電子測量與智能儀器2-測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理

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1、授 課 教 師 ： 林 志 源 說 明 有 誤 差 的 測 得 值 加 上 修 正 值后 就 可 以 減 小 誤 差 影 響 。 0 0 100%xA 100% 100% A x x AA A 一 般 情 況 下 ， 可 用 絕 對 誤 差 與 實(shí)際 值 之 比 表 示 相 對 誤 差 （ 有 必 要 區(qū) 分時(shí) 稱 為 實(shí) 際 相 對 誤 差 ） ， 用 A表 示 11 1 1100% 100% 1%100A UU 22 2 1100% 100% 20%5A UU 用 相 對 誤 差 可 以 恰 當(dāng) 地 表 征 測量 的 準(zhǔn) 確 程 度 。 相 對 誤 差 是 一 個 只 有 大 小 和 符

2、號 ，而 沒 有 量 綱 的 數(shù) 值 。 100%x xx 20lg 20lg ( )ox uiUG A dBU uA A A 20lg( ) 20lg (1 ) 20lg 20lg(1 )x AAG A A A AA 20lg(1 )x AG G 20lg(1 ) 20lg(1 )dB A x 又 因 為則所 以令 測 得 值 的 相 對 誤 差 愈 小 ， 表 示 它的 準(zhǔn) 確 度 愈 高 。 所 以 評 價(jià) 測 量 水 平 時(shí)應(yīng) 當(dāng) 用 相 對 誤 差 來 比 較 ， 它 是 誤 差 計(jì)算 中 最 常 用 的 一 種 表 達(dá) 形 式 。當(dāng) 表 示 增 益 時(shí) dB=10lg(1+ p)d

3、B | | 100%mm mxx 式 中 ， xm是 儀 器 儀 表 整 個 刻 度 線 上出 現(xiàn) 的 最 大 誤 差 。 xm是 個 常 數(shù) 。 一 般 稱 此 為 誤 差 的整 量 化 。 這 種 誤 差 表 示 方 法 比 較 多 地 用 在 電 工 儀 表中 ， 其 準(zhǔn) 確 度 等 級 分 為 0.1， 0.2， 0.5， 1.0，1.5， 2.5， 5.0共 7級 ， 分 別 表 示 它 們 滿 度 相 對誤 差 百 分 數(shù) 的 分 子 可 能 出 現(xiàn) 的 最 大 數(shù) 值 （ 指 絕對 值 ） 。 對 于 電 子 測 量 儀 器 ， 引 用 誤 差 的 優(yōu) 先數(shù) 列 為 1， 2，

4、3， 5， 7。 上 述 等 級 值 通 常 用 S表示 。 例 如 ， S=1說 明 儀 器 的 滿 度 相 對 誤 差 不 超過 1%。 xm= S%xm xm與 示 值 x的 比 值 ， 即 最 大 的 示值 相 對 誤 差 100% %.m mxm x xSx x 這 個 關(guān) 系 可 以 用 下 圖 說 明 0 25 50 75 100 x 分 度 值S%xm+ xm- xm校 正 曲 線相 對 誤 差 與 刻 度 線 分 度 值 的 關(guān) 系 曲 線 圖 所 以 ， 當(dāng) 儀 器 儀 表 的 準(zhǔn) 確 度 給 定時(shí) ， 示 值 愈 接 近 滿 度 值 ， 示 值 的 準(zhǔn) 確度 愈 高 。

5、所 以 要 合 理 選 擇 儀 器 儀 表 的 量 程 及 準(zhǔn)確 度 等 級 ， 不 能 單 純 追 求 儀 器 儀 表 的 級 別 綜 上 所 述 ， 儀 表 準(zhǔn) 確 度 的 級 別 對 測 量結(jié) 果 的 影 響 很 大 。 但 一 定 不 要 把 儀 器 儀 表的 準(zhǔn) 確 度 等 級 和 測 量 結(jié) 果 的 準(zhǔn) 確 度 混 為 一談 。 測 量 誤 差儀 器 人 身方 法影 響 疏 失隨 機(jī)系 統(tǒng)準(zhǔn) 確 度 可 取 性精 密 度精 確 度 測 量 結(jié) 果 評 定 來源分類表征評 定 11 n iix xn 式 中 ， 稱 為 樣 本 平 均 值 。x x11lim( )nx in iE x

6、n i i xx E 0 xE A i ix 當(dāng) 測 量 次 數(shù) n 時(shí) ， 樣 本 平 均 值 的 極限 稱 為 測 量 值 的 數(shù) 學(xué) 期 望 。這 里 的 Ex也 稱 為 總 體 平 均 值隨 機(jī) 誤 差 ：系 統(tǒng) 誤 差 ：所 以 絕 對 誤 差 ：表 明 ： 絕 對 誤 差 等 于 隨 機(jī) 誤 差 和 系 統(tǒng) 誤 差 的 代 數(shù)和 11 0ni in 0 xE A 0 xA x E n2、 算 術(shù) 平 均 值 原 理（ 1） 算 術(shù) 平 均 值 的 意 義 對 于 有 限 次 測 量 ， 當(dāng) 測 量 次 數(shù) 足 夠 多 時(shí) 則近 似 認(rèn) 為即 由 此 可 知 ， 當(dāng) =0（ 且 無

7、xk值 ） 時(shí) ， 測 量 值 的數(shù) 學(xué) 期 望 可 以 視 為 被 測 量 的 相 對 真 值 。 因 此 通 常 把這 里 經(jīng) 多 次 等 精 度 測 量 的 算 術(shù) 平 均 值 稱 為 真 值 的 最佳 估 計(jì) 值 ， 寫 為 i iu x x 1 1 0n ni ii iu x nx （ 2） 剩 余 誤 差 各 次 測 量 值 與 其 算 術(shù) 平 均 值 之 差 ， 稱 為 剩余 誤 差 （ 又 稱 殘 差 ） 。對 剩 余 誤 差 求 和 即 當(dāng) n足 夠 大 時(shí) 剩 余 誤 差 的 代 數(shù) 和 為 0。 利 用 這 一 性 質(zhì) 可 以 檢 驗(yàn) 所 計(jì) 算 的 算 術(shù) 平 均 值是

8、 否 正 確 。 n時(shí) ，2 2 21 11 1( )n ni xi ix En n 2 11 n iin 將 此 式 開 方 ， 取 正 平 方 根 ， 得 上 式 中 ， 2稱 為 測 量 值 數(shù) 列 的 樣 本 方差 ， 稱 為 測 量 值 數(shù) 列 的 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 差 或 樣 本標(biāo) 準(zhǔn) 差 ， 簡 稱 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。 22( )21( ) 2 i xx Eix e （ xi） 與 xi的 曲 線 如 圖 所 示 ： 0 Ex xi（ xi） 0 ui（ ui） 1 2 31 2 3 0 0i i ix A x x x A 0 x x A i i xu n i i ix un n n 2

9、2 2 2 2 2 22i i x x i i x i xu u u u n 2 2in 設(shè)則 2 21 1n ii x nxn 1n 2 21 11 1 ( )1 1n ni ii iu x xn n 22 2 2 i inn u un 這 就 是 貝 塞 爾 公 式 。 式 中 ， （ n-1） 稱 為 自 由度 ， 常 用 表 示貝 塞 爾 公 式 的 另 一 種 表 達(dá) 形 式 為 ： 貝 塞 爾 公 式 是 一 個 很 有 用 的 公 式 ， 已 廣 泛 應(yīng) 用于 生 產(chǎn) 及 科 研 部 門 。 /x n xx 此 式 說 明 算 術(shù) 平 均 值 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 是 任 意 一 組

10、n次測 量 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 的 1/ n 在 運(yùn) 用 上 面 運(yùn) 算 時(shí) 需 注 意 ， 是 進(jìn) 行 n次 測 量得 到 的 一 組 數(shù) 據(jù) 時(shí) 標(biāo) 準(zhǔn) 差 的 估 計(jì) 值 ， 而 是 進(jìn) 行m組 ， 每 組 都 有 n次 測 量 數(shù) 據(jù) 時(shí) 標(biāo) 準(zhǔn) 差 的 估 計(jì) 值 ，在 使 用 時(shí) 不 要 混 淆 。 ( ) 0K a x bx x a x b 或 1ba Kdx0 a bExK (x) 設(shè)則 1K b a 12b a 22 1 ( )( )2 ( ) ( )22 12b bxa a a b b ax E x dx x dxb a ( ) 2b bx a a a bE x x dx

11、K xdx 數(shù) 學(xué) 期 望方 差測 量 值 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 1 21 2 2 2 21 1 1: : : : : : mm x x xW W W 2ixk 2 , 1,2, ,ii xkW i m 在 多 組 測 量 過 程 中 ， 若 系 統(tǒng) 誤 差 為 0， 則 權(quán)的 定 義 式 中 ， k是 常 數(shù) 。 當(dāng) Wi=1時(shí) ， 稱 為單 位 權(quán) 的 方 差 。 假 定 同 一 個 被 測 量 ， 有 m個 算 術(shù) 值 ， 設(shè) 每 組 的測 量 次 數(shù) ni不 同 ， 而 標(biāo) 準(zhǔn) 差 相 同 ， 這 時(shí) 它 們 的 權(quán) Wi就 取 決 于 測 量 次 數(shù) ni， 這 時(shí) 1 2 30.05, 0.20, 0.10 x x x 1 2 320.5 , 20.1 , 20.3x V x V x V 又 知 則