《分部積分法》PPT課件.pptx

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1、第三節(jié)由 導(dǎo) 數(shù) 公 式 vuvuuv )(積 分 得 : xvuxvuuv dd 分 部 積 分 公 式xvuuvxvu dd 或 uvvuvu dd 1) v 容 易 求 得 ; xvuxvu dd)2 比 容 易 計(jì) 算 .:)d( 的 原 則或及選 取 vvu 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 分部積分法 第 三 章 例 1. 求 .dcos xxx解 : 令 ,xu ,cosxv 則 ,1u xv sin 原 式 xxsin xxdsin Cxxx cossin思 考 : 如 何 求 ?dsin2 xxx提 示 : 令 ,2xu ,sinxv 則原 式 xx cos2

2、xxx dcos2 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 2. 求 .dln xxx解 : 令 ,lnxu xv 則 ,1xu 221xv 原 式 = xx ln21 2 xxd21 Cxxx 22 41ln21 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 3. 求 .darctan xxx解 : 令 ,arctanxu xv 則 ,1 1 2xu 221xv 原 式 xx arctan21 2 xxx d121 22xx arctan21 2 xx d)1 11(21 2xx arctan21 2 Cxx )arctan(21 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié)

3、 束 例 4. 求 .dsin xxex解 : 令 ,sinxu xev , 則,cosxu xev 原 式 xexsin xxex dcos再 令 ,cos xu xev , 則,sinxu xevxexsin xxexe xx dsincos故 原 式 = Cxxex )cos(sin21說(shuō) 明 : 也 可 設(shè) veu x , 為 三 角 函 數(shù) , 但 兩 次 所 設(shè) 類 型必 須 一 致 . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 解 題 技 巧 : :的 一 般 方 法及選 取 vu 把 被 積 函 數(shù) 視 為 兩 個(gè) 函 數(shù) 之 積 , 按 “ 反 對(duì) 冪 指 三 ” 的順

4、 序 ,前 者 為 后 者 為u .v例 5. 求 .darccos xx解 : 令 ,arccos xu 1v , 則,211xu xv 原 式 = xxarccos xxx d21xxarccos )1d()1( 2221 21 xxxxarccos Cx 21 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 反 : 反 三 角 函 數(shù)對(duì) : 對(duì) 數(shù) 函 數(shù)冪 : 冪 函 數(shù)指 : 指 數(shù) 函 數(shù)三 : 三 角 函 數(shù) 例 6. 求 .dcoscosln 2 xxx解 : 令 ,cosln xu xv 2cos1 , 則,tanxu xv tan原 式 = xx coslntan xxdt

5、an2xx coslntan xx d)1(sec2xx coslntan Cxx tan 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 7. 求 .dxe x解 : 令 ,tx 則 ,2tx ttx d2d 原 式 tet t d2 tet(2 Cxe x )1(2 ,tu tev )te C 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 令 例 8. 求 .)0(d22 axax解 : 令 ,22 axu ,1v 則 ,22 ax xu xv 22 axx xaxx d22222 axx xax aax d22 222 )(22 axx xax d22 22d2 ax xa 原 式

6、 = 2221 axx Caxxa )(ln2 222 xax d22 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 9. 求 .)( d 22 nn ax xI解 : 令 ,)( 1 22 naxu ,1v 則 ,)( 2 122 nax xnu xv nI xax xn n d)(2 122 2 nax x )( 22 xaxn n d)(2 122 nax x )( 22 nIn2 122 nIan得 遞 推 公 式 nnn Iannax xanI 22221 2 12)(2 1 222 )( aax nax x )( 22 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 說(shuō) 明

7、:遞 推 公 式 nn ax xI )( d 22已 知 CaxaI arctan11 利 用 遞 推 公 式 可 求 得 .nI例 如 ,3I 2222 )(41 ax xa 2243 Ia2222 )(41 ax xa 243a 22221 ax xa 1221 Ia 2222 )(41 ax xa 22483 ax xa Caxa arctan835 nnn Iannax xanI 22221 2 12)(2 1 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 10. 證 明 遞 推 公 式 )2(1tandtan 21 nIn xxxI nnnn證 : xxxI nn d)1(se

8、ctan 22 )d(tantan 2 xxn 1tan 1 n xn 2 nI2 nI注 : 0IIn 或 1I0I ,Cx 1I Cx cosln 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 說(shuō) 明 :分 部 積 分 題 目 的 類 型 :1) 直 接 分 部 化 簡(jiǎn) 積 分 ;2) 分 部 產(chǎn) 生 循 環(huán) 式 , 由 此 解 出 積 分 式 ;(注 意 : 兩 次 分 部 選 擇 的 u , v 函 數(shù) 類 型 不 變 , 解 出 積 分 后 加 C )3) 對(duì) 含 自 然 數(shù) n 的 積 分 , 通 過(guò) 分 部 積 分 建 立 遞 推 公 式 . 例 4 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返

9、 回 結(jié) 束 例 11. 已 知 )(xf 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) 是 ,cosx x 求 .d)( xxfx 解 : xxfx d)( )(d xfx )(xfx xxf d)(x x xcos Cx xcos xsin Cx xcos2說(shuō) 明 : 此 題 若 先 求 出 )(xf 再 求 積 分 反 而 復(fù) 雜 . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 xxfx d)( xx xx xx dcos2sin2cos 2 例 12. 求 .d xI 23)1( 2x解 法 1 先 換 元 后 分 部令 ,arctanxt 即 ,tantx 則 teI t3sec ttdsec2 tt

10、et dcos tet sin ttet dsintet sin ttet dcostet cos故 CettI t )cos(sin2121 xearctan t x121 x21 xx 211x Ce x arctan 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 xeI x darctan 23)1( 2xxexI arctan2 d11 xx exxex arctan2arctan2 d111 )1(11 arctan2 xex x ICexxI x arctan212 1解 法 2 用 分 部 積 分 法 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 xex arctan211

11、xd 23)1( 2x xex arctan vu內(nèi) 容 小 結(jié) 分 部 積 分 公 式 xvuvuxvu dd 1. 使 用 原 則 : xvuv d 易 求 出 , 易 積 分2. 使 用 經(jīng) 驗(yàn) : “反 對(duì) 冪 指 三 ” , 前 u 后 v3. 題 目 類 型 :分 部 化 簡(jiǎn) ; 循 環(huán) 解 出 ; 遞 推 公 式4. 計(jì) 算 格 式 : vu 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 13. 求 xxI d)ln(sin解 : 令 ,lnxt 則 texex tt dd, tteI t dsin te tsin te tcos ttete tt dcossintsin

12、te Ittet )cos(sin CtteI t )cos(sin21 Cxxx )cos(ln)sin(ln21 可 用 表 格 法 求多 次 分 部 積 分 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 uexex uu dd, 例 14. 求 .d)(ln 43 xxx解 : 令 則原 式 ,lnxu ue3 4u ueu d ueu u d444uue4 34u 212u u24 24 0ue441 ue4412 ue4413 ue4414 ue4415 原 式 = ue441 4u 3u 243u u83 323 C Cxxxxx 323ln83ln43lnln41 2344 機(jī)

13、 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 備 用 題 . 求 不 定 積 分解 ： .d1 xexex x方 法 1 (先 分 部 , 再 換 元 ) xexex x d1 )1(d1 xx eex x2 )1(d xe 12 xex xex d12令 ,1 xeu 則 uuux d12d 2 uuu d12 2212 xex 112 u12 xex Cuu )arctan(44 Cee xx 1arctan414 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 方 法 2 (先 換 元 ,再 分 部 )令 ,1 xeu 則 ,)1ln( 2ux 故 xexex x d1 uuuu uu

14、d12)1ln()1( 222 uu d)1ln(2 2 )1ln(2 2uu uuu d14 221)1ln(2 2uu u4 Cu arctan412 xex Cee xx 1arctan414 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 1 uuux d12d 2 2. 求 xbxaeI xk d)cos(提 示 : )cos( bxa )sin( bxaa )cos(2 bxaa xkek21 xke xkek1 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 一 、 有 理 函 數(shù) 的 積 分二 、 可 化 為 有 理 函 數(shù) 的

15、積 分 舉 例有理函數(shù)的積分 第 三 章 一 、 有 理 函 數(shù) 的 積 分)( )()( xQ xPxR nnn axaxa 110 mmm bxbxb 110有 理 函 數(shù) :nm 時(shí) , )(xR 為 假 分 式 ; nm 時(shí) , )(xR 為 真 分 式有 理 函 數(shù) 相 除 多 項(xiàng) 式 + 真 分 式分 解其 中 部 分 分 式 的 形 式 為 kk qxpx NxMax A )(;)( 2 )04,N( 2 qpk若 干 部 分 分 式 之 和 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 1. 將 下 列 真 分 式 分 解 為 部 分 分 式 :;)1( 1)1( 2xx

16、 ;653)2( 2 xx x .)1)(21( 1)3( 2xx 解 : (1) 用 拼 湊 法 22 )1()1( 1 xxxx 2)1( 1 x )1( 1 xx2)1( 1 x )1( xx2)1( 1 x 11 x x1)1( xx )1( xx 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 (2) 用 賦 值 法 6532 xx x )3)(2( 3 xx x 2 x A 3 xB原 式 )2(xA 2x 233 xxx 5原 式 )3(xB 3x 323 xxx 6故 25 x原 式 36 x 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 (3) 混 合 法 )1)(21(

17、1 2xx xA21 21 xCBx原 式 )21( xA 21x 54 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 代 入 等 式 兩 端分 別 令 1,0 xC541 215461 CB 52B 51C原 式 = x21 451 21 12 xx 四 種 典 型 部 分 分 式 的 積 分 : CaxA ln )1( nCaxnA n 1)(1 xax A d.1 xax A n d)(.2 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 xqxpx NxM d.3 2 xqxpx NxM n d)(.4 2 )1,04( 2 nqp 變 分 子 為 )2(2 pxM 2pMN 再 分

18、 項(xiàng) 積 分 例 2. 求 .)1)(21( d 2 xx x解 : 已 知 )1)(21( 1 2xx 51 x21 4 212xx 21 1x xx21 )21(d52原 式 221 )1(d51 xx 21d51 xxx21ln52 )1(ln51 2x Cx arctan51 例 1(3) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 3. 求 .d3222 xxx x 解 : 原 式 xxx d322 3)22(21 x 32 )32d(21 22 xx xx 32ln21 2 xx 22 )2()1( )1d(3 x x Cx 21arctan23思 考 : 如 何 求 機(jī) 動(dòng) 目

19、錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 ?d)32( 2 22 xxx x xxx d)4)(1( 22 )4()1( 22 xx例 4. 求 .d45 5522 24 23 xxx xxxI xxx xxI d45 52 24 3 xxx x d45 52 24 2 45 )55d(21 24 24 xx xx 45ln21 24 xx 2arctan21 x Cxarctan解 : 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 說(shuō) 明 : 將 有 理 函 數(shù) 分 解 為 部 分 分 式 進(jìn) 行 積 分 雖 可 行 ,但 不 一 定 簡(jiǎn) 便 , 因 此 要 注 意 根 據(jù) 被 積 函 數(shù) 的

20、結(jié) 構(gòu) 尋 求簡(jiǎn) 便 的 方 法 . 例 5. 求 .d)22( 22 2 xxx x解 : 原 式 xxx d)22( 22 )22( 2 xx )22( x 1)1( d 2x x 222 )22( )22d( xx xx)1arctan( x 2212 xx C 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 常 規(guī) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 6. 求解 : 原 式 xx d14)1( 2 x )1( 2 x21 1d4x x 2arctan221 1xx 21 221 ln 21 xx 21 xx Cxx xx d121 2212 1 xx xx d121 2212

21、1 2)(21 21xx )d( 1xx 2)(21 21xx )d( 1xx 注 意 本 題 技 巧xx 12 xx xx 12 12ln241 22 )0( x按 常 規(guī) 方 法 較 繁 按 常 規(guī) 方 法 解 : 1d4x x第 一 步 令 )(1 224 dxcxbxaxx 比 較 系 數(shù) 定 a , b , c , d . 得 )12)(12(1 224 xxxxx第 二 步 化 為 部 分 分 式 . 即 令 )12)(12( 111 224 xxxxx 1212 22 xx DxCxx BxA比 較 系 數(shù) 定 A , B , C , D .第 三 步 分 項(xiàng) 積 分 . 此 解

22、 法 較 繁 ! 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 二 、 可 化 為 有 理 函 數(shù) 的 積 分 舉 例設(shè) )cos,(sin xxR 表 示 三 角 函 數(shù) 有 理 式 ,xxxR d)cos,(sin 令 2tan xt 萬(wàn) 能 代 換t 的 有 理 函 數(shù) 的 積 分 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 1. 三 角 函 數(shù) 有 理 式 的 積 分 則 例 7. 求 .d)cos1(sin sin1 xxx x解 : 令 ,2tan xt 則 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 2222 22cossin cossin2sin xx xxx 222

23、tan1 tan2 xx 212tt2222 2222 cossin sincoscos xx xxx 22 22tan1 tan1 xx 2211 ttxd tt d1 2 2 xxx x d)cos1(sin sin1 2121 tt212tt )1( 2211 tt tt d21 2 ttt d1221 21 221t t2 tln C2tan41 2 x 2tanx Cx 2tanln21 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 8. 求 .)0(cossin d 2222 baxbxa x解 : 原 式 xxd2cos1 222tan bxa 222 )(tan tand

24、1 abx xa)tanarctan(1 xbaba C說(shuō) 明 : 通 常 求 含 xxxx cossincos,sin 22 及的 積 分 時(shí) , xt tan 往 往 更 方 便 . 的 有 理 式用 代 換 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 9. 求 .)0(d)cossin( 1 2 baxxbxa解 法 1 xt tan令原 式 dx2)tan( bxa x2cos 2)( d bta t Cbtaa )( 1 Cxbxaa x )cossin( cos 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 xbxa cossin 例 9. 求 )0(d)cossin(

25、1 2 baxxbxa解 法 2 cos,sin 2222 ba bba a令 22 ba xba bxba a cossin 2222 sin cos原 式 )(cos d1 222 xxba Cxba )tan(1 22 Cbaxba )arctantan(1 22 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 baarctan 例 10. 求 .dsinsin1 cos2cos 423 xxx xx解 : 因 被 積 函 數(shù) 關(guān) 于 cos x 為 奇 函 數(shù) , 可 令 ,sinxt 原 式 xx 42 sinsin1 xxx dcos)2(cos2 xxx 422 sinsin1

26、)1(sin 4221 d)1( tt tt ttt d1t 1 22 12 1 3)( )d( 21 1t tt tCt t 3arctan31 1 Cxx sin3cosarctan31 2 xsind 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 2. 簡(jiǎn) 單 無(wú) 理 函 數(shù) 的 積 分 ,d),( xbaxxR n 令 n bxat ,d),( xxR n dxc bxa 令 n dxc bxat 被 積 函 數(shù) 為 簡(jiǎn) 單 根 式 的 有 理 式 , 可 通 過(guò) 根 式 代 換 化 為 有 理 函 數(shù) 的 積 分 . 例 如 : 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 ,d

27、),( xbaxbaxxR mn ,p bxat 令 ., 的 最 小 公 倍 數(shù)為 nmp 例 11. 求 .21 d3 xx解 : 令 ,23 xu 則 ,23 ux uux d3d 2原 式 u1 23u ud uuu d1 1)1(3 2 uuu d)111(3 3 221u u u 1ln C3 223 )2( x 3 23 x 3 21ln3 x C 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 12. 求 .d 3 xx x解 : 為 去 掉 被 積 函 數(shù) 分 母 中 的 根 式 , 取 根 指 數(shù) 2 , 3 的最 小 公 倍 數(shù) 6 , ,6tx 則 有原 式 23

28、tt tt d6 5 tttt d)111(6 2 6 331t 221t t t 1ln C Cxxxx )1(ln6632 663令 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 13. 求 .d11 xxxx解 : 令 ,1 xxt 則 ,112 tx 22 )1( d2d t ttx原 式 tt )1( 2 tt t d)1( 2 22 tt t d12 2 2 t2 11ln tt Cxx 12 Cxxx 1122ln 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 可 積 函 數(shù) 的 特 殊 類 型有 理 函 數(shù)分 解多 項(xiàng) 式 及 部 分 分 式 之 和 三 角 函 數(shù) 有 理 式萬(wàn) 能 代 換 簡(jiǎn) 單 無(wú) 理 函 數(shù)三 角 代 換根 式 代 換2. 特 殊 類 型 的 積 分 按 上 述 方 法 雖 然 可 以 積 出 , 但 不 一 定 要 注 意 綜 合 使 用 基 本 積 分 法 , 簡(jiǎn) 便 計(jì) 算 . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 簡(jiǎn) 便 ,