機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪技術(shù)分析研究設(shè)計(jì)
機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪技術(shù)分析研究設(shè)計(jì),機(jī)械振動(dòng),信號(hào),技術(shù),分析研究,設(shè)計(jì)
機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪技術(shù)分析研究
摘 要
旋轉(zhuǎn)的機(jī)械在其運(yùn)行的過(guò)程中振動(dòng)中包含了很豐富的運(yùn)行狀態(tài)信息，所以對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行診斷監(jiān)測(cè)就顯得十分必要。然而在實(shí)際的獲取信號(hào)過(guò)程中，由于測(cè)試環(huán)境的不同、測(cè)試儀器的不同以及不可預(yù)測(cè)的人為因素等諸多干擾的情況下，被測(cè)信號(hào)往往不僅僅包括有用振動(dòng)信號(hào)還參雜著大量的隨機(jī)的干擾信號(hào)，也就是噪聲。若不對(duì)被測(cè)信號(hào)進(jìn)行一定的降噪處理，之后無(wú)論是提取的特征還是對(duì)數(shù)據(jù)的處理都會(huì)有不可忽略甚至影響研究方向的誤差，這在工程應(yīng)用中顯然是不允許的，所以對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行有效的去降噪處理是一個(gè)迫切需要完成的任務(wù)。機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的降噪技術(shù)分析顯然能為我們解決此類(lèi)問(wèn)題所帶來(lái)的困擾，因?yàn)樗軆艋杉牡恼駝?dòng)信號(hào)，即增大信噪比，進(jìn)而使我們獲得更準(zhǔn)確的振動(dòng)特征參數(shù)等，以便能了解利用或消除振動(dòng)。為消除噪聲從而獲取較為純凈的振動(dòng)信號(hào)所提出了很多方法，有時(shí)頻分析法、傅里葉變換、最優(yōu)估計(jì)法、最優(yōu)濾波法、自適應(yīng)濾波、小波分析和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解等方法。本文首先通過(guò)對(duì)于振動(dòng)信號(hào)降噪的重要性進(jìn)行說(shuō)明后，提出了為什么會(huì)選用濾波器分析、小波分析和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解三種方法的原因并簡(jiǎn)要說(shuō)明了其各自的發(fā)展，進(jìn)而通過(guò)對(duì)濾波器濾波信號(hào)降噪技術(shù)、小濾變換降噪信號(hào)技術(shù)和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解信號(hào)降噪技術(shù)原理的分析研究，根據(jù)其各自降噪機(jī)理和特點(diǎn)利用Matlab 軟件對(duì)簡(jiǎn)單數(shù)字信號(hào)的進(jìn)行模擬降噪過(guò)程來(lái)闡述以上三種方法的實(shí)用性，最后對(duì)一個(gè)通過(guò)壓縮機(jī)信號(hào)的降噪處理來(lái)驗(yàn)證振動(dòng)信號(hào)降噪在實(shí)際工程信號(hào)處理中的應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：振動(dòng)信號(hào)降噪；信噪比；小波降噪；濾波器降噪；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解降噪
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ABSTRACT
In the course of its operation, the vibration of the rotating machine contains a wealth of operational information, so it is necessary to diagnose and monitor the vibration signal . However, in the actual process of signal acquisition, due to different testing environment and testing instruments of different and unpredictable human factors such as interference, the measured signal is often not only includes the useful vibration signal also mixed with random interference signal is a lot of noise. If the measured signal noise reduction processing, after both feature extraction and processing of data will have negligible error and even affect the research direction, which is obviously not allowed in engineering application, so the vibration signal effectively to noise reduction processing is an urgent need to complete the task. Mechanical vibration signal analysis and noise reduction technology can obviously bring us to solve such problems, because it can purify the vibration signal acquisition, which increase the SNR is large enough, then we get the vibration parameters more accurately, so as to understand the use of or eliminate vibration. In order to eliminate the noise and vibration signal acquisition is pure proposed a lot of methods, sometimes frequency analysis, Fu Liye transform, optimal estimation, optimal filtering, adaptive filtering, wavelet analysis and empirical mode decomposition method. This will be through the filter, filter noise reduction technology transform noise reduction technology and EMD denoising technology principle and development and utilization of the Matlab software to simulate the simple digital signal denoising process to illustrate the above three methods practicality, at the end of a compressor by the noise reduction signal to verify the vibration and noise reduction the signal in the signal processing in practical engineering application.
Key words：Vibration signal denoising; signal to noise ratio; wavelet denoising; filter noise reduction; empirical mode decomposition
- II -
目 錄
摘 要 I
ABSTRACT II
1 緒論 1
1.1 論文研究的意義 1
1.2 論文國(guó)內(nèi)外目前的研究成果 2
1.3 論文研究的發(fā)展方向 3
2 濾波器的信號(hào)降噪實(shí)現(xiàn) 5
2.1 噪聲分析 5
2.2 濾波器降噪 6
2.3 FIR 濾波器的信號(hào)降噪模擬 8
2.4 IIR 濾波器的信號(hào)降噪模擬 10
2.5 濾波器的工程信號(hào)降噪實(shí)例 13
3 小波降噪 16
3.1 振動(dòng)信號(hào)降噪的小波分析原理 16
3.2 振動(dòng)信號(hào)降噪的小波包分析原理 19
3.3 小波分析的降噪模擬 20
3.4 閾值選擇對(duì)小波分析影響的降噪模擬 22
3.5 小波包分析的降噪模擬 24
3.6 小波及小波包分析的工程信號(hào)降噪實(shí)例 26
4 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解降噪 28
4.1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解原理 28
4.2 EMD 方法的信號(hào)噪降模擬 31
4.3 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的工程信號(hào)降噪實(shí)例 33
結(jié) 論 35
參 考 文 獻(xiàn) 36
附錄 A 外文資料譯文 38
附錄 B 外文資料原文 46
致 謝 49
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1 緒論
1.1 論文研究的意義
機(jī)械在運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，提取這些包含豐富運(yùn)行狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)有助于我們對(duì)振動(dòng)機(jī)械進(jìn)行監(jiān)測(cè)和診斷[1]。然而在實(shí)際的獲取信號(hào)過(guò)程中，由于被測(cè)的振動(dòng)信號(hào)中不可避免的會(huì)受到大量干擾信號(hào)的的影響。若不對(duì)被測(cè)的受干擾信號(hào)進(jìn)行除噪處理，分離出有用的振動(dòng)信號(hào)，其特征提取和數(shù)據(jù)分析的可信度就不高，故而影響后續(xù)的研究，這在工程應(yīng)用中顯然是不允許的，所以對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行有效的去降噪處理是一個(gè)迫切需要完成的任務(wù)。目前已經(jīng)被提出的降噪方法有時(shí)頻分析法、傅里葉變換、最優(yōu)估計(jì)法、最優(yōu)濾波法、自適應(yīng)濾波、小波分析和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解等方法[2]。
濾波器的信號(hào)降噪分析,能有效的控制噪聲，對(duì)所選用的頻率范圍的幅值及伴隨的特性進(jìn)行平衡,因此濾波器在信號(hào)處理中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。滿(mǎn)足研究條件的振動(dòng)信號(hào)在濾波器中均可以視作無(wú)數(shù)的正弦波疊加而成并且正弦波越多，就能越精確的表示出被測(cè)信號(hào)。這些頻率不同的振動(dòng)信號(hào)組成成分波一般統(tǒng)稱(chēng)之為諧波成分。由于濾波器是根據(jù)信號(hào)的頻率的不同來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行過(guò)濾，所以可以通過(guò)濾波器的這一特性對(duì)已知頻率不同的振動(dòng)信號(hào)和噪聲信號(hào)進(jìn)行分離。
小波分析，利用其時(shí)頻分析能力強(qiáng)，可同時(shí)采用變化的時(shí)頻窗來(lái)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多分辨分析，小波分析還能觀察到信號(hào)的概貌，即能看到信號(hào)細(xì)節(jié)[3]，于是越來(lái)越廣泛的應(yīng)用在了非平穩(wěn)信號(hào)的非平衡信號(hào)的特征提取及信號(hào)處理中。小波分析在非平穩(wěn)信號(hào)處理領(lǐng)域內(nèi)的作用巨大，不同尺度下它的處理過(guò)程不同，使信號(hào)的整體特性和局部特性都能得到較好的反應(yīng)。小波分析的精度可以調(diào)節(jié)，這一性質(zhì)既能使其定位到被測(cè)信號(hào)中的高頻成分也能使其定位到被測(cè)信號(hào)中的低頻成分，它能做到在時(shí)域上的任何位置均有分辨率，這也使小波變換提取的信號(hào)信息更加詳細(xì)，小波分析所用依據(jù)的小波基緊支性會(huì)集中信號(hào)的能量于少數(shù)小波系數(shù)，達(dá)到集中有用信號(hào)的目的，噪聲在經(jīng)過(guò)小波分析后一般都極小，所以小波分析僅需要大致了解信號(hào)的類(lèi)型去套用標(biāo)準(zhǔn)的降噪方法即可，這一簡(jiǎn)單實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)促使小波分析在信號(hào)降噪中得到廣泛應(yīng)用[4]。
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經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的全稱(chēng)是 Empirical Mode Decomposition，簡(jiǎn)稱(chēng) EMD。是近二十年來(lái)新興的信號(hào)處理方法。EMD 方法的自適應(yīng)能力強(qiáng),無(wú)需對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)先分析情況下就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)成分的分離，所以其對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的降噪處理的靈活性相較于其他降噪方法有明顯的優(yōu)勢(shì)。
1.2 論文國(guó)內(nèi)外目前的研究成果
濾波器的研究的重點(diǎn)是:在最優(yōu)情況下如何制造出最合適的濾波器。1940s,現(xiàn)代濾波理論的創(chuàng)使人維納創(chuàng)造了維納濾波器。一，輸入的振動(dòng)信號(hào)是廣義上是平穩(wěn)的；二，輸入的信號(hào)必須已知其統(tǒng)計(jì)特性是維納濾波器必須滿(mǎn)足的兩個(gè)條件。這使維納濾波器不適用于不平穩(wěn)和統(tǒng)計(jì)特性未知的信號(hào)中[6]。60 年代初卡爾曼創(chuàng)立了卡爾曼濾波理論讓濾波器可以用于非平穩(wěn)信號(hào)處理，卡爾曼通過(guò)采用狀態(tài)量模型估計(jì)非平穩(wěn)和多輸入輸出的隨機(jī)信號(hào)。但設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器需預(yù)先知道信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。由于維納濾波和卡爾曼濾波均要已知輸入信號(hào)與噪聲統(tǒng)計(jì)特性的弊端限制了濾波器在信號(hào)處理中應(yīng)用。自適濾波器的出現(xiàn)解決了這一問(wèn)題，它自 1967 被提出后就隨大規(guī)模集成計(jì)算機(jī)和電路技術(shù)的快速發(fā)展而發(fā)展，自適應(yīng)降噪就是其應(yīng)用分支。同時(shí)自適用濾波理論也與優(yōu)化理論、估計(jì)理論與檢測(cè)和信息論等密切相關(guān)。
傳統(tǒng)的信號(hào)分析方法是傅里葉分析，由于它只能將振動(dòng)信號(hào)在頻域內(nèi)展開(kāi)就使其不能了解到振動(dòng)信號(hào)隨時(shí)間的狀態(tài)信息。這雖然在一些情況下是很有必要的，但由于時(shí)域信息對(duì)一些信號(hào)的重要性，人們將傅里葉分析方法的應(yīng)用范圍擴(kuò)大，并提出大量時(shí)頻分析方法。其中有:短時(shí)傅里葉變換、Rand-Wigner、Gabor 等，也包括本次論文重點(diǎn)要重點(diǎn)使用的方法之一：小波變換。
LIN 人等根據(jù)對(duì)含有大量噪聲的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的研究處理過(guò)程中,提出了一種新的以 morlet 小波基為基礎(chǔ)的連續(xù)小波變換的降噪方法，在時(shí)間域內(nèi)連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪方法，實(shí)現(xiàn)了周期性沖擊信號(hào)的提取。陳志新等用復(fù)小波塊閥值降噪法提取弱故障特征信息的方法，取得了不錯(cuò)的效果。N.G.Nikolaou 用小波變換提取故障特征來(lái)對(duì)軸承故障進(jìn)行診斷，效果顯著。何正嘉等在回顧對(duì)振動(dòng)機(jī)械的監(jiān)測(cè)和診斷領(lǐng)域內(nèi)關(guān)于小波技術(shù)的大量研究成果，總結(jié)出了小波降噪技術(shù)技術(shù)在往復(fù)機(jī)械、齒輪和軸承等
機(jī)械工程方面應(yīng)用中所取得的進(jìn)展總結(jié)出許多有價(jià)值的通用性的特點(diǎn)和規(guī)律為一些未知領(lǐng)域提供了先驗(yàn)知識(shí)。
自 1998 年被發(fā)明到現(xiàn)在短短不到 20 年的時(shí)間里，EMD 迅速的發(fā)展成為了一個(gè)被廣泛應(yīng)用的信號(hào)處理方法。國(guó)際上，Huang 等在建立了 HHT 的基本框架上，根據(jù) HHT 的基本原理，發(fā)明了固有模式函數(shù)概念，他在提出 EMD 方法的同時(shí)定義了希爾伯特譜及邊際譜的概念，分析了關(guān)于 EMD 的完備性條件與正交性的相關(guān)問(wèn)題。大量比較和分析 EMD 與小波等的信號(hào)分析的差別，Yang 和 Salvino 將此方法用于設(shè)備的診斷領(lǐng)域[7-9];Rai 等用 EMD 提取軸承振動(dòng)信號(hào)的 IMF，并且結(jié)合 FFT 的技術(shù)提取了 IMF 的頻譜特征并且取得了不錯(cuò)的效果[10]；Fandrin[11-12]與Wu zhaohua[13-14]分別用分?jǐn)?shù)高斯噪聲和白噪聲驗(yàn)證了 EMD 實(shí)質(zhì)上是與小波分解類(lèi)似并具有品質(zhì)因數(shù)的恒定的帶通濾波器, 這為實(shí)現(xiàn)濾波器的 EMD 化設(shè)計(jì)打下了基礎(chǔ)。國(guó)內(nèi)，鐘佑明從理論角度對(duì) HHT 局部乘積定理的認(rèn)證,并在 HHT 提供了的統(tǒng)一理論依據(jù)的基礎(chǔ)上，提出了邊際譜和傅立葉譜之間存在本質(zhì)區(qū)別這一新的觀點(diǎn)[15]。沈國(guó)際提出了 EMD 分解多頻信號(hào)的一個(gè)必要條件，將其用于齒輪箱故障振動(dòng)信號(hào)分離,取得了良好效果[16]。不過(guò)作為一種新興信號(hào)分析方法EMD 方法的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)雖然已經(jīng)在很多領(lǐng)域體取得了成果，但該方法屬于“經(jīng)驗(yàn)性”算
法，所以無(wú)論在理論基礎(chǔ)或者是實(shí)際應(yīng)用中的諸多環(huán)節(jié)依然存在著不足，例如虛假模式、端點(diǎn)效應(yīng)等問(wèn)題，這極大影響了信號(hào)特征的精確性。
1.3 論文研究的發(fā)展方向
近年來(lái)提出了不同尺度的元素級(jí)聯(lián)合而成的的開(kāi)閉與組合的廣義形態(tài)濾波器,這種濾波方式能通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)濾波器由于采用相同尺寸結(jié)構(gòu)元素易造成輸出統(tǒng)計(jì)變形的缺點(diǎn)而改進(jìn)來(lái)實(shí)現(xiàn)振動(dòng)信號(hào)降噪的目的[17]。僅由加減、極大值和極小植運(yùn)算構(gòu)成的廣義形態(tài)濾波器使降噪運(yùn)算即簡(jiǎn)單以高效，應(yīng)用價(jià)值較高。
將小波分析方法和其它如：小波與相關(guān)分析、小波與包絡(luò)譜、小波與獨(dú)立分量分析、小波與奇異值分解等相結(jié)合的特征提取方法，小波結(jié)合支持向量機(jī)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的診斷方法等都得到了研究和應(yīng)用[18]。
經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的研究主要體現(xiàn)在關(guān)于對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)的處理、模態(tài)混疊、停止準(zhǔn)則以及均值曲線(xiàn)擬合這四個(gè)方面 。端點(diǎn)處理是對(duì)信號(hào)篩選過(guò)程中的端點(diǎn)的處理，使端點(diǎn)處的發(fā)
散現(xiàn)象減輕；模態(tài)混疊是時(shí)間尺度的分解與特征模態(tài)函數(shù)的不對(duì)應(yīng)，這會(huì)破壞各個(gè)被分解信號(hào)的所包含的物理意義；停止準(zhǔn)則就是確定經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解篩選過(guò)程的是否停止或繼續(xù)的判斷依據(jù)，以使信號(hào)在滿(mǎn)足指定要求的情況下減少算法的運(yùn)算量和復(fù)雜性；均值曲線(xiàn)擬合是由于上下包絡(luò)線(xiàn)在擬合的過(guò)程中的不準(zhǔn)確所帶來(lái)的“過(guò)沖”和“欠沖”進(jìn)行造成特征模態(tài)的多余或者丟失。EMD 方法也有了和其它信號(hào)處理方法結(jié)合的發(fā)展趨勢(shì)。比如 EMD 與小波、EMD 與 SVM、EMD 與 ICA 以及 EMD 與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法進(jìn)行綜合特征提取與診斷方法。
2 濾波器的信號(hào)降噪實(shí)現(xiàn)
2.1 噪聲分析
2.1.1 機(jī)械振動(dòng)信號(hào)噪聲分析
振動(dòng)的采集是指測(cè)量在選定點(diǎn)上進(jìn)行位移、速度和加速度的加速度的大小。但是由于機(jī)械振動(dòng)信號(hào)采集過(guò)程中由于測(cè)試儀器的精度，測(cè)試環(huán)境和其它一些人為的因素都會(huì)使被測(cè)振動(dòng)信號(hào)與實(shí)際振動(dòng)信號(hào)存在一定的偏差，這些干擾被測(cè)振動(dòng)信號(hào)的偏差就稱(chēng)為“噪聲”。
機(jī)械振動(dòng)信號(hào)通常有許多噪聲源，且一般隨機(jī)性比較強(qiáng),出現(xiàn)的頻域范圍也比較廣泛而不穩(wěn)定,通常噪聲信號(hào)的頻率比機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的頻率高。噪聲信號(hào)的波形一般波動(dòng)大而不線(xiàn)性,因而難以用經(jīng)驗(yàn)來(lái)預(yù)測(cè)。
機(jī)械振動(dòng)信號(hào)噪聲的危害為機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的作用所決定，由于機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的噪聲再利用在現(xiàn)階段較難解決。振動(dòng)信號(hào)的測(cè)量可以實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械故障進(jìn)行分析和運(yùn)行設(shè)備的, 但是夾雜著噪聲的振動(dòng)信號(hào)會(huì)使振動(dòng)信號(hào)的可信賴(lài)程度降低，甚至可能完全使原始的振動(dòng)信號(hào)被淹沒(méi)，這顯然會(huì)影響振動(dòng)信號(hào)的后續(xù)分析，所以信號(hào)的降噪是伴隨振動(dòng)信號(hào)測(cè)量的一個(gè)不可或缺的部分。
3.1.2 機(jī)械振動(dòng)噪聲分析
機(jī)械振動(dòng)噪聲一般分為以下三種：
（1） 機(jī)械性噪聲：由于固體振動(dòng)而產(chǎn)生的如齒輪傳動(dòng)部件、曲柄連桿部件、鏈傳動(dòng)部件、軸承部件、液壓系統(tǒng)部件等多種運(yùn)動(dòng)部件產(chǎn)生的噪聲；
（2） 氣體動(dòng)力性噪聲：由于氣體振動(dòng)而產(chǎn)生，如風(fēng)機(jī)、活塞式發(fā)動(dòng)機(jī)、空壓機(jī)（115dB）等所產(chǎn)生的噪聲，以及因氣流激發(fā)而產(chǎn)生的噪聲，如噴注噪聲、排氣噪聲、卡門(mén)旋渦噪聲；
（3） 電磁性噪聲：因高頻諧磁場(chǎng)的相互作用，引起電磁性振動(dòng)而產(chǎn)的噪聲機(jī)械振動(dòng)降噪的危害主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：
（1） 對(duì)人休心理的危害：噪聲會(huì)擾亂人們的心情，影響人們的正常通話(huà)交流，分散人的注意力而有發(fā)生其它危險(xiǎn)的可能等；
（2） 對(duì)人體生理的影響：強(qiáng)度過(guò)大和時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的噪聲會(huì)干擾人的正常睡眠，使人疲勞，影響人的聽(tīng)力，嚴(yán)重的還會(huì)導(dǎo)致失聰?shù)龋?
（3） 對(duì)生產(chǎn)活動(dòng)是影響：噪聲可能會(huì)影響建筑物，比如強(qiáng)度很大的噪聲會(huì)使玻璃振碎，振動(dòng)噪聲會(huì)干擾信號(hào)的傳遞，不利于對(duì)器械的運(yùn)行狀態(tài)時(shí)行判斷，噪聲疲勞還能導(dǎo)致飛機(jī)失事這樣的嚴(yán)重事故。
2.2 濾波器降噪
2.2.1 濾波器的原理
利用信號(hào)特性的不同來(lái)對(duì)被研究信號(hào)進(jìn)行篩選,從中獲取信噪比高的有用信號(hào)的步驟叫做濾波,以濾波為目的而被使用的的工具統(tǒng)稱(chēng)為濾波器。經(jīng)典的濾波器可以被分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)不同的使用要求,每一種濾波器又根據(jù)所處理信號(hào)在時(shí)間域內(nèi)是否連續(xù)而被分為數(shù)字濾波器和模擬濾波器。模擬濾波器的優(yōu)點(diǎn)在于處理的速度快, 帶寬大同時(shí)不需要 ADC(analog to Digital Converter 模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器) 和 DAC (Digital to Analog Converter 數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換器),但是由于它可重復(fù)性不強(qiáng)及抗干擾能力弱的原因,模擬濾波器在信號(hào)處理中的應(yīng)用受到了限制。而數(shù)字濾波器是利用有限精度算法來(lái)實(shí)現(xiàn)的、將輸入的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為分析所需要的輸出數(shù)字信號(hào)的 LTI 系統(tǒng),其可以通過(guò)硬件和軟件兩個(gè)部分來(lái)實(shí)現(xiàn)。從硬件的角度上看,數(shù)字濾波器可以被表示為數(shù)字加法器、數(shù)字乘法器和數(shù)字延時(shí)單元經(jīng)過(guò)一定運(yùn)算后構(gòu)成的信號(hào)過(guò)濾設(shè)備；而從軟件的角度看,數(shù)字濾波器則是一個(gè)算法或者計(jì)算程序。所以雖然數(shù)字濾波器在硬平臺(tái)(如 DSP 芯片)上運(yùn)行,但濾波器的性能不由硬件決定,它只提供程序運(yùn)行的基礎(chǔ),濾波器的性能是濾波器的數(shù)字系數(shù)和其算法決定的。
數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在理想條件下–也就是其幅值只有在通帶頻域中能完全保
留，而在阻帶頻率中被完全過(guò)濾：
2.1
2.2
2.2.2 FIR 濾波器
FIR 濾波器是限定時(shí)間內(nèi)在原始信號(hào)上加入固定值的脈沖信號(hào)而反饋輸出信號(hào)的一種濾波方式。所以其始終是穩(wěn)定的并能夠用硬件實(shí)現(xiàn),由于 FIR 濾波器非線(xiàn)性相位的特性使其可以用于沒(méi)有明顯相位信息的信號(hào)上,在處理普通的數(shù)字信號(hào)時(shí),使用有限長(zhǎng)的脈沖響應(yīng)單元能使計(jì)算的時(shí)間延遲控制在較小的范圍內(nèi),這是瞬態(tài)信號(hào)處理的關(guān)鍵。窗函數(shù)法是濾波器進(jìn)行信號(hào)濾波最常用的方法。
公式 2.1 與公式 2.2 對(duì)應(yīng)的理想單位脈沖響應(yīng)hd (n) 為：
1
hd (n) =
wc e- jn0we jnw dw = sin(wc (n - n0 ))
ò
-w
2.3 2.3
2p c
p (n - n0 )
從公式中可以看出低通濾波器的單位脈沖響應(yīng) 由無(wú)窮的非因果關(guān)系序列構(gòu)成。當(dāng)把一個(gè)具有物理可實(shí)現(xiàn)意義的 N 層因果關(guān)系的相位線(xiàn)性相關(guān)的濾波器當(dāng)作設(shè)計(jì)目的時(shí), 要使被測(cè)脈沖響應(yīng)hd (n) 被截取成長(zhǎng)度是 N 的一段,將起點(diǎn)的位置取為n = 0 處,其中心位置即為n0 = (N -1) / 2 ，進(jìn)而確保所截取序列對(duì)(N-1)/2 是對(duì)稱(chēng)的。設(shè)截取的偶對(duì)稱(chēng)脈沖響應(yīng)表示為 h(n)，將它作為實(shí)數(shù)濾波器的系數(shù)向量。截取即相當(dāng)于乘以一個(gè)矩形窗：
h(n) = hd (n)RN (n)
2.4
上式中的 RN (n）是寬度不限而長(zhǎng)度為 N 的矩形矩陣,其中心位置與hd (n) 對(duì)準(zhǔn)。實(shí)際
N -1
濾波器系統(tǒng) H(z)是 H (z) = ?h(n)z -n
n=0
用有限長(zhǎng)的序列 h（n)去代替hd (n) ，這顯然會(huì)帶
，
來(lái)誤差,在頻率上的表現(xiàn)就是吉布斯效應(yīng)。這個(gè)效應(yīng)會(huì)使通帶和阻帶內(nèi)有波動(dòng)性，它的產(chǎn)生原因是由于hd (n) 將頻率帶強(qiáng)制分離，因此被叫做截?cái)嘈?yīng)。脈沖響應(yīng)的截?cái)嗍箤?shí)際頻率特性和理想的特性有誤差，這同時(shí)也是濾波器設(shè)計(jì)中主要所關(guān)心和要解決的問(wèn)題， 通過(guò)定量分析后選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)可以盡可能的減少這種截?cái)嘈?yīng)，從而得到特定技術(shù)要求的 FIR 線(xiàn)性相位濾波器。式 2.5 可以表示對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換后再根據(jù)卷積定理后過(guò)程：
H (e jw )= 1 p H (e jq ) A
(e j (w -q ) )dq
2p ò-p d RN
2.5
在進(jìn)行信號(hào)降噪處理過(guò)程中所用函數(shù)fir（1 ）的核心思想是采用窗函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)所需功能的 FIR 濾波器的構(gòu)建。它通過(guò)選擇合適的窗函數(shù)w(n) ，單位沖激響應(yīng)表示為h(n) ,進(jìn)而求解濾波器的系數(shù)b(n) = w(n)h(n) ,其中1 ￡ n ￡ N 。常用的窗函數(shù)包括：
（1） 矩形窗（Rectangular window)；
（2） 漢寧窗（Hanning window)；
（3） 海明窗（Hamming window)；
（4） 布萊克曼窗（Blackman window)。
2.2.3 IIR 濾波器
IIR 濾波器是無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)在原始信號(hào)上持續(xù)的加入固定值的脈沖信號(hào)而反饋輸出信號(hào)的一種濾波方式,其功能實(shí)現(xiàn)的遞推關(guān)系式如式 2.6：
N M
y[n] = -?ak y[n - k] + ?bx x[n - k]
2.6
k =1 k =0
M
?bk z
N
-k
IIR 函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：
H (z) = k =0
2.7 2.7
1 - ? ak k =1
z -k
可以采用相應(yīng)函數(shù)分別來(lái)設(shè)計(jì)巴特沃茲濾波器、切比雪夫 I 型濾波器、切比雪夫Ⅱ 型濾濾器、橢圓數(shù)字濾波器 和遞歸型的數(shù)字濾波器。
功率譜估計(jì)只能通過(guò)一部分已測(cè)得的數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理。它能表達(dá)隨機(jī)信號(hào)在頻域上的統(tǒng)計(jì)特性,并且具有明顯的實(shí)際物理含義,在振動(dòng)信號(hào)的降噪處理過(guò)程中有重要的意義,由于實(shí)際得到的信號(hào)長(zhǎng)度一般都有限,用這種有限長(zhǎng)度信號(hào)所得功率譜僅代表了隨機(jī)信號(hào)真實(shí)功率譜的估計(jì),所以叫做功率譜估計(jì)。經(jīng)典的功率譜估計(jì)方法包括周期圖法、Nuttall 法、Welch 法、Bartlett 法和最大熵譜估計(jì)法等,這些方法均是以傅立葉變換為基礎(chǔ)的。
2.3 FIR 濾波器的信號(hào)降噪模擬
以公式 3.8 為原始信號(hào)來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪模擬處理，原始信號(hào)主要有頻率分別 5Hz、15Hz 和 40Hz 的正弦信號(hào)以及標(biāo)準(zhǔn)方差為 1 的白噪聲信號(hào)。
x = 4 ′sin(2 ′p ′ 5′ t) + sin(2′p ′15′ t) + sin(2′p ′ 40′ t) + randn(size(t))
2.3.1 降噪過(guò)程
（1） 選擇濾波器的階數(shù)為 20 的帶通濾波器，通頻帶是 0.01-20Hz；
（2） 選擇 fir1 函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器；
2.8
（3） filterz() 函數(shù)對(duì)信號(hào)信號(hào)降噪濾波，并將其和原始信號(hào)圖示之；
（4） 對(duì)原始信號(hào)和降噪信號(hào)分別進(jìn)行傅里葉變換并圖示頻率譜。
2.3.2 噪降結(jié)果
如圖 2.1 通過(guò)對(duì)比可以明顯的看出，降噪后的信號(hào)明顯則顯的更加平緩，沒(méi)有了幅值最高的尖點(diǎn)和一些突兀且沒(méi)有規(guī)律的波形；
圖 2.1 FIR 濾波器降噪波形圖
從圖 2.2 中原始信號(hào)和降噪后信號(hào)兩個(gè)頻率譜圖的對(duì)比中可以看出，降噪后的信號(hào)有效的去除了信號(hào)中高頻的部分和隨機(jī)的部分。
圖 2.2 FIR 濾波器降噪頻譜圖
2.3.3 噪降代碼
clc; clear all; close all; fs=100;
t=0:1/fs:1-1/fs;
x=4*sin(2*pi*5*t)+5*sin(2*pi*15*t)+5*sin(2*pi*40*t)+0.5*randn(size(t));
n=20;
Wn=[0.01 20]*2/fs;
b=fir1(n,Wn);
y=filter(b,1,x); figure; subplot(2,1,1);
plot(t,x);
title('原始信號(hào)');
xlabel('時(shí)間t/s');
subplot(2,1,2);
plot(t,y);
title('濾波后的信號(hào)');
xlabel(' 時(shí) 間 t/s'); set(gcf,'position',[200,200,800,300]); figure(2);
subplot(2,1,1); fftx=fft(x); halffftx=abs(fftx(1:50)); df=0:1:50-1;
plot(df,halffftx); subplot(2,1,2); ffty=fft(y); halfffty=abs(ffty(1:50)); df=0:1:50-1;
plot(df,halfffty); set(gcf,'position',[200,200,800,300])
2.4 IIR 濾波器的信號(hào)降噪模擬
為了便于對(duì)比不同濾波器的降噪效果，選取與 FIR 濾波器實(shí)現(xiàn)所用相同的原則信號(hào)進(jìn)行模擬降噪信號(hào)，信號(hào)由式 2.8 給出。
2.4.1 模擬降噪過(guò)程
（1) 確定濾波器的通帶頻率和阻帶頻率；
（2) 通過(guò) cheb1od 函數(shù)來(lái)確定 1 型切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)；
（3) 函數(shù) cheby1 函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器；
（4) 使用函數(shù) filter 對(duì) cheby1 設(shè)計(jì)好的濾波器進(jìn)行降噪并將其結(jié)果與原始信號(hào)圖示之；
（5) 分別對(duì)原始信號(hào)和降噪后的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，用頻率譜圖示之；
2.4.2 降噪結(jié)果
圖 2.3 IIF 濾波器(Ⅰ型切比雪夫?yàn)V波器）降噪波形圖
圖 2.3 所示與 FIR 濾波器的效果類(lèi)似，I 型切比雪夫?yàn)V波器也過(guò)濾了大量無(wú)規(guī)律的白噪聲及高頻信號(hào)，這從圖中每個(gè)周期內(nèi)僅有兩個(gè)波峰和兩個(gè)波谷，而且沒(méi)有了最鋒利的波形可以看出。
圖 2.4 IIF 濾波器(Ⅰ型切比雪夫?yàn)V波器）降噪頻譜圖
從圖 2.4 中降噪前后頻率譜圖能看出明顯的降噪效果，降噪前的信號(hào)在 5Hz、15Hz、40Hz 都比較集中，且從 0 到 50Hz 的采樣頻率范圍內(nèi)也一直存在，這顯然會(huì)影響對(duì)真實(shí)的振動(dòng)信號(hào)的處理和分析，經(jīng)過(guò)降噪后的信號(hào)明顯便加集中在了 5Hz 及 15Hz 的部分。
2.4.3 降噪代碼
clc; clear all; fs=100;
t=0:1/fs:1-1/fs; x=4*sin(2*pi*5*t)+5*sin(2*pi*15*t)+5*sin(2*pi*40*t)+0.5*randn(size(t)); Wp=20*2/fs;
Ws=25*2/fs; Rp=1; Rs=50;
[n,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs);
[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn); y=filter(b,a,x);
figure; subplot(211); plot(t,x);
title('原始信號(hào)'); subplot(212); plot(t,y);
title(' 濾 波 后 的 信 號(hào) '); set(gcf,'position',[200,200,800,300]); figure;
subplot(211); fftx=fft(x); halffftx=abs(fftx(1:50)); df=0:1:50-1;
plot(df,halffftx); subplot(212);
ffty=fft(y); halfffty=abs(ffty(1:50)); df=0:1:50-1;
plot(df,halfffty); set(gcf,'position',[200,200,800,300])
對(duì)同一信號(hào)采用不同的濾波器的降噪實(shí)例中可以看出不同濾波器在MATLAB中的的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程和降噪效果。實(shí)現(xiàn)相同性能指標(biāo)的信號(hào)降噪濾波器時(shí)，由于IIR濾波器的線(xiàn)性相位不相關(guān)，但FIR濾波器的階數(shù)比IIR濾波器的階數(shù)高5到10倍，這會(huì)導(dǎo)致它的成本高、信號(hào)時(shí)延大若要求線(xiàn)性相位，IIR濾波器則要加全通網(wǎng)絡(luò)來(lái)校正相位，這也會(huì)很大的提高其階數(shù)。而此時(shí)的IIR濾波器則可以得到嚴(yán)格的線(xiàn)性相位。
另外，IIR模擬濾波器這一本質(zhì)是其無(wú)法避開(kāi)的不足；而FIR濾波器的使用則靈活很多而且還可以用于一些IIR濾波器中切比雪夫等逼近不能設(shè)計(jì)出指定標(biāo)準(zhǔn)的情況。因此在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中要考慮的因素很多。若在相位要求不高的情況下IIR濾波運(yùn)算量小、速度快且成本低的優(yōu)點(diǎn)就得以發(fā)揮；而對(duì)線(xiàn)性相位要求較高的場(chǎng)合，F(xiàn)IR濾波器更加合適。機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的處理中，因其對(duì)信號(hào)的的相位要求不高，所以IIR是較為合理的選擇。
2.5 濾波器的工程信號(hào)降噪實(shí)例
三種降噪方法均采用同一個(gè)壓縮機(jī)泄漏故障的信號(hào)進(jìn)行降噪處理，以下的工程信號(hào)降噪均默認(rèn)此條件。
2.5.1 FIR濾波器的降噪應(yīng)用實(shí)例
圖 2.5 和圖 2.6 是原始的壓縮機(jī)信號(hào)和經(jīng)過(guò) FIR 濾波器降噪后的壓縮機(jī)信號(hào)的時(shí)域?qū)Ρ葓D，本此降噪選擇對(duì)信號(hào)大于 2000Hz 頻率的部分進(jìn)行降噪，圖 2.5 可以明顯看出其波形的幅值的變化，一些鋒利的尖點(diǎn)明顯的減少或消失了。圖 2.6 以 0~5000Hz 為例來(lái)分析降噪效果能看出能看出信號(hào)的降噪的主要在 2000 到 3000Hz，尤其是 2500 到3000Hz 信號(hào)幾乎全部被消除，它基本實(shí)現(xiàn)了 FIR 濾波器的降噪目的。
圖 2.5 FIR 濾波器的工程信號(hào)降噪時(shí)域圖
圖 2.6 FIR 濾波器的工程信號(hào)降噪頻域圖
2.5.2 IIR 濾波器的降噪應(yīng)用實(shí)例
同樣對(duì)高于 2000Hz 的噪聲信號(hào)進(jìn)行去噪處理時(shí)，圖 2.7 與圖 2.8 的波形與頻譜圖和FIR 濾波器的降噪時(shí)頻圖類(lèi)似。頻譜圖以 0~5000Hz 為例進(jìn)行降噪效果分析，IIR 濾波器的降噪也主要體現(xiàn)在 2000 到 3000Hz 上，這符合預(yù)期降噪結(jié)果。IIR 濾波器降噪和 FIR 濾波器降噪的差異在本例中差別不是很大，也驗(yàn)證了 FIR 濾波器和 IIR 濾波器在對(duì)相位信息不敏感的信號(hào)的處理可以達(dá)到類(lèi)似效果的結(jié)論，但是 FIR 濾波器的層數(shù)更高，程序的運(yùn)行次數(shù)也更大。
圖 2.7 IIR 濾波器的工程信號(hào)降噪時(shí)域圖
圖 2.8 IIR 濾波器的工程信號(hào)降噪時(shí)域圖
3 小波降噪
3.1 振動(dòng)信號(hào)降噪的小波分析原理
頻域譜分析是一種以確定各頻率段信號(hào)的強(qiáng)弱為目的的定量分析方法；時(shí)域分析也廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)。但大多數(shù)時(shí)候,僅僅使用時(shí)域或頻域分析在振動(dòng)信號(hào)處理過(guò)程中都是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?于是一種即能進(jìn)行時(shí)域分析又能進(jìn)行頻域分析的方法就迫切的需要被提出,而小波分析剛好可以實(shí)現(xiàn)這樣的要求。
FFT 是傅里葉變換中最先被使用來(lái)加入時(shí)域信息的時(shí)頻分析方法,它的前提是需要假設(shè)在很短的時(shí)間窗內(nèi)的信號(hào)是平穩(wěn)且連續(xù)的,通過(guò)分隔時(shí)間窗的方法進(jìn)行頻域分析的過(guò)程進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)局部時(shí)間的頻域信息的獲取。但由于時(shí)間窗的大小不可改變,這對(duì)瞬態(tài)信號(hào)的分析來(lái)說(shuō)還顯的力不從心。相較于短時(shí)傅立葉變換不能改變時(shí)間窗大小的缺點(diǎn), 小波變換的時(shí)間窗可以根據(jù)處理信號(hào)的不同甚至信號(hào)所包含成分的不同進(jìn)行改變,當(dāng)信號(hào)不穩(wěn)定時(shí),就選用較小的時(shí)間窗來(lái)達(dá)到精確分解信號(hào)的目的,當(dāng)信號(hào)較穩(wěn)定時(shí),選用較大的時(shí)間窗來(lái)減小運(yùn)算量從來(lái)減小程序的復(fù)雜性和冗余性,由于具備這樣的優(yōu)勢(shì)使得小波換在信號(hào)的降噪處理中取得了不小的成果。
由于小波分析在時(shí)域窗和頻域窗所具有靈活性使小波分析在信號(hào)降噪的應(yīng)用中也有了很多分支,不過(guò)都有三個(gè)必要的步驟[19]：
（1） 把信號(hào)分解到小波域；
振動(dòng)信號(hào)首先應(yīng)該進(jìn)行信號(hào)分解,可用于分解信號(hào)的小波變換方法有連續(xù)小波變換、離散小波變換、多分辨率分析及 Mallat 算法等。
連續(xù)小波變換(CWT)定義是信號(hào)乘以小波函數(shù)的尺度與位移在所有時(shí)間之和,表示為式 3.1 [20]：
C(scale, position) =
+￥
ò f (t)Y(scale, position)dt
-￥
3.1
經(jīng)過(guò) CWT 的輸出量的是關(guān)于時(shí)移和尺度函數(shù)的小波系數(shù)，這些小波系數(shù)可以作用在合適的位移和尺度上，從而得到振動(dòng)信號(hào)的小波。
離散小波變換：為了避免在所有尺度上都要求進(jìn)行大量的小濾系數(shù)計(jì)算，只考慮部分尺度和時(shí)移來(lái)計(jì)算是很有意義的。在此背景下，二進(jìn)尺度和位移就可以使信號(hào)分析既十分有效又相當(dāng)精確，即 DWT。對(duì)于多數(shù)的振動(dòng)信號(hào)，低頻成分常常蘊(yùn)含信號(hào)的特征， 而高頻成分則表征了信號(hào)的細(xì)節(jié)差別。小波分析常用到近似和細(xì)節(jié)。近似能表示信號(hào)的大尺度，即低頻成分；而細(xì)節(jié)則表示信號(hào)的小尺度，即高頻成分，所以原始振動(dòng)信號(hào)可以用兩個(gè)互補(bǔ)濾波器產(chǎn)生兩個(gè)信號(hào)。其一階濾波可簡(jiǎn)要表示如下圖 3.1:
圖 3.1 信號(hào)一階濾波示意圖
對(duì)一個(gè)振動(dòng)信號(hào)采用上圖 3.1 所示的濾波方法后，理論上會(huì)產(chǎn)生兩倍于原始信號(hào)的數(shù)據(jù)，可以在整個(gè)采樣范圍內(nèi)僅在固定間隔內(nèi)采集數(shù)據(jù)減少采集的數(shù)據(jù)量即通過(guò)計(jì)算DWT 來(lái)獲得原始信號(hào)的細(xì)節(jié)和近似。
根據(jù)要求對(duì)所采集的近似振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行連續(xù)分解能使信號(hào)在多個(gè)頻率段內(nèi)被分析。圖 3.2 的小波樹(shù)分解比較清晰的展示了小波分解的過(guò)程。圖中 S 表示原始信號(hào) signal,A 表示信號(hào)近似 approximate ,D 表示信號(hào)細(xì)節(jié) detail, 而下標(biāo)則代表信號(hào)的小波分解層數(shù)。
圖 3.2 小波分解樹(shù)示意圖
由于小波分解過(guò)程是不受其頻域和時(shí)域的限制的迭代,所以原則上說(shuō)小波分解次數(shù)也不受限制。但當(dāng)信號(hào)細(xì)節(jié)僅包括單個(gè)成分時(shí)繼續(xù)劃分會(huì)使分解小波失去其物理意義, 所以小波分解一般只根據(jù)對(duì)信號(hào)的研究需求選擇適當(dāng)?shù)姆纸鈱訑?shù)。MATLAB 提供的離散小
波分解函數(shù)主要有:dwt(單層一維小波變換函數(shù))、dwt2(單層二維小波變換)、wavedec (多層一維小波分解函數(shù))、wavedec2(多層二維小波分解函數(shù))、dwtmode(設(shè)置離散小波和小波包變換信號(hào)或圖像擴(kuò)展模式)、dwtper(周期化單層一維離散小波變換)、dwtper2(周期化單層二維離散小波變換)。
（2） 對(duì)小波系數(shù)作用閾值或掩碼；
在實(shí)現(xiàn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的處理過(guò)程中首要任務(wù)就是對(duì)分解后的各個(gè)小波系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)拈撝底饔谩Ｋ哉f(shuō)閾值的合理選擇與振動(dòng)信號(hào)的降噪效果息息相關(guān),這也吸引了大量學(xué)者提出了很多理論和模型，每種模型都有其適應(yīng)范圍。小波變換中,由各層的信噪比來(lái)確定所需的閾值。在確定噪聲的強(qiáng)弱程度后就能根據(jù)各層噪聲強(qiáng)度的不同來(lái)分別得到各層的作用閾值,一般來(lái)說(shuō)根據(jù)噪聲強(qiáng)弱程度的不同而確定閾值的方式有如下三種:
1） 當(dāng)采用缺省方式來(lái)計(jì)算時(shí)采用如下公式：
t h r=
3.2 3.2
這種情況下的閾值能通過(guò) MATLAB 中的 ddencmp 指令來(lái)計(jì)算,其中的n 就是將被分解的振動(dòng)信號(hào)的長(zhǎng)度。
2） 由 Birge-Massart 算法來(lái)求解閾值時(shí)，可按照該步驟實(shí)現(xiàn)：
首先確定一任意分解層數(shù) j，再依據(jù)確定好的分解層數(shù) j 進(jìn)行下一步操作來(lái)保留更高層系數(shù)
再另選一 i 層（1 ￡ i ￡ j ），保存最大值 ni 個(gè)系數(shù)的情況下可用式 3.3 來(lái)計(jì)算：
i
n = M ( j + 2 -1)a
3.3
上式中的參數(shù) M、α 均是均是由以往信息處理所得經(jīng)驗(yàn)而確定的系數(shù)，當(dāng)選取M = L(1) 為首層信號(hào)分解后的小波系數(shù)時(shí)，M 通常滿(mǎn)足 L(1) ￡ M ￡ 2L(1) ，α 的值依具體信號(hào)的特點(diǎn)和要求而定，在對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理時(shí)一般取a = 3 。
3） 由小波包變換來(lái)確定的閾值由公式 3.4 計(jì)算而得，令 t*為使得函數(shù)：
k
crit(t) = -?c2 + 2s 2t(a + log( n / t))
3.4
k ￡t
當(dāng)式 3.4 中選擇最小的 t 值，而ck 表示振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過(guò)小泡包分解后的第 k 大的小波包系數(shù),這種情況下的閾值由公式 3.5 給出：
t h r=| c * |
t 3.5
式 3-11 中的 σ 表示噪聲信號(hào)的強(qiáng)弱程度,α 是依據(jù)信號(hào)降噪經(jīng)驗(yàn)而確定的大于1 系數(shù)且必須為實(shí)數(shù),α 的取值大小對(duì)直接影響降噪信號(hào)經(jīng)小波分解后的系數(shù)緊湊程度,α 越大緊湊程度越低,重構(gòu)之后的降噪信號(hào)曲線(xiàn)也更趨于光滑,α 一般為 2。
通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ǐ@得所求閾值后，一般有兩種方式可用來(lái)處理分解后的小波， 硬閾值和軟閾值。前者的作用方式是把所有絕對(duì)值都不大于的數(shù)值定義為零點(diǎn)閾值；而后者是在前者的條件下把邊界位置的斷點(diǎn)均縮到零，這種閾值的選擇方式能減少信號(hào)在分解過(guò)程中的中斷。
（3） 重建小波系數(shù)，得到處理之后的信號(hào)。
將分解并閾值處理后的信號(hào)在沒(méi)有損失的情況下還原原始信號(hào)的過(guò)程是小波重構(gòu), 這個(gè)步驟也被叫做逆離散小波變換(IDWT)。重構(gòu)過(guò)程通過(guò)小波系數(shù)來(lái)完成。信號(hào)降噪過(guò)程中的小波分解由濾波與下采樣,小波重構(gòu)濾波和上采樣組成。重構(gòu)過(guò)程就是小波分解示意圖的反過(guò)程。
3.2 振動(dòng)信號(hào)降噪的小波包分析原理
小波包分析處理信號(hào)處理含噪信號(hào)時(shí)的基本思路及運(yùn)算過(guò)程與小波分析大體相同, 區(qū)別主體體現(xiàn)在小波包分析能提供更靈活的信號(hào)分解方法。因?yàn)樾〔ò治鲋械男盘?hào)細(xì)節(jié)與信號(hào)近似同樣能再分解,對(duì)于 N 層分解會(huì)產(chǎn)生 2N 個(gè)路徑,這決定了它在每個(gè)頻域段內(nèi)都能獲得比較精確的分析能力,圖 3.3 為小波包分解樹(shù)。
圖 3.3 小波包分解樹(shù)
與小波分解類(lèi)似，可供信號(hào)的處理而使用的小波包基有很多種。小波包基的選擇方式一般依據(jù)所需處理信號(hào)的具體要求而定，其中處理效果最好的小波包基叫做最優(yōu)基。最優(yōu)基是以熵為選擇標(biāo)準(zhǔn)來(lái)確定。使用 MATLAB 進(jìn)行小波包信號(hào)降噪處理時(shí)選取besttree() 函數(shù)來(lái)確定最優(yōu)基進(jìn)，也稱(chēng)作計(jì)算最優(yōu)樹(shù)。小波包在處理含噪聲的振動(dòng)信號(hào)時(shí)通常分為以下四個(gè)步驟：
（1） 信號(hào)的小波包分解；
（2） 確定最優(yōu)小波包基；
（3） 小波包分解系數(shù)的閾值量化；
（4） 信號(hào)的小波包重構(gòu)。
與小波分析的核心相似，小波包分析要解決的核心問(wèn)題也是合理的選取閾值，它一定程度上決定了小波包的振動(dòng)信號(hào)降噪結(jié)果。MATLAB 工具箱中的 wpdencmp()專(zhuān)門(mén)用來(lái)小波包降噪和壓縮處理的函數(shù)。
3.3 小波分析的降噪模擬
對(duì)一個(gè)正弦信號(hào) N = 1000;t = 1: N; x = sin(0.03t) 在包含方差為0.5的白噪聲進(jìn)行降噪處理。
3.3.1 降噪過(guò)程
（1） 按要求生成正弦信號(hào)并用 randa 函數(shù)加入噪聲信號(hào)，把相加結(jié)果放入 ns 中；
（2） 將原始正弦信號(hào)，加噪信號(hào)以樣本點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)，幅值為縱坐標(biāo)分別圖示之；
（3） 將正弦信號(hào)與加噪信號(hào)分析進(jìn)行快速傅里葉變換并取絕對(duì)值從而得出的正弦信號(hào)與加噪信號(hào)的功率譜圖示之；
（4） 用 wden 通過(guò)方法對(duì) ns 一維信號(hào)進(jìn)行小波降噪；使用 db3 型小波，閾值選擇極大極小值閾值選取方法，采用軟閾值的閾值化方法，one 型閾值化分辨率分 5 層對(duì)小波進(jìn)行降噪處理，并將降噪結(jié)果存入 xd。
（5） 分析對(duì)降噪后的信號(hào)和降噪后經(jīng)過(guò)步驟（3）作用的結(jié)果圖示之。
3.3.2 降噪效果
功率譜選擇從 0 到 100 為例如圖 3.4：‘從含噪信號(hào)功率譜’和‘消噪信號(hào)功率譜’ 圖可以直觀的看出降低噪聲之后的信號(hào)更加集中，信號(hào)的能量全都集中在頻率為 5Hz
左右，而含噪信號(hào)則顯的不那么直觀，雖然它在 5Hz 的部分能量也比較集中，但是在更高的頻率下依然有信息，會(huì)造成對(duì)振動(dòng)信號(hào)包含信息的干擾。
從‘含噪信號(hào)’和‘消噪信號(hào)’的對(duì)比中可以后看去噪后的信號(hào)基本上恢復(fù)了原始信號(hào)形狀，除去了噪聲干擾，但與‘原始信號(hào)’存在區(qū)別，這主要是由選取小波的不同和細(xì)節(jié)系數(shù)閾值的選擇相關(guān)。
圖 3.4 含噪正弦信號(hào)降噪效果圖
3.3.3 降噪代碼
N=1000; t=1:N;
x=sin(0.03*t); noise=0.5*randn(1,1000); ns=x+noise; subplot(3,2,1);
plot(t,x);
title('原始信號(hào)');
px=abs(fft(x));
subplot(3,2,2); plot(px);
title('原始信號(hào)功率譜'); subplot(3,2,3);
plot(ns);
title(' 含 噪 信 號(hào) '); pns=abs(fft(ns)); subplot(3,2,4);plot(pns);
title(' 含 噪 信 號(hào) 功 率 譜 '); xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',5,'db3'); subplot(3,2,5);
plot(xd);
title('降噪信號(hào)'); pxd=abs(fft(xd)); subplot(3,2,6); plot(pxd);
title('降噪信號(hào)功率譜')
3.4 閾值選擇對(duì)小波分析影響的降噪模擬
下面通過(guò)一個(gè)實(shí)例說(shuō)明閾值選擇對(duì)信號(hào)的保持及信號(hào)降噪效果的影響[21]：
3.3.1 降噪過(guò)程
（1） 載入matlab系統(tǒng)的的含噪leleccum信號(hào)，取3920個(gè)采樣點(diǎn)，將原始噪聲信號(hào)圖示之；
（2） 對(duì)db1型小波對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行小波分解，分解到分三層，其細(xì)節(jié)系數(shù)和近似系數(shù)分別存入相應(yīng)的ca，cd；
（3） 直接對(duì)分解的信號(hào)進(jìn)行強(qiáng)制重構(gòu)，并將結(jié)果圖示之；
（4） 采用ddncmp函數(shù)獲得信號(hào)的默認(rèn)閾值：‘den’表示降噪，‘wv’表示小波分解，‘s’表示軟閾值的作用方式；并且用wdencmp命令函數(shù)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降噪過(guò)程：‘gbl’表示每層均用同一閾值進(jìn)行處理，‘c,l’表示將要被處理降噪的輸入信號(hào)，‘db1’是選用小波的名稱(chēng)；將降噪結(jié)果存入s2并圖示之；
（5） 采用wthresh命令對(duì)分解細(xì)節(jié)系數(shù)向量作用閾值：‘s’表示軟閾值，并將結(jié)果返回給各細(xì)節(jié)系數(shù)，對(duì)作用閾值后的細(xì)節(jié)系數(shù)和近似系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)并將其降噪結(jié)果圖示之。
3.3.2 降噪結(jié)果
從圖3.5可以看出給定軟閾值消噪對(duì)信號(hào)的保留做的較好，它的閾值一般是由經(jīng)驗(yàn)公式獲得，信號(hào)的有用成分不易丟失，可信度比較高；強(qiáng)制消噪的曲線(xiàn)比較圓滑，但容易丟失有用信號(hào)，這也與作用閾值的原理相符。
圖 3.5 含噪正弦波去降噪結(jié)果
3.3.3 降噪代碼： load leleccum; s=leleccum(1:3920); ls=length(s); subplot(2,2,1); plot(s);
title('原始信號(hào)');grid; [c,l]=wavedec(s,3,'db1');
ca3=appcoef(c,l,'db1',3); cd3=detcoef(c,l,3); cd2=detcoef(c,l,2); cd1=detcoef(c,l,1); cdd3=zeros(1,length(cd3)); cdd2=zeros(1,length(cd2)); cdd1=zeros(1,length(cd1)); c1=[ca3 cdd3 cdd2 cdd1]; s1=waverec(c1,l,'db1');
subplot(2,2,2); plot(s1);
title(' 強(qiáng) 制 消 噪 后 的 信 號(hào) ');grid; [thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',s); s2=wdencmp('gbl',c,l,'db1',3,thr,sorh,keepapp); subplot(2,2,3);
plot(s2);
title('默認(rèn)閾值消噪后的信號(hào)');grid; cd1soft=wthresh(cd1,'s',1.465); cd2soft=wthresh(cd2,'s',1.823); cd3soft=wthresh(cd3,'s',2.768); c2=[ca3 cd3soft cd2soft cd1soft]; s3=waverec(c2,l,'db1');
subplot(2,2,4); plot(s3);
title('給定軟閾值消噪后的信號(hào)');grid
3.5 小波包分析的降噪模擬
用小波包來(lái)分析對(duì)模擬對(duì)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)置的含噪信號(hào)noismima 進(jìn)行去噪處理的過(guò)程。
3.4.1 降噪過(guò)程
（1） 裝載 noismima 原始信號(hào)并圖示之，采用快速傅里葉變換并取絕對(duì)值獲得功率譜并圖示之；
（2） 采用默認(rèn)閾值，wdencmp()函數(shù)進(jìn)行去噪同時(shí)使用全局閾值的選項(xiàng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪處理并圖示之，同（1）中的方法作功率譜圖；
（3） 根據(jù)之前的降噪效果，調(diào)節(jié)閾值的大小先進(jìn)一步進(jìn)行降噪，圖示并作功率譜圖；
3.4.2 降噪效果
從圖 3.6 可以明顯的看出，調(diào)節(jié)閾值后的小波包去噪更好的去除了原始信號(hào)中的噪聲，功率譜圖以 0-500Hz(即一半）的頻率為例說(shuō)明，調(diào)節(jié)閾值后的消噪信號(hào)基本沒(méi)有了高頻部分的干擾，所以其信號(hào)的能量更加集中，從調(diào)節(jié)閾值后的水口信號(hào)圖中也可以體現(xiàn)這一點(diǎn)。
圖 3.6 小波包降噪效果圖
3.4.3 降噪代碼
load noismima; s=noismima(1:1000); figure(1); subplot(3,2,1); plot(s);
xlabel('樣本序號(hào)， n'); ylabel('幅值 A');
title('原始信號(hào)');
px=abs(fft(s));
subplot(3,2,2); plot(px);
[thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp('den','wp',s); [c,treed,perf0,perfl2]= wpdencmp(s,sorh,3,'db2',crit,thr,keepapp); subplot(3,2,3);
plot(c);
xlabel('樣本序號(hào) n');
ylabel('幅值 A');
title('默認(rèn)閾值消噪信號(hào)'); pns=abs(fft(c));
subplot(3,2,4); plot(pns);
thr=thr+15;
[c1,treed,perf0,perfl2]= wpdencmp(s,sorh,3,'db2',crit,thr,keepapp); subplot(3,2,5);
plot(c1);
xlabel('樣本序號(hào) n');
ylabel('幅值 A');
title('調(diào)節(jié)閾值后的消噪信號(hào)'); pxd=abs(fft(c1)); subplot(3,2,6);
plot(pxd);
3.6 小波及小波包分析的工程信號(hào)降噪實(shí)例
3.6.1 小波降噪的應(yīng)用實(shí)例
圖3.7反映了小降噪對(duì)信號(hào)選擇性強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，左面兩圖原始信號(hào)和降噪信號(hào)的的幅值
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