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1、3.6簡 單 的 三 角 恒 等 變 換1 化 簡 三 角 函 數(shù) 式 的 基 本 要 求 ：(1)能 求 出 值 的 要 求 出 值 來 ；(2)使 三 角 函 數(shù) 式 的 項 數(shù) 、 三 角 函 數(shù) 的 種 類 及 角 的 種 類 盡 可能 少 ；(3)使 三 角 函 數(shù) 式 的 次 數(shù) 盡 可 能 低 ；(4)分 母 中 盡 量 不 含 三 角 函 數(shù) 式 和 根 式 答 案 ： B 2 (2013上 饒 四 校 聯(lián) 考 )已 知 (0， )， 且 sin cos 12， 則 cos 2 的 值 為 ( ) A. 74 B 74 C 74 D 14 【 解 析 】 將 sin cos 1
2、2兩 邊 平 方 ， 得 1 sin 2 14， sin 2 34， sin 0， cos 0， 可 知 2 |cos |， 2 34 ， 即 2 32 ， cos 2 74 ， 故 選 B. 【 答 案 】 B 3.（ 2014杭 州 調(diào) 研 )已 知 tan 且 0， 則 （ )A. B. C. D. 214 2 4cos 2sinsin2 2 552 552 105310102 【 解 析 】 由 tan ， 得 tan 又 0， 所 以 sin 故 【 答 案 】 A 21tan1 1tan4 312 1010 552sin22 cossin22 cossinsin24cos 2sin
3、sin2 2 4 設(shè) 、 (0， )， 且 sin( ) 513， tan2 12， 則 cos _. 【 解 析 】 tan 2 12， tan 2tan 21 tan 2 2 2 121 12 2 43， 而 (0， )， 4 ， 2 . 由 tan sin cos 43及 sin2 cos2 1 得 sin 45， cos 35. 又 sin( ) 513 22 ， 34 ， ， cos( ) 1213. cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 1213 35 513 45 1665. 【 答 案 】 1665 5.2cos 5 sin 25sin 65 的 值 為
4、 _ 【 解 析 】 2cos 5 sin 25sin 65 2cos 5 sin（ 30 5）sin 65 2cos 5 12cos 5 32 sin 5cos 25 32 sin 5 32cos 5cos 25 3（ sin 30sin 5 cos 30cos 5）cos 25 3cos 25cos 25 3. 【 答 案 】 3 三 角 函 數(shù) 式 的 化 簡(2)二 看 “ 函 數(shù) 名 稱 ” ， 看 函 數(shù) 名 稱 之 間 的 差 異 ， 從而 確 定 使 用 的 公 式 ， 常 見 的 有 “ 切 化 弦 ” ；(3)三 看 “ 結(jié) 構(gòu) 特 征 ” ， 分 析 結(jié) 構(gòu) 特 征 ，
5、可 以 幫 助 我們 找 到 變 形 的 方 向 ， 常 見 的 有 “ 遇 到 分 式 要 通 分 ”等 【 方 法 總 結(jié) 】 (1)三 角 函 數(shù) 式 的 化 簡 原 則 一 是 統(tǒng) 一 角 ， 二 是統(tǒng) 一 函 數(shù) 名 .能 求 值 的 求 值 ， 必 要 時 切化 弦 ， 更 易 通 分 、 約 分 .(2)三 角 函 數(shù) 化 簡 的 方 法 主 要 是 弦 切 互 化 ， 異名 化 同 名 ， 異 角 化 同 角 ， 降 冪 或 升 冪 . 三 角 恒 等 式 的 證 明三 角 恒 等 式 的 證 明 主 要 有 兩 種 類 型 ： 絕 對 恒 等 式 與 條 件 恒等 式 (1)
6、證 明 絕 對 恒 等 式 要 根 據(jù) 等 式 兩 邊 的 特 征 ， 化 繁 為 簡 ，左 右 歸 一 ， 變 更 論 證 ， 通 過 三 角 恒 等 式 變 換 ， 使 等 式 的 兩邊 化 異 為 同 (2)條 件 恒 等 式 的 證 明 則 要 認 真 觀 察 ， 比 較 已 知 條 件 與 求 證等 式 之 間 的 聯(lián) 系 ， 選 擇 適 當 途 徑 對 條 件 等 式 進 行 變 形 ， 直到 得 到 所 證 等 式 ， 或 者 將 欲 證 等 式 及 條 件 進 行 變 式 ， 創(chuàng) 造機 會 代 入 條 件 ， 最 終 推 導 出 所 證 等 式 （ 1) 求 證 ： （ 2）
7、已 知 ： 2sin =sin +cos ,2sin2=sin 2,求 證 ： 2cos 2=cos 2. xxxxxx x sincos11cossin1cossin 2sin 【 證 明 】 (1)因 為 左 邊 2sin xcos x sin x （ cos x 1） sin x （ cos x 1） 2sin xcos xsin2x （ cos x 1） 2 2sin xcos xsin2x cos2x 2cos x 1 2sin xcos x 2cos2x 2cos x sin x1 cos x sin x（ 1 cos x）（ 1 cos x） （ 1 cos x） sin x（
8、1 cos x）sin2x 1 cos xsin x 右 邊 所 以 原 等 式 成 立 （ 2） 由 2sin =sin +cos 兩 邊 平 方 得4sin2 =1+2sin cos =1+sin 2 ,將 2sin2 =sin 2 代 入 上 式 得 4sin2 =1+2sin2 , 2sin2 =4sin2 -1, 1-2sin2 =1-（ 4sin2 -1） =2（ 1-2sin2 ） ,此 即 cos 2 =2cos 2 , 2cos 2 =cos 2 得 證 . 三 角 形 內(nèi) 的 三 角 變 換 = 1 sin cos cos sin tan sin sin sin sin B
9、 C B CA B C B C = 1 1 1tan tan tan A B C , 無 論 如 何 交 換 y中 兩 個 角 的 位 置 ， y的 值 不 會 發(fā) 生 變 化 . （ 2） 總 有 cos(B-C) 1, y= 1 2sin tan cos cosAA A B C 1 2sintan cos 1AA A . 2sincos 1AA = 24sin cos2 2 2tan 2cos 2A A AA ,且 1tan A = 21 tan 22tan 2AA , y 1 2sintan cos 1AA A =1 1 3tan2 2tan 2 AA , 2 求 值 ： 主 要 有 三
10、 類 求 值 問 題(1)“ 給 角 求 值 ” ： 一 般 所 給 出 的 角 都 是 非 特 殊 角 ， 從表 面 來 看 是 很 難 的 ， 但 仔 細 觀 察 非 特 殊 角 與 特 殊 角 總有 一 定 關(guān) 系 ， 解 題 時 ， 要 利 用 觀 察 得 到 的 關(guān) 系 ， 結(jié) 合公 式 轉(zhuǎn) 化 為 特 殊 角 并 且 消 除 非 特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 而 得解 (2)“ 給 值 求 值 ” ： 給 出 某 些 角 的 三 角 函 數(shù) 式 的 值 ， 求另 外 一 些 角 的 三 角 函 數(shù) 值 ， 解 題 關(guān) 鍵 在 于 “ 變 角 ” ，使 其 角 相 同 或 具 有
11、某 種 關(guān) 系 (3)“ 給 值 求 角 ” ： 實 質(zhì) 是 轉(zhuǎn) 化 為 “ 給 值 求 值 ” ， 關(guān) 鍵也 是 變 角 ， 把 所 求 角 用 含 已 知 角 的 式 子 表 示 ， 由 所 得的 函 數(shù) 值 結(jié) 合 該 函 數(shù) 的 單 調(diào) 區(qū) 間 求 得 角 從 近 兩 年 的 高 考 試 題 來 看 ， 利 用 同 角 三 角 函 數(shù) 的 關(guān)系 改 變 三 角 函 數(shù) 的 名 稱 ， 利 用 誘 導 公 式 、 和 差 角 公 式及 二 倍 角 公 式 改 變 角 的 恒 等 變 換 是 高 考 的 熱 點 ， 常 與三 角 函 數(shù) 式 的 求 值 、 三 角 函 數(shù) 的 圖 象 與
12、性 質(zhì) 、 向 量 等知 識 綜 合 考 查 ， 既 有 選 擇 題 、 填 空 題 ， 又 有 解 答 題 ，屬 中 低 檔 題 1.（ 2013全 國 新 課 標 卷 )已 知 sin 2 ， 則 cos2 （ )A. B. C. D. 【 解 析 】 結(jié) 合 二 倍 角 公 式 進 行 求 解 . sin 2 cos2 【 答 案 】 A 32 461 3121 3232 6123212 2sin12 22cos14 3.（ 2013湖 南 卷 )已 知 函 數(shù) f（ x) sin cos ， g（ x) 2sin2 .（ 1)若 是 第 一 象 限 角 ， 且 f（ ) ， 求 g（
13、)的 值 ；（ 2)求 使 f（ x)g（ x)成 立 的 x的 取 值 集 合 .【 解 析 】 f（ x) sin cos sin x cos x cos x sin x sin xg（ x) 2sin 2 1 cos x. 6x 3x 6x 3x2x 53323 21 21 23 32x （ 1)由 f（ ) ， 得 sin .又 是 第 一 象 限 角 ， 所 以 cos 0.從 而 g（ ) 1 cos 1 （ 2)f（ x) g（ x)等 價 于 sin x 1 cos x，即 sin x cos x 1， 于 是 sin 從 而 2k x 2k ， k Z，即 2k x 2k ，
14、 k Z.故 使 f（ x) g（ x)成 立 的 x的 取 值 集 合 為533 53 51541sin-1 2 33 216 x6 6 6532 Zkkxkx ,3222 4.（ 2014四 川 卷 ） 已 知 函 數(shù) f（ x) sin （ 1)求 f（ x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 ；（ 2)若 是 第 二 象 限 角 ， 求 cos sin 的 值 .【 解 析 】 （ 1)因 為 函 數(shù) y sin x的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為 ， k Z，由 2k 3x 2k ， k Z，得 ， k Z. 43 x 2cos4cos543 f kk 22,22- 2 4 2 3212324
15、- kxk 所 以 ， 函 數(shù) f（ x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為 ， k Z.（ 2)由 已 知 ， 得 所 以 sin cos cos sin （ cos2 sin2 )，即 sin cos （ cos sin )2（ sin cos ).當 sin cos 0時 ， 由 是 第 二 象 限 角 ， 得 2k ，k Z，此 時 ， cos sin .當 sin cos 0時 ， （ cos sin ) 2 由 是 第 二 象 限 角 ， 得 cos sin 0，此 時 cos sin 綜 上 所 述 ， cos sin 或 3212,324 kk 22 sincos4cos544sin3 af4 4 4sinsin -4cos cos54 54 432 54 25 252
高考數(shù)學一輪復習 3.6簡單的三角恒等變換課件 文 湘教版.ppt
