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1、1,4.3 分部積分法,一、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積,三、冪函數(shù)與對(duì)數(shù)或反三角函數(shù)之積,四、單獨(dú)的對(duì)數(shù)或反三角函數(shù),五、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積,六、多種方法的綜合使用,二、冪函數(shù)與三角函數(shù)之積,2,的選擇原則是:,說(shuō)明,分部積分法公式,或者,3,由,得,兩邊求不定積分，得,證明：,4,一、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積,選,5,例1.求,解,選取合適的助手,由分部積分公式,得,其中，,6,解,例2.求,選取合適的助手,注：若當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)（指數(shù)為正整數(shù)）與指數(shù)函數(shù)的 乘積，可設(shè)冪函數(shù)為u，而將其余部分為v,使得應(yīng)用分部積 分后，冪函數(shù)的冪次降低一次。,7,二、冪函數(shù)與三角函數(shù)之積,選,或,8,解,由分部
2、積分公式,得,例3.求,選取合適的助手,9,例4 求,解,選取合適的助手,注：若當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)（指數(shù)為正整數(shù)）與正（余）弦函 數(shù)的乘積，可設(shè)冪函數(shù)為u，而將其余部分為v,使得應(yīng)用分部 積分后，冪函數(shù)的冪次降低一次。,10,三、冪函數(shù)與對(duì)數(shù)或反三角函數(shù)之積,或者,選,11,例5.求,選取合適的助手,12,例6.,選取合適的助手,13,,注：若當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，可設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u，而將冪函數(shù)為v,使得應(yīng)用分部積分后，對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失。,14,四、單獨(dú)的對(duì)數(shù)或反三角函數(shù),或者,當(dāng)被積函數(shù)單純?yōu)閷?duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)時(shí),也用分部積分公式。,選,15,例
3、7.,解.,16,例8.,解.,方法1，換元法,方法2,設(shè),同時(shí)用到分部積分法和換元法,17,五、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積,或者,“打回頭”現(xiàn)象,選,或,18,例9.,于是,,解.,“打回頭”現(xiàn)象,19,,注：若當(dāng)被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積，u和v可隨意選取,但在兩次分部積分中，必須選用同類(lèi)型的u，以便經(jīng)過(guò)兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式，從而解出所求積分。,20,說(shuō)明,在用分部積分法求不定積分時(shí),常出現(xiàn)如下情形:,“打回頭”現(xiàn)象,21,五、多種方法的綜合使用,有時(shí)在積分過(guò)程中,需要同時(shí)用到換元法和分部積分法.,22,解,例10.,令,同時(shí)用到換元法和分部積分法,23,解:,說(shuō)明: 此題若先求出,再求積分反而復(fù)雜.,抽象函數(shù)的積分,練習(xí)一下,24,求,練習(xí)一下,答案見(jiàn) 例題4和6。,25,小 結(jié),兩條經(jīng)驗(yàn),1）分部積分法的四種情況,2）多種積分方法的綜合使用,2）遇到抽象函數(shù)的積分要靈活,1）分部積分法的關(guān)鍵是選取合適的助手，即選擇合適的 。,26,
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