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1、1 根據(jù)定積分定義計(jì)算定積分即按分割 -求近似值 - 累加 -取極限的方法計(jì)算定積分不是一件容易的事 。事實(shí)上，除了一些特殊情形外，這種方法往往無(wú) 法計(jì)算。為此必須尋求簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。從不定積 分和定積分的定義發(fā)現(xiàn)，不定積分是作為微分的逆 運(yùn)算定義的，定積分是作為積分和定義的，從表面 上看，它們是毫不相干的，那么它們實(shí)質(zhì)上之間是 否就沒(méi)有聯(lián)系？人們?cè)诮?jīng)過(guò)長(zhǎng)期探索，最終了揭示 他們之間的內(nèi)在聯(lián)系，即積分計(jì)算的有力工具即著 名的微分基本定理 牛頓萊布尼茨公式。 5.2 微積分的基本公式 2 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 , ba 上連續(xù)，并且設(shè) x 為 , ba 上的一點(diǎn)， xa dxxf )( 考
2、察定積分 xa dttf )( 記 .)()( xa dttfx 積分上限函數(shù) 如果上限 x 在區(qū)間 , ba 上任意變動(dòng)，則對(duì)于 每一個(gè)取定的 x 值，定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以 它在 , ba 上定義了一個(gè)函數(shù)， 1. 積分上限函數(shù)的概念 5.2.1 積分上限函數(shù) 3 定理 如果 )( xf 在 , ba 上連續(xù)，則積分上限的函 數(shù) dttfx x a )()( 在 , ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo) 數(shù)是 )()()( xfdttf dx d x x a )( bxa 2.積分上限函數(shù)的性質(zhì) 定理 2（原函數(shù)存在定理） 如果 )( xf 在 , ba 上連續(xù)，則積分上限的函 數(shù) dttfx x
3、 a )()( 就是 )( xf 在 , ba 上的一個(gè) 原函數(shù) . 4 定理的重要意義： （ 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . （ 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之 間的聯(lián)系 . 例 1 )(,)( 0 2 xdttex x t 求設(shè) 解 利用定理 1得 )(x 2xxe 5 定理 3（微積分基本公式） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 , ba 上 的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxf b a . 牛頓 萊布尼茨公式： 5.2.2 牛頓 萊布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfba baxF )( 6 微積分基本公式表明： 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間
4、, ba 上的定積分等于 它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間 , ba 上的增量 . 因 此 注意 當(dāng) ba 時(shí)， )()()( aFbFdxxfba 仍成立 . 求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題 . 7 例 2 求 10 2dxx 原式 1 0 3 3 1 x 3 1解 解 例 3 求 11 21 1 dxx 原式 1 1 a r c t a n x )1a r c t a n (1a r c t a n 2 8 例 4 求 解 .112 dxx 當(dāng) 0 x 時(shí)， x1 的一個(gè)原函數(shù)是 |ln x , dxx 12 1 1 2|ln x .2ln2ln1ln 解 原式 = 例 5 求 31 2 dxx
5、 21 2 dxx 32 2 dxx 322 1 )2()2( dxxdxx 3 2 22 1 2 2 2 1 2 12 xxxx 52129 9 3.微積分基本公式 1.積分上限函數(shù) x a dttfx )()( 2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()( xfx )()()( aFbFdxxfba 小結(jié) 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積 分學(xué)之間的關(guān)系 10 課堂練習(xí)： 計(jì)算下列各定積分： 1 . 2 1 2 2 ) 1 ( dx x x ; 2 . 1 1 1 dx e e x x ; 3 . 0 1 2 24 1 133 dx x xx ; 4 . 2 0 s in dxx . 11 練習(xí)題解答 dxxx 21 22 )1(.1 dxxdxx 21 21 22 1 2 1 2 1 3 1 3 1 xx 6 52 dxee x x 1 1 1.2 1 1 1 )1( x xeed 1 1)1 l n ( xe 1 12 0 1 2 34 1 133.3 dx x xx 0 1 2 2 ) 1 13( dx xx 0 1 0 1 22 113 dxxdxx 0 10 13 a r c t a n xx 41 20 s i n.4 dxx 20 s i ns i n dxxdxx 20 s i ns i n x d xx d x 20 co sco s xx4
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