高三數(shù)學一輪復習 3.7正弦定理和余弦定理課件 .ppt

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第七節(jié) 正弦定理和余弦定理,【知識梳理】 1.正弦定理與余弦定理,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,a∶b∶c,2.在△ABC中,已知a,b和A時,解的情況,一解,兩解,一解,一解,無解,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題： ①三角形中三邊之比等于相應的三個內(nèi)角之比； ②在△ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B； ③在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素； ④正弦定理對鈍角三角形不成立； ⑤在△ABC中， 其中正確的是( ) A.①② B.③④ C.②⑤ D.④⑤,【解析】選C. ①錯誤. 由正弦定理知a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C. ②正確.由正弦定理知sin A= ，sin B= ，由sin A＞sin B 得ab，即A＞B. ③錯誤.當已知三個角時不能求三邊. ④錯誤.正弦定理對任意三角形都成立. ⑤正確. 由正弦定理結(jié)合比例的性質(zhì)可證明.,2.已知△ABC的三個內(nèi)角之比為A∶B∶C=3∶2∶1，那么對應的 三邊之比a∶b∶c=( ) A.3∶2∶1 B. ∶2∶1 C. ∶ ∶1 D.2∶ ∶1 【解析】選D.由A∶B∶C=3∶2∶1及A+B+C=180°，可解得 A=90°，B=60°，C=30°，所以a∶b∶c=sin A∶sin B∶ sin C=1∶ ∶ ,即a∶b∶c=2∶ ∶1.,3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cos B等于( ) 【解析】選D.因為 所以 所以sin B＝ 又因為a＞b，A＝60°， 所以B＜60°， 所以cos B＝,4.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝ 2bcos C，則此三角形一定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解析】選C.因為a＝2bcos C，所以由余弦定理得：a＝ 整理得b2＝c2，則此三角形為等腰三角形．,5.(2014·金華模擬) 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為 a，b，c，若sin A= sin C，B=30°，b=2，則邊c= . 【解析】依題意得，sin A＝ sin C，即a＝ c，根據(jù)余弦 定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝3c2＋c2－2 c2× ， 解得c＝2. 答案：2,6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2-bc =0,則A=______________. 【解析】由b2+c2-a2－bc =0得 b2+c2-a2=bc,所以cos A= 所以A=60°. 答案：60°,考點1 正弦定理的簡單應用 【典例1】(1)在△ABC中，A=60°, a= ,b=2,那么滿足條件 的△ABC( ) A.有一個解 B.有兩個解 C.無解 D.不能確定 (2)(2014·麗水模擬)如圖，在△ABC中，AB= AC=2，BC=2 ，點D在BC邊上，∠ADC=75°， 則AD的長為_______.,(3)在△ABC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，若 A=2B，則cos B=_______. 【解題視點】(1)通過具體計算的方法或數(shù)形結(jié)合的方法求解. (2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出角B，再利用正弦定理求解. (3)由兩邊之比聯(lián)想用正弦定理，化為兩角的正弦值之比，再利用二倍角公式化簡.,【規(guī)范解答】(1)選A.方法一：因為 又A=60°，且ab，所以B＜60°，故B＝45°，所以有一個解. 方法二：結(jié)合草圖，因為A＝60°,a= ,b=2所以ab,故三角 形有一個解.,(2)過點A作AE⊥BC，垂足為E，則在 Rt△ABE中， 故B=30°. 在△ABD中，∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°. 由正弦定理得 答案：,(3)由正弦定理得 又A=2B， 所以 所以cos B= . 答案：,【互動探究】把本例(3)條件改為“在銳角△ABC中，a,b,c分 別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，A=2B”,試求 的取值范圍.,【解析】由正弦定理得 因為△ABC是銳角三角形， 所以 所以 即 所以 所以 即 的取值范圍是,【易錯警示】注意角的范圍的確定 本例【互動探究】由△ABC 是銳角三角形判斷角B的范圍時，要注意應保證三個內(nèi)角都是銳角，否則易出現(xiàn)范圍過大的情況.,【規(guī)律方法】 1.正弦定理的應用技巧 (1)求邊：利用公式 或其他相應變形公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 或其他相應變形公式求解. (3)相同的元素歸到等號的一邊：即 可應用這些公式解決邊或角的比例關(guān)系問題.,2.判斷解的個數(shù)的兩種方法 (1)代數(shù)法：根據(jù)大邊對大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷. (2)幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個數(shù). 提醒：利用正弦定理解三角形時，要注意解的個數(shù)的判斷.,【變式訓練】已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有兩解,則x的取值范圍是( ) A.x2 B.x2且xsin45°2, 所以2x2 .,【加固訓練】 1.在△ABC中，a=10，B=60°,C=45°,則c等于( ) A.10+ B.10( -1) C. +1 D.10 【解析】選B.A=180°-(B＋C)=180°-(60°+45°)=75°. 由正弦定理，得,2.在△ABC中，若B=2A，a∶b＝1∶ , 則A=_______. 【解析】因為a∶b＝1∶ ，所以sin A∶sin B＝1∶ ， 即sin A∶sin 2A＝1∶ ，所以cos A＝ ，故A=30°. 答案：30°,考點2 余弦定理的應用 【典例2】(1)(2013·青島模擬) 已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是( ) A.8＜a10 B.2 ＜a＜ C.2 ＜a＜10 D. ＜a＜8 (2)(2013·安徽高考)設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=( ),【解題視點】(1)根據(jù)銳角三角形三邊關(guān)系,并結(jié)合余弦定理求解. (2)將條件統(tǒng)一為邊，然后把三邊用一個量表示，最后根據(jù)余弦定理求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.若a是最大邊，則 所以3＜a＜ ； 若3是最大邊，則 所以2 a3； 當a=3時符合題意，綜上2 ＜a＜ ，故選B.,(2)選B.由題設條件可得 ? 由余弦定理，得 所以,【規(guī)律方法】 1.利用余弦定理解三角形的步驟,2.利用余弦定理解三角形的注意事項 (1)余弦定理的每個等式中包含四個不同的量,它們分別是三角形的三邊和一個角,要充分利用方程思想“知三求一”. (2)已知三邊及一角求另兩角的兩種方法：①利用余弦定理的推論求解，雖然運算較復雜，但較直接；②利用正弦定理求解，雖然比較方便，但需注意角的范圍，這時可結(jié)合“大邊對大角，大角對大邊”的法則或圖形幫助判斷.,【變式訓練】(2014·溫州模擬)在△ABC中，a=2,b=2 ,C=45°， 則A=______. 【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·cos C=4+(2 )2-2×2 ×2 ×cos 45°=4,故c=2,因此a=c，故A=C=45°. 答案：45°,【加固訓練】 1.在△ABC中，若a=c=2,B=120°,則邊b=( ) 【解析】選B.由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=4+4-2×2×2×(- )=12， 所以b=2 .,2.在△ABC中，C=60°，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則 = . 【解析】因為C=60°,所以a2+b2-c2=ab， 所以a2+b2=ab+c2， 等式兩邊都加上ac+bc，整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c)， 所以 答案：1,考點3 正、余弦定理的綜合應用 【考情】正、余弦定理的應用很廣泛，也比較靈活.在高考中三種題型都有可能出現(xiàn)，主要考查邊角的計算、三角形形狀的判斷等問題.,高頻考點 通 關(guān),【典例3】(1)(2013·陜西高考)設△ABC的內(nèi)角A, B, C所對的 邊分別為a, b, c, 若bcos C+ccos B=asin A, 則△ABC的形狀 為( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 (2)(2013·山東高考)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c， 若B=2A，a=1，b= ，則c=( ) A. 2 B.2 C. D.1,【解題視點】(1)利用正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系來判斷三角形的形狀. (2)根據(jù)角的關(guān)系結(jié)合正弦定理求出角A，然后求出角B，C后再求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.因為bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦 定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sin A=sin2A,sin A=1,即A= ，所以三角形ABC是直角三角形. (2)選B.由B=2A,則sin B=sin 2A，由正弦定理知 即 所以cos A= ，所以 所以C=π－B－A= ，所以c2=a2+b2=1+3=4， 故c=2.,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】在判斷三角形的形狀時,注意等式兩邊的公因式不要約掉,要移項提取公因式,否則會有漏掉一種情況的可能.,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2012·湖北高考)設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù),且ABC,3b=20acosA,則sinA∶sinB∶sinC為( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4,【解析】選D.由題意知：a=b+1,c=b-1,所以3b=20acosA= 整理得：7b2-27b-40=0，解得b=5或b=- (舍去), 可知：a=6,c=4.結(jié)合正弦定理可知答案.,2.(2014·衢州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別 為a,b,c，若acos B+bcos A=csin C,b2+c2-a2= bc，則 角B= . 【解析】由b2+c2-a2= bc，得 所以A=30°.由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A= sin Csin C，即sin(A+B)=sin Csin C=sin C，解得 sin C=1(sin C=0舍去)，所以C=90°，所以B=60°. 答案：60°,3.(2014·金華模擬)在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C- sin Bsin C，則A的取值范圍是_________. 【解析】因為sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C， 所以由正弦定理得a2≤b2+c2-bc，即b2+c2-a2≥bc, 故cos A= 又A∈(0，π)，故0＜A≤ . 答案：0＜A≤,【加固訓練】 1.(2014·嘉興模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為 a,b,c,滿足 (1)求角C. (2)求 的取值范圍.,【解析】(1) 化簡得a2+b2-c2=ab， 所以,2.(2014·長沙模擬)在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，求證： 【證明】方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B， 所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B. 整理，得 由正弦定理，得 即,方法二：右邊＝ 故,【規(guī)范解答4】正、余弦定理在三角形中的應用 【典例】(14分)(2013·江西高考)在△ABC中,角A,B,C所對的 邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA- sinA)cosB=0. (1)求角B的大小. (2)若a+c=1,求b的取值范圍.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)在△ABC中，因為A＋B＋C＝π， 所以-cos(A+B)+cos Acos B-① sin Acos B=0，………3分 即sin Asin B- sin Acos B=0, 因為sin A≠0，所以sin B- cos B=0, ……………5分 cos B≠0，所以tan B= , 又0＜B＜π， 所以B＝ . ……………………………7分,(2)由余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B， 因為a+c=1,cos B= ，所以c=1-a，代入上式整理得 ………11分 又因為c=1-a，由0＜c＜1得0a1③, 所以 ≤b2＜1，即 ≤b＜1. 綜上，b的取值范圍是[ ，1)④. ……14分,【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓練，能力遷移 (2014·杭州模擬)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別 為a,b,c，asin Asin B+bcos2A= a． (1)求 .(2)若c2=b2+ ，求B．,【解析】(1)由正弦定理得，sin2Asin B+sin Bcos2A= sin A， 即sin B(sin2A+cos2A)= sin A． 故sin B= sin A，所以 (2)由余弦定理和c2=b2+ a2，得 由(1)知b2=2a2，故c2=(2+ )a2． 可得cos2B= .又cos B0，故cos B= ，所以B=45°．,