【命題探究】2014版高考數學知識點講座考點32圓的方程、直線與圓的位置關系、空間直角坐標系

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1、 【命題探究】 2014 版高考數學知識點講座：考點 32 圓的方程、直線與圓 的位置關系、空間直角坐標系 加（ * ）號的知識點為了解內容，供學有余力的學生學習使用 一 . 考綱目標 圓的方程、點與圓的關系；垂徑定理的運用；圓的方程的求法；直線與圓的位置關系；圓的切線方 程和弦長問題；圓的綜合問題的解題思路；會建立右手直角坐標系，準確找到點的坐標 . 二. 知識梳理 y r M C(a,b) O x 1. 空間直角坐標系： （1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，

2、 且長為 1，這個基底叫單位正交基底， 用 { i , j , k} 表示； （2）在空間選定一點 O 和一個單位正交基底 {i , j ,k} ，以點 O 為原點，分別以 i , j , k 的方向為正方 向建立三條數軸 ：x 軸、 y 軸、 z 軸，它們都叫坐標軸． 我們稱建立了一個空間直角坐標系 O xyz ， 點 O 叫原點，向量 i , j , k 都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為 xOy 平 面， yOz 平面， zOx 平面； 2. 空間直角坐標系中的坐標： 在 空 間 直 角 坐 標 系

3、O xyz 中 ， 對 空 間 任 一 點 A ， 存 在 唯 一 的 有 序 實 數 組 ( x, y, z) ， 使 OA xi yj z k ( x, y, z) 叫作向量 A 在空間直角坐標系 O xyz 中的坐標，記作 ，有序實數組 A( x, y, z) ， x 叫橫坐標， y 叫縱坐標， z 叫豎坐標． 1 z A(x,y,z) k O j y i x 3．圓的

4、定義：平面內與一定點距 離等于定長 的點的軌跡稱為圓 王新敞 4. 圓的標準方程 ： (x a)2 ( y b) 2 r 2 圓心為 C (a, b) ，半徑為 r ， 若圓心在坐標原點上，這時 a b 0 ，則圓的方程就是 x2 y 2 r 2 王新敞 5. 圓的標準方程的兩個基本要素： a,b, r 王新敞 6. 圓 的 一 般 方 程 ： 只 有 當 D 2 E 2 4F 0 時 ， ① 表 示 的 曲 線 才 是 圓 ， 把 形 如

5、 x 2 y 2 Dx Ey F 0 ①的表示圓的方程稱為圓的一般方程 王新敞 （1）當 D2 E2 4 F 0時，①表示以（ - D ， - E ）為圓心 , 1 D 2 E 2 4F 為半徑的圓； 2 2 2 （2）當 D 2 E2 4 F 0 時，方程①只有實數解 x D ，y E ，即只表示一個點 （ - D ，- E ）;

6、 2 2 2 2 （3）當 D 2 E 2 4 0 時，方程①沒有實數解，因而它不表示任何圖形 F 王新敞 王新敞 7. 研究圓與直線的位置關系最常用的方法：①判別式法；②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關系。 直線 Ax By C 0 與圓 (x a) 2 (

7、y b) 2 r 2 Aa Bb C 的位置關系有三種，若 d ，則 A2 B 2 d r 相離 0 ; d r 相切 0 ; d r 相交 0 8. 兩圓位置關系的判定方法 設兩圓圓心分別為 O1，O2，半徑分別為 r 1， r 2， O1O2 d ① d r1 r2 外離 4條公切線 ② d r1 r2 外切 3條公切線 ③ r1 r2 d r1 r2 相交 2條公切線 ④ d r1

8、 r2 內切 1條公切線 ⑤ 0 d r1 r2 內含 無公切線 2 O 1 O2 O1 O2 O1 O 2 O1 O2 O1 O2 內含 相交 相離 0 r1-r2 r1+r 2 內切 外切  d 9. 過圓上一點的切線方程：圓 x 2 y 2 r 2的以 P( x0 , y0 ) 為切點的切線方程是 x0 x y0 y r 2 。 當點 P(x0 , y

9、0 ) 在圓外時， x0 x y0 y r 2 表示切點弦的方程。 一 般 地 ， 曲 線 Ax2 Cy 2 Dx Ey F 0 的以點 P(x0， y0 ) 為 切 點 的 切 線 方 程 是 ： Ax0 x Cy 0 y D x x0 E y y0 F 0 。 2 2 當點 P(x0 , y0 ) 在圓外時， Ax0 x Cy0 y x x0 y y0 F 0 表示切點弦的方程。 D 2 E 2

10、 這個結論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按照求切線方程的常規(guī)過程去做。 10. 經過兩個圓交點的圓系方程：經過 x2 y 2 D1 x E1 y F1 0 ， x2 y 2 D2 x E2 y F2 0 的交點的圓系方程是： x2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0 在過兩圓公共點的圖象方程中，若 λ =－ 1，可得兩圓公共弦所在的直線方程 11. 經過直線與圓交點的圓系方程： 經過直線 l： Ax By C 0 與圓 x

11、2 y 2 Dx Ey F 0的交點的圓系方程是： x2 y 2 Dx Ey F ( Ax By C) 0 三．考點逐個突破 1. 圓的方程 3 例 1. 圓心在曲線 y＝ x ( x>0) 上，且與直線 3x＋ 4y＋ 3＝0 相切的面積最小的圓的標準方程為() 2 2 18 2 2 2 16 2 A． ( x－ 1) ＋( y－ 3) ＝ ( 5 ) B． ( x－ 3) ＋ ( y－ 1) ＝ ( 5 )

12、3 2 3 2 2 2 C． ( x－ 2) ＋( y－ 2) ＝ 9 D ． ( x－ 3) ＋ ( y－ 3) ＝ 9 [ 答案 ] C [ 解析 ] 設圓心坐標為 ( a ， 3 )( >0) ， a a

13、 12 |3 a＋ a ＋ 3| 3 4 3 則圓心到直線 3x＋4y＋ 3＝ 0 的距離 d＝ 5 ＝5( a＋ a＋1) ≥ 5(4 ＋ 1) ＝ 3，等號當且僅當 a ＝2 時成立． 3 2 3 2 此時圓心坐標為 (2 ， 2) ，半徑為 3，故所求圓的方程為 ( x－2) ＋ ( y－

14、2) ＝ 9. 2. 與圓有關的最值問題 2 2 1 2 例 2. 若直線 ax＋ 2by－ 2＝0( a>0， b>0) 始終平分圓 x ＋y － 4x－ 2y－ 8＝ 0 的周長，則 a＋ b的最小 值為 ( ) A． 1 B ． 5 C ． 4 2 D． 3＋2 2 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由條件知圓心 C(2,1) 在直線 ax＋ 2by－2＝ 0 上，∴ a＋ b＝1， 1 2

15、 1 2 b 2a ∴ a＋ b＝ ( a＋ b)( a＋ b) ＝ 3＋ a＋ b ≥3＋ 2 2， b 2a 等號在 a＝ b ，即 b＝ 2－ 2， a＝ 2 －1 時成立． 3. 與其他知識的交匯命題 例 3. 已知動圓的圓心 C在拋物線 x2＝ 2py( p>0) 上，該圓經過點 A(0 ，p) ，且與 x 軸交于兩點 M、N， 則 sin ∠ MCN的最大值為 ________． [ 答案 ] 1 [ 解析 ] 當圓心 C 的縱坐標為 p 時， C( 2p， p) 為圓心的圓方程為 ( x－ 2p)

16、 2＋( y－ p) 2＝ 2p2，令 y ＝0 得， x＝ 2p p，∴ MC⊥NC，∴ sin ∠ MCN＝1. 4. 直線與圓的位置關系的判斷 例 4. 已知圓 C： x2＋ y2＋x－ 6y＋m＝ 0 與直 線 l ： x＋2y－ 3＝ 0. (1) 若直線 l 與圓 C沒有公共點，求 m的取值范圍； (2) 若直線 l 與圓 C 相交于 、 兩點， O 為原點，且 ⊥ ，求實數 的值． P Q OP OQ m [ 解析 ] (1) 將圓的方程配方，

17、 1 2 2 37－ 4m 得( x＋ 2) ＋ ( y－ 3) ＝ 4 ， 4 37－ 4m 37 故有 4 >0，解得 m< 4 . 將直線 l 的方程與圓 C的方程組成方程組，得 x＋2y－ 3＝ 0， x2＋ y2＋ x－ 6y＋4m＝ 0， 消去 y，得 x2＋ ( 3－ x) 2＋ x－6 3－x＋ m＝ 0， 2 2 整理，得 5x2＋ 10x＋ 4m－ 27＝ 0，① ∵直線 l 與圓 C沒有公共點，∴方程①無

18、解，故有 ＝ 102 －45(4 m－ 27)<0 ，解得 m>8. 37 ∴m的取值范圍是 (8 ， 4 ) ． (2) 設 P( x1，y1 ) ， Q( x2， y2) ， → → 由 OP⊥ OQ，得 OPOQ＝ 0，由 x1x2＋y1y2＝ 0，② 由 (1) 及根與系數的關系得， x1＋x2＝－ 2， x1 x2＝ 4m－ 27 ③ 5 又∵ 、 在直線 x ＋2 － 3＝0 上， P Q y 3－ x1 3－ x2 1 x1＋ x2

19、) ＋x1 x2] ， ∴y1 y2＝ 2 ＝ [9 － 3( 2 4 m＋ 12 將③代入上式，得 y1y2＝ ，④ 將③④代入②得 x1 x2 ＋y1 y2 ＝4m－ 27＋m＋ 12＝ 0，解得 m＝3， 5 5 代入方程①檢驗得 > 0 成立，∴ m＝ 3. 5. 直線與圓相交 例 5. (1) 過點 (0,1) 的直線與 x2＋y2＝ 4 相交于 A、 B兩點，則 | AB| 的最小值為 ( ) A． 2 B ． 2 3 C ． 3 D． 2 5 [ 答案 ] B

20、 [ 解析 ] 當過點 (0,1) 的直線與直徑垂直且 (0,1) 為垂足時， | AB| 取最小值 2 3. → → → → (2) 已知直線 x＋ y＝ a 與圓 x2＋ y2＝4 交于 A， B 兩點，且 | OA＋ OB| ＝ | OA－ OB|( 其中 O為坐標原點 ) ， 則實數 a 等于 ( ) A． 2 B ．－ 2 C ． 2 或－ 2 D. 6或－ 6 [ 答案 ] C 5 → → → → → → → → [ 解析 ] ∵| OA＋ OB| ＝| OA－ OB|，∴ | OA| 2＋ |

21、OB| 2＋ 2OA OB → → → → → → → → ＝ | OA| 2＋ | OB|2－ 2OA OB，∴ OA OB＝ 0，∴ OA⊥ OB， 畫圖易知 A、 B 為圓 x2＋ y2＝ 4 與兩坐標軸的交點， 又 A、 B 是直線 x＋ y＝ a 與圓的交點，∴ a＝ 2 或－ 2. 6. 圓與圓的位置關系 例 6. 圓 ( x＋ 2) 2＋ y2＝ 4 與圓 ( x－2) 2＋ ( y－1) 2＝ 9 的位置關系為 ( ) A．內切 B ．相交 C ．外切 D．相離 [ 答案 ] B [ 解析 ] 本題考查圓與圓的位

22、置關系． 兩圓圓心分別為 A( － 2,0) ， B(2,1 ) ， 半徑分別為 r 1＝ 2， r 2＝ 3， | AB| ＝ 17， ∵3－ 2< 17<2＋ 3，∴兩圓相交． 7. 空間直角坐標 系 例 7. 如圖正方體 ABCD A1B1C1D1 中， B1 E1 D1F1 1 A1 B1 ，求 BE1 與 DF1 所成角的余弦 4 解：不妨設正方體棱長為 1，建立空間直角坐標系 O xyz， 則 B(1,1,0)

23、， E1 (1,3 ,1) ， D (0,0,0) ， F1(0, 1 ,1) ， 1 4 1 4 ∴ BE1 ,1) ， DF (0, 1 (0, ,1) ， 4 4 ∴ BE1 DF1 17 ， 4 1 1 ) 1 1 15 BE1 DF1 0 0 ( 4 ． 4 16 6 15 15

24、 16 cos BE1 , DF1 17 ． 17 17 4 4 8. 直線與圓的綜合運用 例 8. (1) 已知點 M(3,1) ，直線 ax－ y＋ 4＝ 0 及圓 ( x－ 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 4. (1) 求過 M點的圓的切線方程； (2) 若直線 ax－ y＋ 4＝ 0 與圓相切，求 a 的值； (3) 若直線 ax－ y＋ 4＝ 0 與圓相交于 A，B 兩點，且弦 AB的長為 2 3，求 a 的值． [ 解析 ] (1) ∵ (3 － 1) 2＋ (1 － 2)

25、 2>4，∴ M在圓外， 當過點 M的直線斜率不存在時，易知直線 x＝ 3 與圓相切． 當直線的斜率存在時，設直線的方程為 y－ 1＝ k( x－ 3) ， 即 kx－ y－3k＋ 1＝ 0， ∵直線與圓相切，∴ | k－ 2＋ 1－3k| ＝ 2， k2＋ 1 3 解之得 k＝ 4， 3 ∴切線方程為 y－ 1＝ 4( x－ 3) ， 即 3x－ 4y－ 5＝ 0. ∴所求的切線方程為 x＝ 3 或 3x－ 4y－ 5＝ 0. (2) 由 a

26、x－y＋ 4＝ 0 與圓相切知 | a－ 2＋4| 1＋ a 2 ＝ 2， 4 ∴a＝ 0 或 a＝ 3. | a＋ 2| (3) 圓心到直線的距離 d＝ 1＋ a2， 又 l ＝ 2 3， r ＝ 2， 2 2 2 3 ∴由 r ＝ d ＋ ( l ) ，可得 a＝－ . 2 4 (2) 在平面直角坐標系 xOy中，動點 P 到兩點 (0 ，－ 3) ，(0 ， 3) 的距離之和等于

27、4，設點 P 的軌 跡為 ，已知直線 ＝ kx ＋ 1 與 C 交于 、 B 兩點． C y A (1) 寫出 C的方程； (2) 若以 AB為直徑的圓過原點 O，求 k 的值； (3) 若點 A 在第一象限，證明：當 k >0 時，恒有 | |>| |. OA OB [ 解析 ] (1) 設 P( x， y) ，由橢圓定義可知，點 P 的軌跡 C是以 (0 ，－ 3 ) ， (0 ， 3) 為焦點，長半

28、 7 2 2 y2 2 軸長為 2 的橢圓，它的短半軸 b＝ 2 － 3 ＝ 1，故橢圓方程為 4 ＋ x ＝ 1. y＝ kx＋ 1， (2) 由題意可知，以 AB為直徑的圓過原點 O，即 OA⊥ OB，聯立方程 x2＋ y2＝ 1， 消去 y 得 (4 ＋ 4 k2) x2 ＋2kx － 3＝0， 設 A ( x1， y1) ，B( x2， y2) ， 由韋達定理可知： 2k 3

29、 x1＋x2＝－ 4＋ k2， x1 x2＝ － 4＋k2， 2 4－ 4k2 y1y2＝ ( kx1＋ 1)( kx2＋ 1) ＝k x1x2＋ k( x1＋ x2) ＋1＝ 4＋ k2 ， → → 34－ 4k2 1 1 2 所以， OAOB＝ x1x2＋ y1y2＝－ 4＋ k2＋ 4＋ k2 ＝ 0，得 k ＝ 4，即 k＝ 2. → →

30、 (3) | OA| 2 － | OB| 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ＝ x ＋ y － ( x ＋ y ) ＝ x － x ＋ y － y 1 1 2 2 1 2 1 2 ＝ ( x1－ x2)( x1＋ x2) ＋ k( x1－ x2)[ k( x1＋ x2) ＋ 2] ＝[2 k＋ (1 ＋ k2)( x1＋ x2)]( x1－ x2) 6k x1－ x2 ＝ 4＋ k2

31、. 因為 A 在第一象限，所以 x1>0， 3 又因為 x1 x2＝－ 4＋ k2，所以 x2<0，故 x1－ x2>0， 又因為 k>0，所以 | OA|>| OB|. 9. 與直線和圓有關的軌跡問題 例 9．（ 1）設定點 M( －3,4) ，動點 N在圓 x2＋ y2＝ 4 上運動，以 OM、 ON為兩邊作平行四邊形 MONP， 則點 P 的軌跡方程為 ________． 2 2 9 21 [ 答案 ] ( x＋ 3) ＋ ( y－4) ＝ 4( x≠－ 5且 x≠－ 5 )

32、 [ 解析 ] 8 如圖所示，設 P( x，y) ， x y x0 －3 y0＋ 4 N( x0， y0) ，則線段 OP的中點坐標為 ( 2， 2) ，線段 MN的中點坐標為 ( 2 ， 2 ) ．由于平行四邊 形的對角線互相平分， x x0－ 3 y y0＋ 4 故 2＝ 2 ，2＝ 2 . x0＝ x＋ 3 從而 . y0＝ y－ 4

33、因為 N( x＋3， y－ 4) 在圓上，故 ( x＋ 3) 2＋( y－ 4) 2＝4. 2 2 9 12 21 28 因此所求軌跡為圓： ( x＋ 3) ＋ ( y－ 4) ＝ 4，但應除去兩點 ( －5， 5 ) 和 ( － 5 ， 5 )( 點 P 在直線 OM 上時的情況 ) ． （2）設圓 C與圓 x2＋ ( y－ 3) 2＝ 1 外切，與直線 y＝ 0 相切，則圓 C的圓心軌跡為 ( ) A．拋物線 B ．雙曲線

34、 C ．橢圓 D．圓 [ 答案 ] A [ 解析 ] 動圓圓心 C到定點 (0,3) 的距離與到定直線 y＝－ 1 的距離相等，符合拋物線的定義，故選 A. （3）動點 A在圓 x2＋ y2＝1 上移動時，它與定點 B(3,0) 連線的中點的軌跡方程是 ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 A． ( x＋ 3) ＋y ＝ 4 B ．( x－ 3) ＋y ＝ 1 C ． (2 x－ 3) ＋4y ＝ 1 D． ( x＋2) ＋ y ＝ 2 [ 答案 ] C [ 解析 ] 設中點 M( x， y) ，則點 A(2 x－ 3,2 y) ， ∵A 在圓 x2＋y2＝ 1 上，∴ (2 x－ 3) 2 ＋(2 y) 2＝ 1， 即(2 x－ 3) 2＋4y2＝ 1，故選 C. 9