)條件：相等向量的對應坐標相等. (2)應用：利用坐標形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可求某些參數(shù)的值.,【變式訓練】(2015泰安高一檢測)已知向量 =(3，-4)， =(6，-

17、3)， =(2，-6). (1)若四邊形ABCD為平行四邊形，求D點坐標. (2)若 求實數(shù) 的值.,【解析】(1)設D點坐標為(m，n)，則 =(m，n)， 因為 =(3，-4)， =(6，-3)， =(2，-6)， 所以 =(6，-3)-(3，-4)=(3，1)， =(2，-6)-(m，n)=(2-m，-6-n). 又因為四邊形ABCD為平行四邊形， 所以 所以 所以 所以D點坐標為(-1，-7).,(2)因為 所以(3，-4)=x(6，-3)+y(2，-6)=(6x+2y，-3x-6y)， 所以 解得 所以,【補償訓練】已知A(1，-2)、B(2，1)、C(

18、3，2)和D(-2，3)，以 為一組基底來表示 【解析】因為 =(1，3)， =(2，4)， =(-3，5)， =(-4，2)， =(-5，1)， 所以 =(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8) 根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實數(shù)m、n，使得,所以(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)， 也就是(-12，8)=(m+2n，3m+4n)， 即 解得m=32，n=-22. 所以,易錯案例 向量的坐標與點的坐標 【典例】(2015湛江高一檢測)已知點A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)， 若第三象限的點P滿足 則實數(shù)的取值范圍為( ),【失誤案例】,【錯解

19、分析】分析解題過程，你知道錯在哪里嗎？ 提示：錯誤的根本原因是混淆了向量 的坐標與點P的坐標，誤認為(3+5，1+7)為P的坐標.,【自我矯正】選A.方法一：設P(x，y)，則 =(x-2，y-3)， 又 于是可得， (x-2，y-3)=(3+5，1+7)， 所以 即 因為點P在第三象限，所以 解得<-1. 故所求實數(shù)的取值范圍是(-，-1),方法二： 所以P(5+5，4+7)， 因為點P在第三象限內(nèi)， 所以 所以<-1.,【防范措施】明確向量坐標與點坐標的關(guān)注點 (1)明確向量坐標與點坐標的概念，當且僅當向量的起點為坐標原點時，向量坐標與其終點的坐標相同. (2)明確向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，正確進行向量的坐標運算是解題的關(guān)鍵.,