高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第5篇 第4節(jié) 數(shù)列求和課件 理 新人教A版 .ppt

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,第4節(jié) 數(shù)列求和,,基 礎(chǔ) 梳 理,na1,,,,,,,2．倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}滿足與首末兩項等“距離”的兩項的和相等(或等于同一常數(shù))，那么求這個數(shù)列的前n項和，可用倒序相加法． 3．裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．,4．分組求和法 一個數(shù)列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數(shù)列的通項公式組成，求和時可用分組求和法，分別求和而后相加． 5．并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中，若項與項之間能兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用并項法求解．,6．錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的．,1．首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項和S4為( ) A．－15 B．15 C．16 D．－16 答案：B,3．(2014山東省青島市高三期中考試)已知函數(shù)f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( ) A．0 B．100 C．5050 D．10200,答案：C,4．設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝22n－1，令bn＝nan，則數(shù)列{bn}的前n項和Sn為________．,,考 點 突 破,分組轉(zhuǎn)化求和,[思維導(dǎo)引] (1)用an、q表示等式3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，求出q，即可得出{an}的通項公式． (2)先求出{bn}的通項公式，再分組求和． [解] (1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0， ∴3(anq2＋an)－10anq＝0， 即3q2－10q＋3＝0. ∵公比q＞1， ∴q＝3. 又首項a1＝3， ∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n.,即時突破1 (2014包頭模擬)已知數(shù)列{xn}的首項x1＝3，通項xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列．求： (1)p，q的值； (2)數(shù)列{xn}前n項和Sn. 解：(1)由x1＝3， 得2p＋q＝3， 又因為x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 即3＋25p＋5q＝25p＋8q， 解得p＝1，q＝1.,裂項相消法求和,所以Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2， n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n. 綜上，數(shù)列{an}的通項an＝2n.,(2)利用裂項相消法求和時要注意 正負(fù)相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，保留的項有前后對稱的特點，不可漏掉未消去的項，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤．,錯位相減法求和,[思維導(dǎo)引] (1)由4Sn＝(an＋1)2及an＋1＝Sn＋1－Sn可得an＋1與an的關(guān)系，即可證明求解； (2)求出{bn}的通項公式后，利用錯位相減法求和． (1)[證明] 令n＝1,4S1＝4a1＝(a1＋1)2?a1＝1， 由4Sn＝(an＋1)2， 得4Sn＋1＝(an＋1＋1)2， 兩式相減得4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2， 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，,∵an＞0，∴an＋1－an＝2， 則數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列， an＝1＋2(n－1)＝2n－1.,(1)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式． (2)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．,即時突破3 (2014北京市東城區(qū)高三期末)已知{an}為等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn＝2n＋a(n∈N*)． (1)求a的值及數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝2＋a. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1. 因為{an}是等比數(shù)列，a2＝2，公比q＝2. 所以a1＝2＋a＝21－1＝1，即a1＝1，a＝－1. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．,(2)由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·2n－1. 則Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1.① 2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，② ①－②得－Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)·2n＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n ＝1＋4(2n－1－1)－(2n－1)·2n ＝－(2n－3)·2n－3. 所以Tn＝(2n－3)·2n＋3.,特殊數(shù)列{|an|}的求和策略 [典例] (12分)(2013年高考浙江卷，理18，文19)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.,滿分展示：(1)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2， 由a1＝10，{an}為公差為d的等差數(shù)列得，d2－3d－4＝0， 2分 解得d＝－1或d＝4. 3分 所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*).4分,