自伴邊值問題4學時.ppt

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1、自伴邊值問題 目錄 2.1 邊值問題 2.2 Sturn-Lieuville邊值問題 2.3 Posson邊值問題 2.4 Helmholtz邊值問題 2.5 Fredholm邊值問題 2.1 邊值問題 邊值問題是描述物理量隨 空間 和 時間 的變化 規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取 決于物理量的 控制方程 、 初始值 與 邊界值 ，這些 初始值和邊界值分別稱為 初始條件 和 邊界條件 ， 兩者又統(tǒng)稱為該方程的 定解條件 。根據(jù)給定的邊 界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的 邊值 問題 。 已知場域邊界 上各點值 自然 邊界條件 參考點電位

2、 有限值 rrlim 邊值問題 微分方程 邊界條件 場域 邊界條件 分界面 銜接條件 第一類 邊界條件 第二類 邊界條件 第三類 邊界條件 已知場域邊界 上各點的法向?qū)?shù) 一、二類邊界 條件的線性組 合， nn 2 2 1 1 21 馬氏方程或波動方程 通常給定的邊界條件有三種類型： 第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值， 這種邊值問題又稱為 諾依曼 問題。 第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一 部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為 混 合 邊界條件。 第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種

3、邊值 問題又稱為 狄利克雷 問題。 對于任何數(shù)學物理方程需要研究解的存在 、 穩(wěn)定及惟一性問題 。 由于實際中定解條件是由實驗得到的 ， 不可能取得精確的 真值 ， 因此 ， 解的穩(wěn)定性具有重要的實際意義 。 解的 惟一性 是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一 。 解的 穩(wěn)定性 是指當定解條件發(fā)生微小變化時 ， 所求得的解 是否會發(fā)生很大的變化 。 解的 存在 是指在給定的定解條件下 ， 方程是否有解 。 場是客觀存在的 ， 因此 Maxwell方程解的存在確信無疑 。 邊值問題的求解 分離變量法 行波法等 保角變換法 0 ( , , , , )

4、 0 0 0 0 ( , , , 0 ) Sv S v S v F U x y z t UU UU nn U x y z U 控制方 程 其次邊 界條件 初始條 件 2.2 Sturn-Lieuville邊值問題 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 , ( ) 0 , dd p x q x U x f x dx dx d Ux dx d Ux dx 不同時為零 不同時為零 控制方 程 邊界條 件 f(x) 已知，成為 確定性邊值問題 ， 當 f(x)=kr(x)U(

5、x)， 其中 r(x)已知， U（?。┪粗?稱為 廣義特征值問題 ， 當 r(x)==1時退化為 一般特 征值問題 ( ) ( )ddp x q xd x d x A ( ) ( )U x f xA 1. A 是線性連續(xù)算子 2. A 是對稱算子 3. A 自伴算子 4. 滿足一定條件后，可以是正定算子 2.3 Posson邊值問題 2 2 () ( ) 0d U x fx dx 當上式中的 p(x)=0, q(x)=0時， 方程退化為 Poisson方程 一般情況下 222 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) d U x d U x d

6、 U x fx dx dy dy that is U x f x 同樣可以證明， Poisson方程也是 線性 、 連續(xù)、對稱、自伴算子 ,滿足條件的正定 算子 方程 Helmholtz邊值問題 2 2 2 () ( ) ( ) 0d U x k U x f x dx 當上式中的 p(x)=0, q(x)=k2時， 方程退化為一維 Helmholtz方程 222 2 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) d U x d U x d U x k U x f x dx dy dy that is U x k U x f x

7、 仍然是線性連續(xù)算子， 當 k2 0時是下有界算子，所以仍然是自伴邊值問題 1-D 2-D 3-D 22( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0bb k u r n u r j n u r 矢量場 矢量邊 界條件 可以證明，也是 Lagrange意義下的 自伴算子 ,而且正定 格林定理 設任意兩個標量場 及 ，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)， 如下圖示。 S V , ne 那么 ， 可以證明該兩個標量場 及 滿足下列等式 SV SnV 2 dd)( 式中 S 為包圍 V 的閉合曲面， 為標量 場

8、在 S 表面的外法線 en 方向上的偏 導數(shù)。 n 略 ddVSVS AA 2 2.5 Fredholm邊值問題 根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成 SV V 2 d)(d)( S 上兩式稱為 標量第一格林定理 。 SV SnnV 22 dd)( SV V 22 d d)( S 基于上式還可獲得下列兩式： 上兩式稱為 標量第二格林定理 。 設任意兩個矢量場 P 與 Q ， 若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù) ， 那么 ， 可以證明該矢量場 P 及 Q 滿足下列等式 SV V d d)()(

9、 SQPQPQP 式中 S 為包圍 V 的閉合曲面，面元 dS 的方向為 S 的外法線方向，上式稱 為 矢量第一格林定理 。 基于上式還可獲得下式： SV V dd()( SPQQPQPPQ 此式稱為 矢量第二格林定理 。 無論何種格林定理 ， 都是說明 區(qū)域 V 中的場與 邊界 S 上的場之間的 關(guān)系 。 因此 ， 利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?的求解問題 。 此外，格林定理說明了 兩種 標量場或矢量場之間應該滿足的關(guān)系。 因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種 場的分布特性。 格林定理廣泛地用于電磁理論。 矩

10、量法的基礎(chǔ) 以上均是已知電磁場源分布，求解場的邊值問題 當需要求解源的分布問題，就必須求解 Fredholm 邊值問題 ( | ) ( ) ( ) v G r r U r d v f r 該算子方程具有 Lagrange意義下的自伴特 性，而且一定是正定的 一、 確定性問題 二、 標量特征值問題 ( | ) ( ) ( ) v G r r U r d v U r 該算子方程具有 Lagrange意義下的自伴特 性，而且一定是正定的 三、 矢量特征值問題 ( | ) ( ) ( ) v G r r U r dv U r 該算子方程具有 Lagrange意義下

11、的自伴特 性，而且一定是正定的 并矢格 林函數(shù) 并矢格林函數(shù) Green function= linear mapping from scalar source to scalar field or scalar potential Dyadic Green function=linear mapping from vector source to vector field ( | ) ( ) ( ) v x x x y x z y x y y y z z x z y z z G r r J r d v H r G G G G G G G G G G x x

12、 x y x z y x y y y z zx zy zz x x x x y y x z z y x x y y y y z z zx x zy y zz z G G G G G G G G G G G J G J G J H G J G J G J G J G J G J G J 表示在一般情況下，磁場某一個方向分量的大小與電 源三個方向的大小都有關(guān) 線性 連續(xù) 對稱 自伴 正定 S-L方程 Poisson方程 Helmholtz 標量定解問題 Helmholtz 矢量定解問題 Helmholtz 標量特征值問題 Helmholtz 矢量特征值問題 Fredholm標量確定性問題 Fredholm標量特征值問題 Fredholm矢量特征值問題