高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3.5兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課件 .ppt

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第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,【知識(shí)梳理】 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=______________________. (2)C(α+β):cos(α+β)=______________________. (3)S(α+β):sin(α+β)=______________________. (4)S(α-β):sin(α-β)=______________________.,cosαcosβ+sinαsinβ,cosαcosβ-sinαsinβ,sinαcosβ+cosαsinβ,sinαcosβ-cosαsinβ,(5)T(α+β):tan(α+β)=_____________(α,β,α+β≠ +kπ, k∈Z). (6)T(α-β):tan(α-β)= __________(α,β,α-β≠ + kπ,k∈Z).,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin2α=____________. (2)C2α:cos2α=_____________=_________=_________. (3)T2α：tan 2α= _________(α≠± +kπ,k∈Z).,2sinαcosα,cos2α-sin2α,2cos2α-1,1-2sin2α,【考點(diǎn)自測】 1.(思考)給出下列命題： ①兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的; ②存在實(shí)數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立; ③在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定; ④公式tan(α+β)= 可以變形為tan α+tan β =tan(α+β)(1-tan αtan β),且對任意角α,β都成立; ⑤存在實(shí)數(shù)α，使tan 2α=2tan α. 其中正確的是( ) A.①③④ B.①②⑤ C.②③④ D.②③⑤,【解析】選B.①正確.對于任意的實(shí)數(shù)α,β ,兩角和與差的正 弦、余弦公式都成立. ②正確.如取β=0，因?yàn)閟in 0=0, 所以sin(α+0)=sin α=sin α+sin 0. ③錯(cuò)誤.因?yàn)?＜A+B＜π, 所以cos(A+B)＜0,即cos Acos B-sin Asin B＜0. 所以sin Asin B＞cos Acos B. ④錯(cuò)誤.變形可以，但不是對任意角α,β都成立. α,β,α+β≠kπ+ ,k∈Z. ⑤正確.當(dāng)α=kπ(k∈Z)時(shí)，tan 2α=2tan α.,2.計(jì)算sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的結(jié)果等于( ) 【解析】選B.原式=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23° =sin(68°-23°)=sin 45°=,3.下列各式中，值為 的是( ) A．2sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215° C．2sin215°-1 D.sin215°＋cos215° 【解析】選A.2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ cos215°-sin215°＝cos 30°＝ 2sin215°-1＝-cos 30°＝ sin215°+cos215°=1.,4.(2014·寧波模擬)已知銳角α滿足cos 2α=cos( -α)，則 sin 2α等于( ) 【解析】選A.由cos 2α=cos( -α), 得(cos α-sin α)(cos α+sin α)= (cos α+sin α), 由α為銳角知cos α+sin α≠0. 所以cos α-sin α= ，平方得1-sin 2α= 所以sin 2α=,5.計(jì)算： =______. 【解析】 = = 答案：,6.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，則tan 2α=_____. 【解析】因?yàn)?α=(α+β)+(α-β)， 所以tan 2α=tan［(α+β)+(α-β)］ = = 答案：,考點(diǎn)1 三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用 【典例1】(1)計(jì)算： =________. (2)計(jì)算：tan 20°+tan 40°+ tan 20°tan 40°＝____. (3) 的化簡結(jié)果是________．,【解題視點(diǎn)】(1)觀察式子的特點(diǎn)，利用特殊角的三角函數(shù)值，逆用和差角的正切公式求解. (2)所求式子中有兩個(gè)正切的和與積，故可逆用和角的正切公式求解. (3)逆用二倍角公式將根號(hào)內(nèi)配方化簡.,【規(guī)范解答】(1) =tan 45°=1. 答案：1 (2)因?yàn)閠an 60°＝tan(20°+40°) 所以tan 20°+tan 40°＝tan 60°(1-tan 20°tan 40°) 答案：,(3)原式＝ ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|， 因?yàn)?所以cos 40，且sin 4cos 4, 所以原式＝-2cos 4-2(sin 4－cos 4)＝-2sin 4. 答案：-2sin 4,【易錯(cuò)警示】注意角的范圍 本例第(3)題容易忽略討論cos 4的符號(hào)及sin 4與cos 4的大小而直接求解導(dǎo)致錯(cuò)誤，在涉及開方時(shí)，一定要討論被開方數(shù)的符號(hào).,【規(guī)律方法】三種常見公式變形 (1)正切和差角公式變形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1 tan x·tan y). (2)倍角公式變形：降冪公式 (3)升冪變形：,特殊角的三角函數(shù)的逆用 當(dāng)式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，往 往就是“由值變角”的一種提示.可以根據(jù)問題的需要，將常 用三角函數(shù)式表示出來， 構(gòu)成適合公式的形式，從而達(dá)到化 簡的目的.,【變式訓(xùn)練】化簡： =_______. 【解析】 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.化簡 的結(jié)果是( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】選C.原式=,2.(2014·西寧模擬)計(jì)算： =_______. 【解析】 =tan(45°-15°)=tan 30°= 答案：,考點(diǎn)2 給角求值 【典例2】(1)(2013·重慶高考)計(jì)算：4cos 50°－tan 40° =( ) (2)(2014·杭州模擬)計(jì)算： ＝____________．,【解題視點(diǎn)】(1)先切化弦,然后通分化簡求解即可. (2)綜合運(yùn)用二倍角公式，兩角和與差的正余弦公式求解.,【規(guī)范解答】(1)選C. 4cos 50°－tan 40°=4cos 50°-,(2)原式= 答案：,【規(guī)律方法】給角求值應(yīng)注意的三個(gè)問題 (1)變角：分析角之間的差異，巧用誘導(dǎo)公式或拆分. (2)變名：盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱. (3)變式：觀察結(jié)構(gòu)，利用公式，整體化簡. 提醒：“變式”時(shí)常用的方法有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.,【變式訓(xùn)練】(2014·舟山模擬)求值： =________. 【解析】原式= 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.(2014·伊寧模擬)計(jì)算： =_____. 【解析】 答案：2,2.(2014·宜昌模擬)計(jì)算： ＝_________. 【解析】因?yàn)閟in 50°(1+ tan 10°) = = 所以 答案：,考點(diǎn)3 有限制條件的求值、證明問題 【考情】有限制條件的求值問題是高考的熱點(diǎn).在高考中以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，考查誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的靈活應(yīng)用等問題.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例3】(1)(2014·嘉興模擬)已知sin( -x)= ,0＜x＜ ，則 =______. (2)(2013·廣東高考)已知函數(shù)f(x)= x∈R． ①求 的值. ②若,【解題視點(diǎn)】(1)先求出 -x的范圍，再求出cos( -x)的值， 最后根據(jù)2x, +x與已知角 -x的聯(lián)系求解. (2)根據(jù)兩角和與差的余弦公式展開，轉(zhuǎn)化為特殊角和已知角 求解．,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閤∈(0, ),所以 -x∈(0, ). 又因?yàn)?所以 又 = 所以原式= 答案：,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】解答有限制條件的求值問題時(shí),要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件角的聯(lián)系,一般方法是拼角與拆角.,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2013·江西高考)若 ，則cos α=( ) 【解析】選C.cos α=,2.(2014·金華模擬)設(shè)α，β為鈍角，且sin α= ， cos β=- ，則α+β的值為( ),【解析】選C.因?yàn)棣?，β為鈍角，所以cos α= = sin β= 故cos(α+β)= cos α·cos β-sin α·sin β= 又π＜α+β＜2π，因此α+β=,3.(2013·四川高考)設(shè) ，則tan 2α的 值是______． 【解析】根據(jù)題意sin 2α=-sin α，可得2sin αcos α= -sin α，可得cos α= ，tan α= 所以 答案：,4.(2014·杭州模擬)已知 cos(α-β)= ， sin(α+β)=- ，則sin α+cos α的值為_____.,【解析】因?yàn)?所以 sin(α-β)= cos(α+β)= 故sin 2α=sin［(α+β)+(α-β)］=sin(α+β)·cos(α-β) +cos(α+β)·sin(α-β)=,因此(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α=1+sin 2α= 又sin α+cos α＞0，所以sin α+cos α= 答案：,【加固訓(xùn)練】 1.(2014·石家莊模擬)已知向量a=(4,5cos α)，b=(3， -4tan α).若a⊥b，且α∈(0, )，則cos(2α- )=_____. 【解析】因?yàn)閍⊥b， 所以a·b=0， 即12-20cos α·tan α=0， 所以12-20sin α=0，即 因?yàn)棣痢?0， )，所以,所以sin 2α=2sin αcos α= cos 2α=1-2sin2α= 所以cos(2α- )=cos 2α·cos +sin 2α·sin 答案：,2.(2013·蘭州模擬)已知sinθ和cosθ是關(guān)于x的方程 x2-2xsinα+sin2β=0的兩個(gè)根. 求證:2cos2α=cos2β. 【證明】因?yàn)閟inθ,cosθ是方程x2-2xsinα+sin2β=0的兩根, 所以sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin2β. 因?yàn)?sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ, 所以(2sinα)2=1+2sin2β,即4sin2α=1+2sin2β, 所以2(1-cos2α)=1+1-cos2β, 所以2cos2α=cos2β.,【易錯(cuò)誤區(qū)9】給值求角問題的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】(2014·無錫模擬)已知α，β為三角形的兩個(gè)內(nèi)角， cos α＝ ，sin(α＋β)＝ ，則β=_____.,【解析】因?yàn)?＜α＜π，cos α＝ ， 所以sin α＝ 故 又因?yàn)?＜α＋β＜π，sin(α+β)＝ 所以0＜α+β＜ ，或 ＜α+β＜π， 由 ，①,所以cos(α+β)＝ 所以cos β②＝cos［(α＋β)－α］ ＝cos(α+β)cos α+sin(α＋β)sin α ＝ 又因?yàn)?＜β＜π，所以β＝ . 答案：,【誤區(qū)警示】 1.①處不能縮小角α+β的范圍,導(dǎo)致求cos(α+β)時(shí)不能正確判斷符號(hào),產(chǎn)生兩解. 2.②所求函數(shù)值不是cosβ,而是sinβ,導(dǎo)致在(0,π)中角β有兩解的錯(cuò)誤.,【規(guī)避策略】 1.在利用平方關(guān)系求sinα,cosα?xí)r開方需要判斷符號(hào),若所給范圍過大,此時(shí)應(yīng)注意縮小角的范圍,方法是把所給角的函數(shù)值和特殊角的函數(shù)值比較,再結(jié)合單調(diào)性判斷.,2.通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時(shí),遵照以下 原則:①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);②已知正、余弦函數(shù)值, 選正弦或余弦函數(shù);若角的范圍是 選正、余弦皆可;若角 的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為 選正弦較好.,【類題試解】已知0＜α＜ ＜β＜π, (1)求sin α的值. (2)求β的值.,【解析】(1)因?yàn)?所以,(2)因?yàn)?＜α＜ ,sin α= ,所以cos α= 又0＜α＜ ＜β＜π,所以0＜β-α＜π. 由cos(β-α)= ,得0＜β-α＜ . 所以sin(β-α)= 所以sin β=sin［(β-α)+α］=sin(β-α)cos α+cos(β- α)sin α 由 ＜β＜π得β= π.（或求cos β= ,得β= π）,