橢球數(shù)學(xué)投影變換(7節(jié)

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1、1 大 地 測 量 主 題 解 算4.7.1 大 地 主 題 解 算 的 一 般 說 明 主 題 解 算 分 為 : 短 距 離 (400km) 中 距 離 (1000km) 長 距 離 (1000km以 上 ) 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1( , ), , ( , ),P B L S A P B L A1 2正 算 : 已 知 求1 1 2 2 1 2 1 2 2 1( , ), ( , ) , ,P B L P B L S A A1 2反 算 : 已 知 ， 求 2 1.以 大 地 線 在 大 地 坐 標(biāo) 系 中 的 微 分 方 程 為 基 礎(chǔ) ， 直接 在 地 球 橢 球 面

2、上 進(jìn) 行 積 分 運 算 。 主 要 特 點 ： 解 算 精 度 與 距 離 有 關(guān) ， 距 離 越 長 ，收 斂 越 慢 ， 因 此 只 適 用 于 較 短 的 距 離 典 型 解 法 ： 高 斯 平 均 引 數(shù) 法 21212 1 2 12 12 1 c o ss inc o sta n s inPPPPPP AB B d SM AL L d SN BBA A A d SN c o ss i nc o st a n s i nd B Ad S Md L Ad S N Bd A B Ad S N 大 地 測 量 主 題 解 算 3 2.以 白 塞 爾 大 地 投 影 為 基 礎(chǔ)1)按 橢

3、球 面 上 的 已 知 值 計 算 球 面 相 應(yīng) 值 ， 即 實 現(xiàn) 橢 球 面 向 球 面 的 過 渡 ； 2)在 球 面 上 解 算 大 地 問 題 ； 3)按 球 面 上 得 到 的 數(shù) 值 計 算 橢 球 面 上 的 相 應(yīng) 數(shù) 值 ， 即 實現(xiàn) 從 圓 球 向 橢 球 的 過 渡 。典 型 解 法 ： 白 塞 爾 大 地 主 題 解 算 特 點 ： 解 算 精 度 與 距 離 長 短 無 關(guān) ， 它 既 適 用 于 短 距 離解 算 ， 也 適 用 于 長 距 離 解 算 。 可 適 應(yīng) 20 000km或 更 長 的距 離 ， 這 對 于 國 際 聯(lián) 測 ， 精 密 導(dǎo) 航 ，

4、遠(yuǎn) 程 導(dǎo) 彈 發(fā) 射 等 都具 有 重 要 意 義 。 大 地 測 量 主 題 解 算 4 4.7.2 勒 讓 德 級 數(shù) 式 為 了 計 算 的 級 數(shù) 展 開 式 ， 關(guān) 鍵 問 題 是 推 求各 階 導(dǎo) 數(shù) 。 2 2 3 32 1 1 1 1 12 32 3 n nnd B S dB d B S d B SB B B SdS n dS dS dS( ) ( ) ( ) ( )! ! ! L2 2 21B B S L L S A A S( ), ( ), ( ) 1 1 120 0 0B B L L A A( ) , ( ) , ( ) 2 2 3 32 1 1 1 1 12 32 3

5、 n nnd L S dL d L S d L SL L L S dS n dS dS dS( ) ( ) ( ) ( )! ! ! L 2 2 3 32 1 1 1 1 12 3180 2 3 n nnd A S dA d A S d A SA A A SdS n dS dS dS( ) ( ) ( ) ( )! ! ! o LB L A, , 大 地 測 量 主 題 解 算 5 一 階 導(dǎo) 數(shù) ： 3cos cossin sec sincostan sin tan sindB A V AdS M cdL A V B BdS N B cdA B VA B AdS N c 二 階 導(dǎo) 數(shù) ：

6、2 4 2 2 22 2 3 4 190( ) ( ) ( cos sin ) ( )d B dB dB dB dA V t A A dS B dS dS A dS dS c 大 地 測 量 主 題 解 算 6 三 階 導(dǎo) 數(shù) 2 22 22( ) ( ) sec sin cos (4 192)d L dL dB dL dA V t B A A dS B dS dS A dS dS c 2 2 2 22 2 1 2 4 194( ) ( ) sin cos ( ) ( )d A dA dB dA dA V A A t dS B dS dS A dS dS c 3 5 2 2 2 2 2 2 2

7、 2 23 3 1 3 9 3 1 2 2d B V A A t t A t 5 t dS c cos sin ( ) cos ( ) 3 23 22d L V t B A A dS c sec sin cos3 3 2 2 2 2 23 32 1 3d L V B A A + t t A dS c sec sin cos ( ) sin 大 地 測 量 主 題 解 算 7 1cosu S A 1sinv S A 大 地 測 量 主 題 解 算 8 大 地 測 量 主 題 解 算 9 大 地 測 量 主 題 解 算 10 4.7.3 高 斯 平 均 引 數(shù) 正 算 公 式 高斯平均引數(shù)正算公式

8、推導(dǎo)的基本思想： 首 先 把 勒 讓 德 級 數(shù) 在 P 點 展開 改 在 大 地 線 長 度 中 點 M展 開 ， 以使 級 數(shù) 公 式 項 數(shù) 減 少 ， 收 斂 快 ，精 度 高 ； 其 次 ， 考 慮 到 求 定 中 點 M 的 復(fù) 雜 性 ， 將 M 點 用 大 地 線 兩端 點 平 均 緯 度 及 平 均 方 位 角 相 對應(yīng) 的 m 點 來 代 替 ， 并 借 助 迭 代 計算 便 可 順 利 地 實 現(xiàn) 大 地 主 題 正 解 。 大 地 測 量 主 題 解 算 11 2 1,2 2S SMP MP 2 2 3 32 2 31 1( ) ( ) ( ) (4 200)2 2 4

9、 6 8M MdB S d B S d B SB B dS dS dS L2 2 3 31 2 31 1( ) ( ) ( ) (4 201)2 2 4 6 8M M M MdB S d B S d B SB B dS dS dS L(1)建 立 級 數(shù) 展 開 式 : 3 32 1 3( ) ( ) (4 202)24 M MdB d BB B B S S dS dS 大 地 測 量 主 題 解 算 12m M m MB B A A, 3 32 1 324 M MdL d LL L L S SdS dS( ) ( ) L3 321 12 324 M MdA d AA A A S SdS dS

10、( ) ( ) L 2 1 21 121 1 1802 2m mB B B A A A( ), ( ) 同 理 可 得 : M M m m B A B A, ,(2) 大 地 測 量 主 題 解 算 13 M m m M m M mm mdB f ff B A B B A AdS B A( ) ( , ) ( )( ) ( )( ) +2 2 2 2 2 288M m MmS d AA A dSS d A dS( )( ) M M M m M m m M mdB f B A F B B B A A AdS( ) ( , ) ( , ) +M m m M m M mm mdB dBdB dS d

11、Sf B A B B A AdS B A( ) ( )( ) ( , ) ( )( ) ( )( ) + 2 2 22 2 288M m MmS d BB B dSS d B dS( )( ) 大 地 測 量 主 題 解 算 14 大 地 測 量 主 題 解 算3 2m m mm m mm mA V VdB A AdS M c Ncos( ) cos cos 3 23m mm m m mmVdB AdS c t AB B N( ) ( cos )( ) cos (3)由 大 地 線 微 分 方 程 依 次 求 偏 導(dǎo) 數(shù) :3 2m m mm mmVdB A VdS c AA A N( ) (

12、 cos )( ) sin 15 2 22 2 2 2 22 2 38 8 mM m m m m m m mmS VS d BB B t A t AdS N( ) ( sin cos ) 2 2 2 2 22 2 1 28 8M m m m m m mmS d A SA A A A t dS N( ) sin cos ( ) 2 2 2 2 2 2 2 232 2 33 3 38 1 2m mM m m m m m m mm m2 2m m m m mmV VdBS S A A t A A S +dS N NV A A t + S +5 8N( ) cos cos (sin cos )sin

13、cos ( ) 次 大 地 測 量 主 題 解 算 16 23 3 2 2 2 2 23 32 2 2 2 31 3 924 243 1 5 5mM m m m m m mm 2 2m m m m m mVS d B A A t t +dS N A t + t S + ( ) cos sin ( )cos ( ) 次 2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 2 21 2 3 2243 1 9 5m m m m mm mm m m m mV SB B B S A A tN N A t( ) cos sin ( )cos ( ) 次 大 地 測 量 主 題 解 算 17 同 理 可 得 ： 2

14、2 222 2 2 21 241 9 5m m m mm mm m m mSL S B A A tN N A t sec sin sincos ( ) 次 2 2 2 2 224 2 2 21 2 7 9245 2 2 5m m m m m mm mm m m mSA S A t A tN N A t sin cos () sin ( ) 次 大 地 測 量 主 題 解 算 18 注 意 ： 從 公 式 可 知 ， 欲 求 ， 及 ， 必 先 有 及 。 但 由 于 2和 21未 知 ， 故 精 確 值 尚 不 知 ， 為 此 須用 逐 次 趨 近 的 迭 代 方 法 進(jìn) 行 公 式 的 計

15、算 。 除 此 之 外 ， 此 方 法 適 合 與 200公 里 以 下 的 大 地 問 題 解 算 ，其 計 算 經(jīng) 緯 計 算 精 度 可 達(dá) 到 0.0001”, 方 位 角 計 算 精 度可 達(dá) 到 0.001”。 2 12 1 1 11 1( )2 2 2m B BB B B B B B 12 12m A A A 2 1 2 1 21 12, , 180B B B L L L A A A 19 4.7.4 高 斯 平 均 引 數(shù) 反 算 公 式 高 斯 平 均 引 數(shù) 反 算 公 式 可 以 依 正 算 公 式 導(dǎo) 出 :上 述 兩 式 的 主 式 為 : 2 2 222 2 2 2

16、 2sinsin cos sin 24cos (1 9 ) mm m m m mmm m m mS ALS A N B S t AN S A t 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2coscos sin (2 3 2 ) 243 cos ( 1 4 )m mm m m mm mm m m m m mN S ABS A S A tV N S A t t 2sin cos , cos mm m m m mNL BS A N B S A V 20 2 30 1 2 1 0 3A t L t B L t L 2 30 1 2 1 0 32 31 0 1 2 3 0mmS A r L r B

17、L r LS A s B s B L s B sincos 32 2 2 201 21 033 31 924 24m m m m mm m m m mN N B N Br B r t r tcos coscos , ( ), 2 2 2 2 2 2 210 12 302 3 32 3 324 8m m m mm m m m m mmN N B Ns s t t s tV cos, ( ), ( ) 2 4 3 201 21 032 21 13 2 2 124 12m m m m m m m m mt t B t B t t B tcos , cos ( ), cos ( ) 21已 知 ：求

18、得 ： 1 47 46 52.6470B 1 35 49 36.3300L 12 44 12 13.6640A 44 797.2826S m2 48 04 09.6384B 2 36 14 45.0004L 21 224 30 .550A 53 12 211 1, 1802 2m mA A A A A A sintan cos mm mS AA S A sinsin mmS AS A 22 4.7.5 白 塞 爾 大 地 主 題 解 算 方 法 白 塞 爾 法 解 算 大 地 主 題 的 基 本 思 想 : 以 輔 助 球 面 為 基 礎(chǔ) ,將 橢 球 面 三 角 形 轉(zhuǎn) 換 為 輔助 球 面

19、 的 相 應(yīng) 三 角 形 ,由 三 角 形 對 應(yīng) 元 素 關(guān) 系 ,將橢 球 面 上 的 大 地 元 素 按 照 白 塞 爾 投 影 條 件 投 影 到輔 助 球 面 上 ， 然 后 在 球 面 上 進(jìn) 行 大 地 主 題 解 算 ，最 后 再 將 球 面 上 的 計 算 結(jié) 果 換 算 到 橢 球 面 上 。 這 種 方 法 的 關(guān) 鍵 問 題 是 找 出 橢 球 面 上 的 大 地元 素 與 球 面 上 相 應(yīng) 元 素 之 間 的 關(guān) 系 式 ,同 時 也 要解 決 在 球 面 上 進(jìn) 行 大 地 主 題 解 算 的 方 法 。 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,

20、, , ,B B A A L S 23 在 球 面 上 進(jìn) 行 大 地 主 題 解 算 球 面 上 大 地 主 題 正 算 : 已 知 求 解 球 面 上 大 地 主 題 反 算 : 已 知 求 解 2 2 , , 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , 24 1、 球 面 三 角 元 素 間 的 相 互 關(guān) 系1 22 11 1 2 1 22 1 2 1 2 a b c sin sin sin cos ( )sin sin sin cos ( )sin cos cos sin sin cos cos ( )sin cos sin cos cos sin c 1 2 1 2 2 1 1

21、 12 2 1 1 12 2 1 1 d e f g os ( )cos sin sin cos cos cos ( )cos cos cos cos sin sin cos ( )cos cos sin sin cos cos cos ( )cos sin cos sin 2 1 1 1 h i( )sin sin cos cos sin cos ( ) 25 球 面 上 大 地 主 題 正 解1 1 2, , , , 2已 知 求 ,2 1 1 1sin sin cos cos sin cos ( ) i 11 1 1sin sintan ( ) ( )cos cos sin sin co

22、s a f 1 12 1 1 1cos sintan ( ) ( )cos cos cos sin sin h g 26 球 面 上 大 地 主 題 反 解 方 法 1 2 1 2, , 已 知 ， 求 , , 12 1 2 1 2sin costan ( ) ( )cos cos cos sin cosu b du u u u 21 1 2 1 2sin costan ( ) ( )cos sin sin cos cos p a cq 1 11 2 1 2sin costan ( )sin sin cos cos cosp q p 27 2 、 橢 球 面 和 球 面 上 坐 標(biāo) 關(guān) 系 式

23、 28 在 橢 球 面 上 與 單 位 球 面 上 的 大 地 線 微 分 方 程 為 :AdB dSM AdL dSN BBdA AdSNcossincostan sin d dd d dA dcossincostan sin 4 2384 2394 240dB B dS d M ddL A dS d N B ddA B A dS d N dcos ( )coscos sin ( )cos sintan sin ( )tan sin 29 白 塞 爾 提 出 如 下 三 個 投 影 條 件 ： 1.橢 球 面 大 地 線 投 影 到 球 面 上 為 大 圓 弧 2.大 地 線 和 大 圓 弧

24、 上 相 應(yīng) 點 的 方 位 角 相 等 ；3.球 面 上 任 意 一 點 緯 度 等 于 橢 球 面 上 相 應(yīng) 點 的 歸化 緯 度 。 12 1 21 2,A a A a 21 1 1 1 1 1tan 1 tan tan (1 )tanu e B u B u 22 2 2 1 2 2tan 1 tan tan (1 ) tanu e B u B u 30 , ?S L 2 21 1dS N N u c aN e ed B A B V Vtan sin tantan sin tan 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 211 1 1 11eV e B W u eV u e ue

25、Vcos cos cos cos 4 2384 2394 240dB B dS d M ddL A dS d N B ddA B A dS d N dcos ( )coscos sin ( )cos sintan sin ( )tan sin 31 21 2 22 1 1PPL L L e udcos 2 21dL e ud cos 212 2 2 21 1ppdS a e u S a e udd cos cos 1dL u dS ud N B d B Vcos sincos sin 以 上 為 白 塞 爾 微 分 方 程 . 32 3 、 白 塞 爾 微 分 方 程 的 積 分21 2 21

26、ppS a e udcos 1 0 190 90u Acos( ) sin( )sin 2 2 2 1 0 11u Acos cos sin 21 21 2 2 202 2 2 201 11 1pp ppS a e A d =a e e A d( cos sin )cos sin 33 2 20 1S b k d( sin ) k k kk 2 4 62 2 1 2 2 4 6(1 sin ) 1 sin sin sin2 8 16 2 46 1 1 22 23 1 12 48 2 85 15 3 12 4 616 32 16 32x xx x xx x x xsin cossin cos c

27、ossin cos cos cos k e A2 2 2 0cos 34 積 分 得 到 下 式 ：sin 2 sin 2 cos2 4 264i i i i iS A B C L （ ）1 1 2 22 2 2 2 4 268S A B C B C （ ）sin ( cos ) sin ( cos ) - 2 4 62 4 64 63 51 4 64 256158 32 10243128 516k k kA b k kB b kkC b k( )( )( ) LLL1 1 1 1 12 2 2 2 2sin 2 sin 2 cos 2sin 2 sin 2 cos 2S A B CS A B

28、 C LL 35 適 合 于 反 算 : 適 合 于 正 算 : 迭 代 法 : 直 接 法 : 1 1 2 2sin 2 ( cos2 ) sin 2 ( cos2 )S A B C B C 1 1 1 11 2 2 2 2S B C B CA sin ( cos ) sin ( )( cos ( ) 0 1 11 2 2S B CA sin ( cos ) 0 0 1 1 01 5 2 2 4 275B C A cos ( )sin ( ) ( - ) 36 21 2 22 1 1PPL L L e udcos 21 21 2 4 62 4 62 1 2 4 62 4 21 2 8 162

29、 8 16PP PP e e eL L L u u ude e e u u udLL( cos cos cos( cos cos )cos 2 2 201u Acos cos sin 090 90A A ucos( ) sin sin( ) Ad dN usincos 2 0ud Adcos sin 37 將 三 角 函 數(shù) 冪 級 數(shù) 用 倍 角 函 數(shù) 代 替 ， 合 并 同 類項 ， 積 分 。 截 去 4倍 角 項 ， 其 值 小 于 0.0001秒 。 21 2 4 6 4 6 2 20 06 4 402 8 16 8 1616 PP e e e e eL A Ae + + A d

30、L LL Lsin ( ) ( )cos sin( )cos sin 其 緯 差 計 算 公 式 38 正 算 ： 反 算 ： 11 1 1Au u Asin sintan cos cos sin sin cos 2 1 0 2 12 2L L L Asin (sin sin ) 0 2 12 2L Asin (sin sin ) 2 4 6 4 6 62 40 04 6 62 40 0 32 8 16 16 16 12832 32 64e e e e e eA Ae e eA A( ) ( )cos ( )cos( )cos ( )cos L L L LL L 39 4 白 塞 爾 法 大

31、地 主 題 正 算 步 驟 1.計 算 起 點 的 歸 化 緯 度2.計 算 輔 助 函 數(shù) 值 ， 解 球 面 三 角 形 可 得 :3. 按 公 式 計 算 相 關(guān) 系 數(shù) A,B,C以 及 , 1 1 1 12 2 2 2 21B L A A S B L A A, , ( ), , , ( )2 21 11W e Bsin 21 111 eu BWsin sin 1 111u BWcos cos 0 1 1 1 1 1A u A tg tgu Asin cos sin sec 40 4.計 算 球 面 長 度 迭 代 法 : 直 接 法 : 1 1 1 11 2 2 2 2S B C B

32、 CA sin ( cos ) sin ( )( cos ( ) 0 1 1 1 2 2S B CA sin ( cos ) 1 0 1 0 1 02 2 2 2 2sin ( ) sin sin cos cos 1 0 1 0 1 02 2 2 2 2cos ( ) cos cos sin sin 0 0 1 1 01 5 2 2B CA cos ( )sin ( ) 41 5.計 算 經(jīng) 度 差 改 正 數(shù) 6.計 算 終 點 大 地 坐 標(biāo) 及 大 地 方 位 角 0 1 0 12 2L Asin (sin ( ) sin ) 2 1 1 1u u u Asin sin cos cos

33、cos sin 22 2 2 2 2 22 22 22 2 22 22 2 2 22 21 11 1 11 1 1 1eu B W u e B u BW u u B B arctane u e usin sin tan tancos cos sin sintan sin - sin 42 1 12 1 1 1u AA arctan u A ucos sincos cos cos sin sin 11 1 1Aarctan u u Asin sin cos cos sin sin cos 2 1L L 注 意 ： 上 述 相 關(guān) 元 素 的 計 算 要 進(jìn) 行 象 限 的 判 斷 與 確 定 。

34、 43 5 白 塞 爾 法 大 地 主 題 反 算 步 驟 1.輔 助 計 算 1 1 2 1 1 2B L B L A A S, , , , , 2 1L L L 2 21 11W e Bsin 2 22 21W e Bsin 211 1 1Bu eWsinsin 222 2 1Bu eWsinsin 11 1Bu Wcoscos 22 2Bu Wcoscos 1 1 2a u usin sin 2 1 2a u ucos cos1 1 2b u ucos sin 2 1 2b u usin cos 44 2.用 逐 次 趨 近 法 同 時 計 算 起 點 大 地 方 位 角 、 球 面 長

35、 度 及經(jīng) 差 ， 第 一 次 趨 近 時 ， 取 。21 1 2 1 2u pA u u u u qsin costan cos sin sin cos cos 2 1 2 1 pp u q b b A arctanqsin cos cos sintan cos 1 1p A q Asin sin cos 1 2a acos cos arctan sincos L L 45 計 算 下 式 ,重 復(fù) 上 述 計 算 過 程 2.3. 計 算 大 地 線 長 度 S 4. 計 算 反 方 位 角 2 1+ 1 1 1u Atan tan sec 0 1 1A u Asin cos sin 0 2 12 2L Asin (sin sin ) L 1 1 2 22 2 2 2S A B C B Csin ( cos ) sin ( cos ) 12 1 2uA b bc o s s i na r c t a n c o s 46 47 48 大 地 主 題 計 算 程 序