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1、數(shù)學(xué) 專題十二 二次函數(shù)的幾何意義 四川專用 【例 1 】 ( 導(dǎo)學(xué)號 1 4 9 5 2 2 3 5 )( 2 0 1 6 內(nèi)江 ) 已知拋物線 C ： y x 2 3x m ， 直線 l ： y k x (k 0) ， 當(dāng) k 1 時 ， 拋物線 C 與直 線 l 只有一個公 共點 (1 ) 求 m 的值； (2 ) 若直線 l 與拋物線 C 交于不同的兩點 A ， B ， 直線 l 與直線 l 1 ： y 3x b 交于點 P ， 且 1 OA 1 OB 2 OP ， 求 b 的值； (3 ) 在 ( 2 ) 的條件下 ， 設(shè)直線 l 1 與 y 軸交于
2、點 Q ， 問：是否在實數(shù) k 使 S A P Q S B P Q ？若存在 ， 求 k 的值 ， 若不存在 ， 請說明理由 分析： ( 1 ) 兩圖象有一個交點 ， 則對應(yīng)的方程組有一組解 ， 即聯(lián)立后的 方程 0 ， 代入計算即可求出 m 的值 ； ( 2) 作出輔助線 ， 得到 OAC O PD ， OP OA OP OB 2 ， 所以 PD AC PD BE 2 ， 由 AC ， BE 是 x 2 (k 3 )x 4 0 的兩根 ， 即可求得 b ； ( 3 ) 由 S A P Q S B P Q 得到 AC BE 2 PD ， 建立方程 (
3、k 3) 2 16 即可 解： (1 ) 當(dāng) k 1 時 ， 拋物線 C 與直線 l 只有一個公共點 ， 直線 l 解析式 為 y x ， y x 2 3x m ， y x ， x 2 3x m x ， x 2 4x m 0 ， 16 4m 0 ， m 4 ( 2 ) 如圖 ， 分別過點 A ， P ， B 作 y 軸的垂線 ， 垂足依次為 C ， D ， E ， 則 OAC O PD ， OP OA PD AC . 同理 ， OP OB PD BE . 1 OA 1 OB 2 OP ， OP OA OP O
4、B 2. PD AC PD BE 2. 1 AC 1 BE 2 PD ， 即 AC BE A C BE 2 PD . 解方程組 y kx ， y 3x b ， 得 x b k 3 ， 即 PD b k 3 . 由方程組 y kx ， y x 2 3x 4 消去 y ， 得 x 2 (k 3 )x 4 0. AC ， BE 是以上一元二次方程的兩根 ， AC BE k 3 ， AC BE 4. k 3 4 2 k 3 b . 解得 b 8 (3 ) 不存在理由如下：假設(shè)存在 ， 當(dāng) S A P Q S B
5、 P Q 時 ， 有 AP PB ， 于是 PD AC BE PD ， 即 AC BE 2P D . 由 ( 2 ) 可知 AC BE k 3 ， PD 8 k 3 ， k 3 2 8 k 3 ， 即 (k 3) 2 1 6 . 解得 k 1( 舍去 k 7) 當(dāng) k 1 時 ， A ， B 兩點重合 ， BQ A 不存在 【 例 2】 (導(dǎo)學(xué)號 14952236)(2016眉山 )已知如圖 ， 在平面直角坐標(biāo) 系 xOy中 ， 點 A， B， C分別為坐標(biāo)軸上的三個點 ， 且 OA 1， OB 3， OC 4. (1)求經(jīng)過 A， B， C三
6、點的拋物線的解析式； (2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中是否存在一點 P， 使得以點 A， B， C， P為 頂點的四邊形為菱形？若存在 ， 求出點 P的坐標(biāo)；若不存在 ， 請說明理由 ； (3)若點 M為該拋物線上一動點 ， 在 (2)的條件下 ， 請求出當(dāng) |PM AM| 取最大值時點 M的坐標(biāo) ， 并直接寫出 |PM AM|的最大值 分析： (1)設(shè)拋物線的解析式為 y ax2 bx c， 把 A， B， C三點坐標(biāo)代入求 出 a， b， c的值 ， 即可確定出所求拋物線解析式 ； (2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中存在一點 P， 使得以點 A， B， C， P為頂點的四邊形為菱形
7、， 理由 ： 根據(jù) OA， OB， OC的長 ， 利用勾股定理求出 BC與 AC的長相等 ， 只有當(dāng) BP與 AC 平行且相等時 ， 四邊形 ACBP為菱形 ， 可得出 BP的長 ， 由 OB的長確定出 P的 縱坐標(biāo) ， 確定出點 P的坐標(biāo) ， 當(dāng)點 P在第二 、 三象限時 ， 以點 A， B， C， P為 頂點的四邊形只能是平行四邊形 ， 不是菱形 ； (3)利用待定系數(shù)法確定出直線 PA解析式 ， 當(dāng)點 M與點 P， A不在同一直線上時 ， 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系 |PM AM| PA， 當(dāng)點 M與點 P， A在同一直線上時 ， |PM AM| PA， 故當(dāng)點 M 與點 P， A在同一直線
8、上時 ， |PM AM|的值最大 ， 即點 M為直線 PA與拋物線 的交點 ， 聯(lián)立直線 AP與拋物線解析式 ， 求出當(dāng) |PM AM|取最大值時 M的坐 標(biāo) ， 確定出 |PM AM|的最大值即可 解： (1 )y 3 4 x 2 9 4 x 3 (2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中存在一點 P，使得以點 A， B， C， P為頂點 的四邊形為菱形，理由： OB 3， OC 4， OA 1， BC AC 5， 當(dāng) BP平行且等于 AC時，四邊形 ACBP為菱形， BP AC 5，且點 P到 x軸的距離等于 OB， 點 P的坐標(biāo)為 (5， 3)，當(dāng)點 P在第二、三象限時，
9、以點 A， B， C， P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，則當(dāng) 點 P的坐標(biāo)為 (5， 3)時，以點 A， B， C， P為頂點的四邊形為菱形 ( 3 ) 設(shè)直線 PA 的解析式為 y kx b ( k 0 )， A ( 1 ， 0 )， P ( 5 ， 3 )， 5k b 3 ， k b 0 ， 解得 k 3 4 ， b 3 4 ， 直線 PA 的解析式為 y 3 4 x 3 4 ， 當(dāng)點 M 與 點 P ， A 不在同一直線上時 ， 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系 | PM A M| PA ， 當(dāng) 點 M 與點 P ， A 在同一直線上時
10、， | PM A M| PA ， 當(dāng)點 M 與點 P ， A 在同一直線上 時 ， | PM A M| 的值最大 ， 即點 M 為直線 PA 與拋物線的 交點 ， 解方程組 y 3 4 x 3 4 ， y 3 4 x 2 9 4 x 3 ， 得 x 1 1 ， y 1 0 ， 或 x 2 5 ， y 2 9 2 . 點 M 的 坐標(biāo)為 ( 1 ， 0 ) 或 ( 5 ， 9 2 ) 時 ， | PM A M| 的值最大 ， 此時 | P M A M| 的最 大值為 5 【例 3 】 ( 導(dǎo)學(xué)號 1 4 9 5 2 2 3 7 )(
11、 2 0 1 6 南充 ) 如圖 ， 拋物線與 x 軸交于點 A( 5 ， 0 ) 和點 B( 3 ， 0 ) 與 y 軸交于點 C(0 ， 5 ) 有一寬度為 1 ， 長度足 夠的矩形 ( 陰影部分 ) 沿 x 軸方向平移 ， 與 y 軸平行的一組對邊交拋物線 于點 P 和 Q ， 交直線 AC 于點 M 和 N. 交 x 軸 于點 E 和 F. (1 ) 求拋物線的解析式； (2 ) 當(dāng)點 M 和 N 都在線段 AC 上時 ， 連接 MF ， 如果 s i n A M F 10 10 ， 求點 Q 的坐標(biāo)； (3 ) 在矩形的平移過程中 ， 當(dāng)以點 P ， Q ， M ， N
12、 為頂點的四邊形是 平行四邊形時 ， 求點 M 的坐標(biāo) 分析： ( 1 ) 設(shè)拋物線為 y a ( x 5 )( x 3 ) ， 把點 ( 0 ， 5 ) 代入即可解決問 題 ； ( 2 ) 作 FG AC 于 G ， 設(shè)點 F 坐標(biāo) ( m ， 0 ) ， 根據(jù) s i n A MF FG FM 10 10 ， 列出方程即可解決問題 ； ( 3 ) 當(dāng) MN 是對角線時 ， 設(shè)點 F ( m ， 0 ) ， 由 QN PM ， 列出方程即可解決問題 當(dāng) MN 為邊時 ， MN PQ 2 ， 設(shè)點 Q ( m ， 1 3 m 2 2 3 m 5 ) ， 則點
13、P ( m 1 ， 1 3 m 2 2 3 m 6 ) ， 代入拋物線解析 式 ， 解方程即可 解： (1 ) 拋物線與 x 軸交于點 A( 5 ， 0 ) ， B (3 ， 0 )， 可以假設(shè)拋物線為 y a(x 5 )(x 3) ， 把點 (0 ， 5 ) 代入得到 a 1 3 ， 拋物線的解析式為 y 1 3 x 2 2 3 x 5 ( 2 ) 作 FG AC 于 G ， 設(shè)點 F 坐標(biāo) (m ， 0 ) ， 則 AF m 5 ， AE EM m 6 ， FG 2 2 (m 5) ， FM EF 2 EM 2 1 （ m
14、6 ） 2 ， s i n A M F 10 10 ， FG FM 10 10 ， 2 2 （ m 5 ） 1 （ m 6 ） 2 10 10 ， 整理得到 2m 2 19m 44 0 ， (m 4 )(2 m 1 1 ) 0 ， m 4 或 5 . 5 ( 舍去 )， 點 Q 的坐標(biāo)為 ( 4 ， 7 3 ) (3 ) 當(dāng) MN 是對角線時 ， 設(shè)點 F(m ， 0 ) 直線 AC 解析式為 y x 5 ， 點 N (m ， m 5) ， 點 M(m 1 ， m 6) ， QN PM ， 1 3 m 2 2 3 m 5
15、 m 5 m 6 1 3 (m 1) 2 2 3 (m 1) 5 ， 解得 m 3 6 ， 點 M 坐標(biāo) ( 2 6 ， 3 6 ) 或 ( 2 6 ， 3 6 ) 當(dāng) MN 為邊時 ， MN PQ 2 ， 設(shè)點 Q (m ， 1 3 m 2 2 3 m 5) ， 則點 P(m 1 ， 1 3 m 2 2 3 m 6) ， 1 3 m 2 2 3 m 6 1 3 (m 1) 2 2 3 (m 1) 5 ， 解得 m 3. 點 M 坐標(biāo) ( 2 ， 3 ) ， 綜上所述 ， 以點 P ， Q ， M ， N 為頂點
16、的四邊形是平行 四邊形時 ， 點 M 的坐標(biāo)為 ( 2 ， 3 ) 或 ( 2 6 ， 3 6 ) 或 ( 2 6 ， 3 6 ) 【 例 4】 (導(dǎo)學(xué)號 14952238)(2016攀枝花 )如圖 ， 拋物線 y x2 bx c 與 x軸交于 A， B兩點 ， B點坐標(biāo)為 (3， 0)， 與 y軸交于點 C(0， 3) (1)求拋物線的解析式； (2)點 P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動 ， 當(dāng)四邊形 ABPC的面積最 大時 ， 求點 P的坐標(biāo)和四邊形 ABPC的最大面積； (3)直線 l經(jīng)過 A， C兩點 ， 點 Q在拋物線位于 y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動 ， 直
17、 線 m經(jīng)過點 B和點 Q， 是否存在直線 m， 使得直線 l， m與 x軸圍成的三角形 和直線 l， m與 y軸圍成的三角形相似？若存在 ， 求出直線 m的解析式 ， 若 不存在 ， 請說明理由 分析： (1)由 B， C兩點的坐標(biāo) ， 利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式 ； (2)連接 BC， 則 ABC的面積是不變的 ， 過 P作 PM y軸 ， 交 BC于點 M ， 設(shè)出 P點坐標(biāo) ， 可表示出 PM的長 ， 可知當(dāng) PM取最大值時 PBC的面積 最大 ， 利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得 P點的坐標(biāo)及四邊形 ABPC的最大面積 ； (3)點 Q在拋物線 y軸左側(cè)部分運(yùn)動 ， 分在第二象
18、限和第三象限兩種情況 討論 ， 結(jié)合各角的大小關(guān)系找出兩個相似三角形的另外一對等角 ， 然后 結(jié)合已知條件證明 AOC NOB得到 ON的長 ， 求出 N點坐標(biāo) ， 再利用 B， N兩點的坐標(biāo)即可求得直線 m的解析式 解： ( 1 ) 把 B ， C 兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 9 3b c 0 ， c 3 ， 解得 b 2 ， c 3 ， 拋物線的解析式為 y x 2 2x 3 ( 2 ) 如圖 1 ， 連接 BC ， 過 P 作 PM y 軸 ， 交 BC 于點 M ， 交 x 軸于點 H ， 在 y x 2 2x 3 中 ， 令 y 0
19、 可得 0 x 2 2x 3 ， 解得 x 1 或 x 3 ， A 點坐標(biāo)為 ( 1 ， 0 )， AB 3 ( 1) 4 ， 且 OC 3 ， S A B C 1 2 A B OC 1 2 4 3 6 ， B (3 ， 0 ) ， C (0 ， 3 ) ， 直線 BC 解析式為 y x 3 ， 設(shè) P 點坐標(biāo)為 (x ， x 2 2x 3) ， 則 M 點坐標(biāo)為 (x ， x 3) ， P 點在第四象限 ， PM x 3 (x 2 2x 3) x 2 3x ， S P B C 1 2 PM O H 1 2 P
20、M H B 1 2 PM (O H H B) 1 2 PM O B 3 2 PM ， 當(dāng) PM 有最大值時 ， P BC 的面積 最大 ， 則四邊形 A BPC 的面積最大 ， PM x 2 3x (x 3 2 ) 2 9 4 ， 當(dāng) x 3 2 時 ， PM m a x 9 4 ， 則 S PB C 3 2 9 4 27 8 ， 此時 P 點坐標(biāo)為 ( 3 2 ， 15 4 ) ， S 四邊形 A B P C S A B C S P B C 6 27 8 75 8 ， 即當(dāng) P 點坐標(biāo)為 ( 3 2 ， 15 4 ) 時 ， 四 邊形 A BP C 的面積最大 ， 最大面積為 75 8
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