高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖課件 .ppt

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第七章 立體幾何初步 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖 和直觀圖,,【知識梳理】 1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,相等,全等,公共點(diǎn),平行于底面,相似,2.空間幾何體的三視圖 (1)三視圖的形成與名稱: ①形成:空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的,在這種投影 之下,與投影面平行的平面圖形留下的影子,與平面圖形的_____ 和_____是完全相同的; ②名稱:三視圖包括_______、_______、_______. (2)三視圖的畫法: ①在畫三視圖時,重疊的線只畫一條,擋住的線要畫成_____. ②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的_____ 方、_____方、_____方觀察幾何體畫出的輪廓線.,形狀,大小,正視圖,側(cè)視圖,俯視圖,虛線,正前,正左,正上,3.空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用_______畫法來畫,基本步驟是: (1)畫幾何體的底面:在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸,兩軸相交于點(diǎn)O′,且使∠x′O′y′=______________,已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中長度_____,平行于y軸的線段,長度_____.,斜二測,45°(或135°),不變,減半,(2)畫幾何體的高:在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面,在 直觀圖中對應(yīng)的z′軸,也垂直于x′O′y′平面,已知圖形中平 行于z軸的線段,在直觀圖中仍平行于z′軸且長度_____.,不變,【考點(diǎn)自測】 1.(思考)給出下列說法: ①有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱; ②有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐; ③一個棱柱至少有5個面,面數(shù)最少的一個棱錐有4個頂點(diǎn),頂點(diǎn)最少的一個棱臺有3條側(cè)棱; ④用斜二測畫法畫水平放置的∠A時,若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且∠A=90°,則在直觀圖中,∠A=45°;,⑤正方體、球、圓錐各自的三視圖中,三視圖均相同. 其中正確的是( ) A.①③ B.②⑤ C.①④ D.③ 【解析】選D.①錯誤.盡管幾何體滿足了兩個面平行且其他各面都是平行四邊形,但不能保證每相鄰兩個側(cè)面的公共邊互相平行.如圖 ,該幾何體并不是棱柱.,②錯誤.盡管幾何體滿足了一個面是多邊形,其余各面都是三角形,但不能保證三角形具有公共頂點(diǎn). ③正確.面數(shù)最少的棱柱為三棱柱,有5個面;面數(shù)最少的棱錐為三棱錐,有4個頂點(diǎn);頂點(diǎn)最少的棱臺為三棱臺,有3條側(cè)棱. ④錯誤.∠A應(yīng)為45°或135°. ⑤錯誤.正方體的三視圖由于正視的方向不同,其三視圖的形狀可能不同,圓錐的側(cè)視圖與俯視圖顯然不相同.,2.有一個幾何體的三視圖如圖所示,這個幾何體應(yīng)是一個( ) A.棱臺 B.棱錐 C.棱柱 D.都不對 【解析】選A.從俯視圖來看,上、下底面都是正方形,但大小不一樣,可以判斷是棱臺.,3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是( ),【解析】選C.依題意,此幾何體為組合體,若上下兩個幾何體均為圓柱,則俯視圖為A; 若上邊的幾何體為正四棱柱,下邊幾何體為圓柱,則俯視圖為B; 若俯視圖為C,則正視圖中應(yīng)有實(shí)線或虛線,故該幾何體的俯視圖不可能是C; 當(dāng)上邊的幾何體為底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面的幾何體為正四棱柱時,俯視圖為D.,4.如圖所示的直觀圖,其表示的平面圖形是( ) A.正三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形 【解析】選D.因?yàn)锽C∥y′軸,故在原圖中平行于y軸,而AC∥x′軸,在原圖中平行于x軸,故BC⊥AC,故三角形的形狀為直角三角形.故選D.,5.若一個底面是正三角形的直三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積為 . 【解析】由題意可知,該直三棱柱的底面邊長為2,高為1, 故S側(cè)面=3×2×1=6. 答案:6,6.(2013·溫州模擬)利用斜二測畫法得到的: ①三角形的直觀圖一定是三角形; ②正方形的直觀圖一定是菱形; ③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形; ④菱形的直觀圖一定是菱形. 以上結(jié)論正確的個數(shù)是 . 【解析】由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確;②錯誤,是一般的平行四邊形;③錯誤,等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形;而菱形的直觀圖也不一定是菱形,④也錯誤. 答案:1,考點(diǎn)1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【典例1】(1)給出下列命題: ①棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形; ②用一個平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺; ③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個側(cè)面也兩兩垂直; ④若四棱柱有兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;,⑤存在每個面都是直角三角形的四面體; ⑥棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn). 其中正確命題的序號是( ) A.①②③④ B.②③④⑤ C.③④⑤⑥ D.①③④⑥,(2)給出下列命題: ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線; ②在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓臺的母線; ③圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的. 其中正確命題的序號是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.③,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的定義及特征進(jìn)行判斷. (2)根據(jù)圓柱、圓臺母線的定義及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷. 【規(guī)范解答】(1)選C.①錯誤,因?yàn)槔庵膫?cè)面不一定是全等的平行四邊形;②錯誤,必須用平行于底面的平面去截棱錐,才能得到棱臺;,③正確,根據(jù)面面垂直的判定定理判斷;④正 確,因?yàn)閮蓚€過相對側(cè)棱的截面的交線平行 于側(cè)棱,又垂直于底面;⑤正確,如圖所示,正 方體AC1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角 三角形;⑥正確,由棱臺的概念可知.因此,正確命題的序號是③④⑤⑥. (2)選D.根據(jù)圓柱、圓臺的母線的定義和性質(zhì)可知,只有③是正確的,所以選D.,【規(guī)律方法】解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧 (1)熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,然后再依據(jù)題意判定. (2)利用反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析,即要說明某個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可.,直棱柱、正棱柱和正棱錐的有關(guān)概念 (1)直棱柱:側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. (2)正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多邊形,側(cè)棱垂直于底面,側(cè)面是矩形. (3)正棱錐:底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地,各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.反過來,正棱錐的底面是正多邊形,且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心.,【變式訓(xùn)練】下列結(jié)論正確的是( ) A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐可能是六棱錐 D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線,【解析】選D.A錯誤.如圖所示,由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不一定是棱錐.,B錯誤.如圖,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐. C錯誤.若六棱錐的所有棱長都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長必然要大于底面邊長.,【加固訓(xùn)練】 1.給出下列命題: ①各個側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐; ②三條側(cè)棱都相等的棱錐是正三棱錐; ③底面是正三角形的棱錐是正三棱錐; ④頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心,又是外心的棱錐必是正棱錐.其中正確命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】選A.命題①顯然不正確.正棱錐必須具備兩點(diǎn),一是:底面為正多邊形,二是:頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心;命題②缺少第一個條件,命題③缺少第二個條件.而命題④可推出以上兩個條件都具備.,2.若三棱錐P-ABC的底面ABC是正三角形,則三個側(cè)面的面積相等是三棱錐P-ABC為正三棱錐的( ) A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選C.當(dāng)三棱錐P-ABC的底面ABC是正三角形時,如果該三棱錐又是正三棱錐,則其三個側(cè)面的面積一定相等,但當(dāng)三個側(cè)面的面積相等時,卻不一定能推出該三棱錐是正三棱錐.,3.給出下列三個命題: ①夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體; ②圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺; ③通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn),有無數(shù)條母線. 其中正確命題的序號是 .,【解析】①錯誤,沒有說明這兩個平行截面與底面的位置關(guān)系,當(dāng)這兩個平行截面與底面平行時正確,其他情況則結(jié)論是錯誤的,如圖(1).②正確,如圖(2).③錯誤,通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn),只有一條母線,如圖(3). 答案:②,考點(diǎn)2 空間幾何體的三視圖 【考情】三視圖是高考命題的熱點(diǎn),以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),主要考查已知幾何體,判斷三視圖;已知幾何體三視圖中的兩個視圖,判斷第三個視圖;由三視圖判斷幾何體等.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例2】(1)(2014·金華模擬)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐,得到圖2所示的幾何體,則該幾何體的側(cè)視圖為( ),(2)(2013·四川高考)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是( ),【解題視點(diǎn)】(1)結(jié)合原正方體,確定兩個關(guān)鍵點(diǎn)B1,D1和兩條重要線段AD1和B1C的投影. (2)結(jié)合三視圖進(jìn)行判斷,特別要注意虛線的標(biāo)注. 【規(guī)范解答】(1)選B.圖2所示的幾何體的側(cè)視圖由點(diǎn)A,D,B1,D1確定外形為正方形,判斷的關(guān)鍵是兩條對角線AD1和B1C是一實(shí)一虛,其中要把AD1和B1C區(qū)別開來,故選B. (2)選D.根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側(cè)視圖一致,并且俯視圖是兩個圓,可知只有選項(xiàng)D適合,故選D.,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】對于簡單組合體的三視圖,首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向,其次要注意組合體由哪些幾何體組成,弄清它們的組成方式,特別應(yīng)注意它們的交線的位置,區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同.,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2012·福建高考)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等,那么這個幾何體不可以是( ) A.球 B.三棱錐 C.正方體 D.圓柱 【解析】選D.圓柱的三視圖,分別為矩形,矩形,圓,不可能三個視圖都一樣,而球的三視圖都是圓,三棱錐的三視圖可以都是三角形,正方體的三視圖可以都是正方形.,2.(2014·麗水模擬)已知三棱錐的正(主)視圖與俯視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形,則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為( ),【解析】選B.由俯視圖可知三棱錐的底面是個邊長為2的正三角形.由正視圖可知三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,且其長度為2,故其側(cè)(左)視圖為直角邊長為2和 的直角三角形.,3.(2011·浙江高考)若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的直觀圖可以是( ),【解析】選B.,4.(2013·長春模擬)一只螞蟻從正方體 ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A處出發(fā),經(jīng)正方體 的表面,按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1位 置,則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖可能是 (填上序號).,【解析】由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面,按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1位置,共有6種展開方式,若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平面內(nèi),在矩形中連接AC1會經(jīng)過BB1的中點(diǎn),故此時的正視圖為②.若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內(nèi),在矩形中連接AC1會經(jīng)過CD的中點(diǎn),此時正視圖會是④.其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn)或者已在②④中. 答案:②④,【加固訓(xùn)練】1.(2013·西安模擬)如圖,某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,且體積為 ,則該幾何體的俯視圖可以是( ),【解析】選C.若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)A,則該幾何體的體積為1,不滿足題意;若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)B,則該幾何體的體積為 ,不滿足題意;若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C,則該幾何體的體積為 ,滿足題意;若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)D,則該幾何體的體積為 ,不滿足題意.,2.(2013·蘭州模擬)已知一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示,正視圖和側(cè)視圖都是矩形,俯視圖為正方形,在該幾何體上任意選擇4個頂點(diǎn),它們可能是如下各種幾何圖形的4個頂點(diǎn),這些幾何圖形是( ),①矩形;②不是矩形的平行四邊形;③有三個面為直角三角形,有一個面為等腰三角形的四面體;④每個面都是等腰三角形的四面體;⑤每個面都是直角三角形的四面體. A.①③④⑤ B.②③④⑤ C.④⑤ D.①④⑤,【解析】選A.由三視圖知該幾何體是底面邊長為a,高為b的長方體.任選4個頂點(diǎn),若這4個點(diǎn)的幾何體是平行四邊形,則其一定為矩形,故②不可能.其他情形均有可能,如圖所示.,3.(2013·龍巖模擬)如圖表示一個由相同小立方 塊搭成的幾何體的俯視圖,小正方形中的數(shù)字表 示該位置上小立方塊的個數(shù),則該幾何體的正視 圖為( ),【解析】選C.俯視圖中的每個數(shù)字是該位置小立方塊的個數(shù), 分析其中的數(shù)字,得正視圖有3列,從左到右的行數(shù)分別是4,3,2. 如圖 .,4.(2014·泰安模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,當(dāng)xy最大時,該幾何體的體積為 .,【解析】如圖所示,三視圖所表示的立體 圖形是三棱錐A-BCD,從圖中可得x2+y2= 52+( )2=32,xy≤ =16,當(dāng)且僅當(dāng) “x=y”時取“=”,此時x=y=4,VA-BCD= 答案:,考點(diǎn)3 空間幾何體的直觀圖 【典例3】(1)(2013·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長為a,那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為( ),(2)如圖,正方形OABC的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長為 .,【解題視點(diǎn)】(1)先建立坐標(biāo)系,然后畫出△ABC的直觀圖△A′B′C′,求出△A′B′C′相關(guān)的邊,確定其面積. (2)按照斜二測畫法,將正方形OABC還原為平面圖形再求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖, 由②可知,A′B′=AB=a,O′C′= 在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′, 則 所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′,(2)將直觀圖還原為平面圖形,如圖. 可知還原后的圖形中 于是周長為2×3+2×1=8(cm). 答案:8cm,【互動探究】若本例(1)改為“△A1B1C1是邊長為a的正三角形,且△A1B1C1是△ABC的直觀圖”,則△ABC的面積為多少? 【解析】如圖,可知 在△A1D1C1中,由正弦定理 得 所以S△ABC=,【易錯警示】關(guān)注斜二測畫法的規(guī)則 本例第(1)題采用斜二測畫法求△A′B′C′的面積,解題過程中不能正確求出O′C′的長,導(dǎo)致這種錯誤的原因是忽視了在直觀圖中平行于y′軸的線段長是原圖中相應(yīng)線段長的一半.,【規(guī)律方法】直觀圖畫法的關(guān)鍵與結(jié)論 (1)關(guān)鍵:在斜二測畫法中,要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變,長度不變;平行于y軸的線段平行性不變,長度減半.” (2)結(jié)論:按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關(guān)系: S直觀圖= S原圖形.,【變式訓(xùn)練】(2013·太原模擬)一個水平放 置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如 圖所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,則這個平面圖形的面積為( ),【解析】選B.如圖將直觀圖ABCD還原后為直角梯形A′BCD′,其中A′B=2AB=2,BC= A′D′=AD=1. 所以,【加固訓(xùn)練】1.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖,D是△ABC的BC邊中點(diǎn),AB,BC分別與y′軸、x′軸平行,則三條線段AB,AD,AC中( ) A.最長的是AB,最短的是AC B.最長的是AC,最短的是AB C.最長的是AB,最短的是AD D.最長的是AC,最短的是AD 【解析】選B.由條件知,原平面圖形中AB⊥BC,從而ABADAC.,2.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示,若A1C1=2,△ABC 的面積為 則A1B1的長為 . 【解析】由直觀圖可知AC⊥BC,BC=2B1C1,AC=2,又因?yàn)?所以 則 所以A1B12=22+( )2-2×2× ×cos45° =2,解得A1B1= . 答案:,3.如圖所示,梯形A1B1C1D1是一個平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O1y′,A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O1D1=1. 請畫出原來的平面幾何圖形的形狀,并求原圖形的面積.,【解析】如圖,建立直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上截取OD=O1D1=1; OC=O1C1=2.在過點(diǎn)D的y軸的平行線上截取DA=2D1A1=2.在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取AB=A1B1=2. 連接BC,即得到了原圖形.由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形,上、下底長度分別為AB=2,CD=3,直角腰長度為AD=2,所以面積為S= ×2=5.,【易錯誤區(qū)16】忽視幾何體的放置對三視圖的影響致錯 【典例】(2014·瓊海模擬)一個幾何體的正視圖為一個三角形,則這個幾何體可能是下列幾何體中的 (填入所有可能的幾何體前的編號). (1)三棱錐;(2)四棱錐;(3)三棱柱;(4)四棱柱;(5)圓錐; (6)圓柱.,【解析】(1)三棱錐的正視圖是三角形. (2)當(dāng)四棱錐的底面是四邊形放置時,其正視圖是三角形. (3)把三棱柱某一側(cè)面當(dāng)作底面放置,其底面正對著我們的視 線時,它的正視圖是三角形,如圖. (4)對于四棱柱,不論怎樣放置,其正視圖都不可能是三角形. (5)當(dāng)圓錐的底面水平放置時,其正視圖是三角形. (6)圓柱不論怎樣放置,其正視圖都不可能是三角形. 答案:(1)(2)(3)(5),【誤區(qū)警示】 陰影處忽略了將側(cè)面當(dāng)作底面放置的情形,導(dǎo)致漏選. 【規(guī)避策略】 1.要熟練掌握常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征,并善于分析常見幾何體的不同放置對三視圖的影響. 2.由三視圖還原幾何體實(shí)際形狀時,首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向,其次要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別,實(shí)線是能在投影平面上看得見的,而虛線在投影圖中看不到.,【類題試解】如圖是長和寬分別相等的兩個矩形.給定下列三個命題:①存在三棱柱,其正視圖、俯視圖如圖;②存在四棱柱,其正視圖、俯視圖如圖;③存在圓柱,其正視圖、俯視圖如圖.其中真命題的個數(shù)是( ) A.3 B.2 C.1 D.0,【解析】選A.底面是等腰直角三角形的三棱柱,當(dāng)它的一個矩形側(cè)面放置在水平面上時,它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形,因此①正確;若長方體的高和寬相等,它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形,因此②正確;當(dāng)圓柱側(cè)放時(即側(cè)視圖為圓時),它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形,因此③正確.直觀圖如圖所示.,