《向量及其運(yùn)算》PPT課件

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1、向量及其運(yùn)算,向量的定義 定義1.1 既有大小又有方向的量稱為向量. 若 是空間中兩點(diǎn),從 到 的有向線段即向量 ,表示了它們之間的差異. 一般地,常用黑體的小寫字母 來表示向量,用 表示向量的大小.,,B,A,,C,D,1.1.2 向量的運(yùn)算 定義1.2 若 則向量 稱為與 的和(見下圖),記為 ,即 規(guī)定兩個(gè)向量 與 的差,,,,C,A,B,向量加法的運(yùn)算規(guī)律: (1)結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c); (2)交換律 a+b=b+a; (3)a+0=0+a=a,a+(-a)=(-a)+a=0. 向量加法的平行四邊形法則.,,,,,,D

2、,C,A,B,定義1.3 設(shè) 是任給的一個(gè)非零向量,若 是一個(gè)正實(shí)數(shù),定義 為一個(gè)與 方向相同,大小是 的 倍的一個(gè)向量;若 是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù),定義 為一個(gè)與 方向相反,大小是 的 倍的一個(gè)向量;稱 為向量 與數(shù) 的乘積. 向量與數(shù)量的乘法規(guī)律: (1) 結(jié)合律 ; (2) 分配律 ;,規(guī)定:常用 來表示向量 與 之間的夾角,它介于 和 之間. 定義1.4 向量 與 之間的內(nèi)積定義為 這樣定義的內(nèi)積是一個(gè)實(shí)數(shù),具有如下性質(zhì): (1)正定性 , 并且 當(dāng)且僅當(dāng) (2)對(duì)稱性,(3)結(jié)合律 證明:下面只證(3),若 ,則 同理 若 ，則 同理 若 ，則,定義1.5 設(shè) 與 為兩個(gè)向量，則 與 的向量積是一個(gè)向量，記為 大小定義為 方向按 滿足右手法則確定，并且 垂直于 與 （見下圖）,,,,,外積運(yùn)算的性質(zhì)： （1）分配律 ； （2）反交換律 ； （3）與數(shù)乘的結(jié)合律 ； （4）非零向量 與 平行的充要條件為,