概率論題集六.doc

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選擇填空判斷答案在本習(xí)題集系列一二三文檔后面 第六章、參數(shù)估計(jì) 一、選擇題： 1．若是取自總體X的樣本，且DX = ，又與分別是樣本均值與樣本方差，則必有 （ ） A．是的矩法估計(jì)量 B．是的最大似然估計(jì)量 D． 2．若總體X在（0，）上服從均勻分布，>0，是取自總體X的樣本，則的矩法估計(jì)量為 （ ） A． B．2 C．S D．2S 3．若總體X的分布律為 而1，2，5，7，8是X的樣本觀測(cè)值，則的最大似然估計(jì)值為 （ ） A．4 B．5 C．23/5 D．3 4．若總體 ，已知σ2 =σ20 ，則未知參數(shù)μ的置信區(qū)間為 （ ） A. B. C. D. 5．若總體 ，未知σ2，則未知參數(shù)μ的置信區(qū)間為 （ ） A. B. C. D. 6．若總體 ，已知μ=μ0 ，則未知參數(shù)σ2的置信區(qū)間為 （ ） A. B. C. D. 7．若總體 ，未知μ，則未知參數(shù)σ2的置信區(qū)間為 （ ） A. B. C. D. 8．若是取自總體X的一個(gè)樣本， DX = σ2 ，則以下估計(jì)量中最有效的是（ ） A． B． C． D． 9．若是取自總體X的一個(gè)樣本，EX = μ，DX = σ2 ，則 （ ） A．是μ的無偏估計(jì)量 B．是μ的無偏估計(jì)量 C．都是σ2的無偏估計(jì)量 D．是σ2的無偏估計(jì)量 二、填空題： 1. 已知總體，已知，則參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為 。 2. 已知總體，未知，則參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為 。 3. 已知總體，已知，則參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為 。 4. 已知總體，未知，則參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為 。 1 三、判斷題： 1. 若是取自總體X的樣本，且，則是的無偏估計(jì)量。 2. 若是取自總體X的樣本，且，則是的無偏估計(jì)量。 3. 若是的有效估計(jì)量，則是的無偏估計(jì)量。 4. 若是的無偏估計(jì)量，則一定是的有效估計(jì)量。 5. 進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，置信水平就是參數(shù)的樣本觀測(cè)值落在置信區(qū)間的概率。 6. 進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，置信區(qū)間就是參數(shù)的置信水平的取值區(qū)間。 7. 統(tǒng)計(jì)量是樣本函數(shù)。 8. 若樣本函數(shù)中不含有總體分布的參數(shù)以外的任何參數(shù)，則它一定是統(tǒng)計(jì)量。 9. 若是參數(shù)的最大似然估計(jì)值，則樣本觀測(cè)值出現(xiàn)的概率最大。 10. 若是的矩法估計(jì)量，則一定是的無偏估計(jì)量。 四、計(jì)算題： 1.設(shè)總體X在上服從均勻分布，即 其中＞0是未知參數(shù)，如果取得的樣本觀測(cè)值為，求的矩估計(jì)值。 2. 設(shè)總體X服從正態(tài)分布，即 其中及都是未知參數(shù)，如果取得的樣本觀測(cè)值為，求及的矩估計(jì)值。 3.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布P(λ)，即 其中λ為未知參數(shù)，如果取得的樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)λ的矩法估計(jì)值。 4．設(shè)總體X服從正態(tài)分布，即 其中及都是未知參數(shù)，如果取得的樣本觀測(cè)值為，求及的最大似然估計(jì)值。 5.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布P(λ)，即 第六章、參數(shù)估計(jì) 四、計(jì)算題： 1．解：因?yàn)榭傮wX的概率密度 其中只有一個(gè)未知參數(shù)，所以只需考慮總體X的一階原點(diǎn)矩 用樣本一階原點(diǎn)矩作為總體一階原點(diǎn)矩 的估計(jì)量，即有 . 由此解得的矩估計(jì)量 ， 而的矩估計(jì)值就是 2．解：由于總體X服從正態(tài)分布，即 總體X的分布中有兩個(gè)未知參數(shù)，所以應(yīng)考慮一、二階原點(diǎn)矩，我們有 于是，按矩估計(jì)法得方程組 取得及的矩估計(jì)量為 而及的矩估計(jì)值就是 3．解：因?yàn)榭傮wX的概率分布 中只有一個(gè)未知參數(shù)，所以只需考慮總體X的一階原點(diǎn)矩 用樣本一階原點(diǎn)矩作為總體一階原點(diǎn)矩 的估計(jì)量，即有 由此解得的矩估計(jì)量 ， 而的矩估計(jì)值就是 4．解：由于總體X服從正態(tài)分布，即 故似然函數(shù)為 取對(duì)數(shù)，得 對(duì)及求偏導(dǎo)數(shù)，并讓它們等于零，得似然方程組 解此方程組，即得及的最大似然估計(jì)值為 5．解：因?yàn)榭傮wX的概率分布 故似然函數(shù)為 取對(duì)數(shù)，得 對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并讓它等于零，得似然方程 解方程，即得的最大似然估計(jì)值為 6．解：由于總體X的概率密度為 故似然函數(shù)為 取對(duì)數(shù)，得 對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并讓它等于零，得似然方程 . 由此解得的最大似然估計(jì)值為 . 7．解：由于總體X服從“0—1”分布，即 故似然函數(shù)為 取對(duì)數(shù)，得 對(duì)p求導(dǎo)數(shù)，并讓它等于零，得似然方程 . 由此解得p的最大似然估計(jì)值為 . 8．解：由于總體X服從幾何分布，即 故似然函數(shù)為 取對(duì)數(shù)，得 對(duì)p求導(dǎo)數(shù)，并讓它等于零，得似然方程 . 由此解得p的最大似然估計(jì)值為 9．解：由于總體X的概率密度為 故似然函數(shù)為 取對(duì)數(shù)，得 對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并讓它等于零，得似然方程 由此解得的最大似然估計(jì)值為 . 10．解：（1）由于總體X的概率密度為 根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義 （2）用樣本一階原點(diǎn)矩作為 的估計(jì)量，即有 由此解得的矩估計(jì)量為 而的矩估計(jì)值就是 五、證明題： 1．證：由于是取自總體X的樣本，故相互獨(dú)立，且與總體X服從相同的分布，從而 故 即 是的無偏估計(jì)量 2．證：由于是取自總體X的樣本，故相互獨(dú)立，且與總體X服從相同的分布，從而 3．證：設(shè)是總體均值的線性無偏估計(jì)量，則 故 從而 又 即 故 是總體均值的一切無偏估計(jì)量中最有效的. 4．證：因?yàn)橄嗷オ?dú)立，且與總體X服從相同的分布，且與總體X服從相同的分布，所以，由切比雪夫定理的推論可知：對(duì)于任意給定的正數(shù)，有 ， 即 . 所以是的一致估計(jì)量. 其中λ為未知參數(shù)，如果取得的樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)λ最大似然估計(jì)值。 6．設(shè)總體X服從指數(shù)分布e(λ),概率密度為 其中λ＞0為未知參數(shù)，如果取得的樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)λ的最大似然估計(jì)值。 7．設(shè)總體X服從“0—1”分布，即 如果取得的樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)P的最大似然估計(jì)值。 8．設(shè)總體X服從幾何分布，即 如果取得的樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)P的最大似然估計(jì)值。 9．設(shè)總體X的概率密度為 其中θ＞0，如果取得的樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)θ的最大似然估計(jì)值。 10．設(shè)總體X的概率密度為 其中θ＞0，如果取得的樣本觀測(cè)值為，求：（1）EX；（2）參數(shù)θ的矩法估計(jì)值。 五、證明題： 1. 證明：樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)量。 2. 證明：樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量。 3. 證明：樣本均值是總體均值的一切線性無偏估計(jì)量中最有效的。 4. 證明：樣本均值是總體均值的一致估計(jì)量。