《高數(shù)教學課件》第二節(jié)之四4.極限運算法則

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1、 第一章 （一） 極限的四則運算法則 （二） 復合函數(shù)的極限運算法則 第二節(jié) 極 限四、極限運算法則 （一） 極限的四則運算法則,)(lim,)(lim BxgAxf 則有 )()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf 證: 因,)(lim,)(lim BxgAxf 則有 BxgAxf )(,)(其中 ,為無窮小) 于是)()()()( BAxgxf )()( BA由定理 1 可知也是無窮小,再利用極限與無窮小BA的關系定理 , 知定理結論成立 .定理 9 （1） 若 推論: 若,)(lim,)(lim BxgAxf 且),()( xgxf 則.BA )()()( xgxfx 利用

2、保號性定理證明 .說明: 定理 9 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示: 令 定理 9（2 ） 若,)(lim,)(lim BxgAxf 則有)()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf提示: 利用極限與無窮小關系定理及本節(jié)定理2 證明 .說明: 定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論 1 . )(lim)(lim xfCxfC ( C 為常數(shù) )推論 2 . nn xfxf )(lim)(lim ( n 為正整數(shù) )例2. 設 n 次多項式,)( 10 nnn xaxaaxP 試證).()(lim 00 xPxP nnxx 證: )(lim 0 xPnxx 0a x

3、a xx 0lim1 nxxn xa 0lim)( 0 xPn BA 為無窮小(詳見P44)B2B1 )(1xg )( 0 xx 定理9（3） 若,)(lim,)(lim BxgAxf 且 B0 , 則有)( )(lim xg xf )(lim )(lim xg xf證: 因,)(lim,)(lim BxgAxf 有,)(,)( BxgAxf其中 ,設BAxg xf )( )( BABA )( 1 BB )( AB 無窮小有界BA因此由極限與無窮小關系定理 , 得BAxg xf )( )(lim (lim )(lim xg xf BAxg xf )( )(為無窮小, 定理9 若,lim,lim

4、 ByAx nnnn 則有)(lim)1( nnn yx nnn yxlim)2( ,00)3(時且當 Byn BAyxnnn limBABA提示: 因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故此定理 可由定理9-1 , 2 , 3 直接得出結論 .定理10 .0)(lim,0)(lim),0()( )(lim)2( ;0)(lim,0)(lim,)( )(lim)1( 000 000 xgxfAxg xf xfxgAxg xf xxxxxx xxxxxx則且若則且若 （二） 復合函數(shù)的極限運算法則定理11 設,)(lim0 axxx 且 x 滿足100 xx時,)( ax 又,)(lim Aufau 則有

5、 )(lim0 xfxx Aufau )(lim證: Aufau )(lim ,0 ,0當 au0時, 有 Auf )(axxx )(lim0 ,0 ,02 當200 xx時, 有 ax)(對上述取 ,min 21 則當 00 xx時ax )( au 故0 Axf )( Auf )( ,因此式成立. 定理11. 設,)(lim0 axxx 且 x 滿足100 xx時,)( ax 又,)(lim Aufau 則有 )(lim0 xfxx Aufau )(lim 說明: 若定理中,)(lim0 xxx 則類似可得 )(lim0 xfxx Aufu )(lim 例. 求解: 令.93lim 23 x

6、xx 932 xxu已知 ux 3lim 61 原式 = uu 61lim 61 66 .1e 1lim)2();etan(sinlim)1(.45 0 xxxx xx求極限例)etan(sinlim)1( 0 xx xx 解1e 1lim)2( xx 1elim1 xx .1101 xxxx xx elimtanlimsinlim 000 1e0tan0sin 0 .32 12lim)2();352(lim)1(.46 23121 xxxxx xx 求極限例)352(lim)1( 21 xxx解 231 32 12lim)2( xxxx .4)1(32 1)1(2)1( 23 3lim5li

7、m2lim 0021 xxx xx 0352 )32(lim )12(lim 21 31 xxxxx .,031lim)1(.47 2 21值求已知例babaxx xx ,0)1(lim,031lim 212 21 xbaxx x xx且因為解,0)3(lim,10 21 axxx有由定理,031 a即.2a于是32 1lim 2 21 xx xb x )3)(1( )1)(1(lim1 xx xxx .2131lim1 xxx .,31lim)2(.47 21值求已知例bax baxxx )(31lim,0)1(lim: 211存在而因為解 x baxxx xx 0)(lim 21 baxx

8、x故01 ba即)1( ab 于是代入已知條件,得11lim3 21 x aaxxx 1 )()1(lim 21 x aaxxx 1 )1)(1(lim1 x axxxaaxx 2)1(lim1 ,123 a故.21 ab .,6)31)(21)(1(lim. 0的值求設練習ax axxxx 06)31)(21)(1(lim, 0 x axxxx得由題設解06)31)(21)(1(lim0 x xaxxxx即06)31)(21)(1(lim 0 xaxxxx于是006)031)(021)(01( a得1 a.0)1( 3)1()1(lim ,.3 2 221 x xcxbxa cbax使下式成

9、立確定 ).(0)1( 3)1()1(lim 2 221存在而極限 x xcxbxax .03)1()1(lim 221 xcxbxax故).(0)1( )1( 32)1(lim 2 1存在又 x x xbxax 0)1(lim 21 xx因解2c解得 0)1( 32)1(lim 21 x xbxax故 )1( 32lim 21 x xb x得32)1( 3232lim 2 221 xx xxx 32)1( )3(4lim 221 xx xx 2132 )1(lim32)1( )1)(1(lim 2121 xxxx xx xx 0)1( 32)1( 2/1lim 221 x xxax于是由16

10、3)1( 32)1( 2/1lim 221 x xxa x得 例48. 求解.)esin(lim)2(;)1ln(lim)1( 1 xxx x ,1)1( xu設,2lnlnlim2 uu故由復合函數(shù)的運算法則，得.2ln)1ln(lim 1 xx ,2)1(lim1 xx因為,e)2( xu 設,0sinlim0 uu故由復合函數(shù)的運算法則，得.0)esin(lim xx ,0elim xx因為 例48 求解.elim)3( 10 xx ,1)1( xu 設,0elim uu故由復合函數(shù)的運算法則，得,1lim0 xx因為.0elim 10 xx .6)3(lim3 xx 設有分式函數(shù),)(

11、 )()( xQ xPxR 其中)(,)( xQxP都是多項式 , ,0)( 0 xQ試證: .)()(lim 00 xRxRxx 證: )(lim0 xRxx )(lim )(lim00 xQ xPxx xx )( )( 00 xQ xP )( 0 xR說明: 若,0)( 0 xQ不能直接用商的運算法則 .例49 （1）39lim 23 xxx 3 )3)(3(lim3 x xxx 若 例49 （2） 求極限.43 73lim 221 xx xxx解,3)73(lim 21 xxx ,03073 43lim 221 xx xxx故.43 73lim 221 xx xxx商的法則不能用.又因為

12、,0)43(lim 21 xxx因分母的極限由無窮大與無窮小的關系,得 例49 （3） 求極限.23 )1arctan()1(lim 2 xx xxx解,021lim xx ,231 2時的無窮小是即 xxx x由無窮小的性質,得又因為23 1lim 2 xx xx因)2)(1( 1lim xx xx,2)1arctan( x ,)2arctan(有界即x .023 )1arctan()1(lim 2 xx xxx 例50 （1） 求極限.512 35lim 22 xxx解512 35lim 22 xxx )512( )35(lim 22 xxx )512( x )35( 2 x)512( x

13、)35(2 )512)(2(lim 22 x xxx )35)(42( )512)(4(lim 222 xx xxx .532 )35( 2 x 例50 （2） 求極限.)1(lim 2 xxx 解)1(lim 2 xxx )1(lim 2 xxx )1( 2 xx xxx 11lim 2 xx xxx 1 )1(lim 2 222 .0 )1( 2 xx 例51 求極限.42 93lim)1( 22 xx xxx解: x時, ,分子. 22412 713lim xx xxx 分子分母同除以,2x則.23002 003 分母“ 抓大頭”原式 例51 求極限.44 73lim)2( 23 xx

14、xxx解: .44 73lim 23 xx xxx由無窮小與無窮大的關系，得思考：能否按上例的方法，分子、分母同時除以x 的最高次冪呢？73 44lim 32 xx xxx因為32 32 713 414lim xx xxxx 0 例51 求極限解: x時, ,分子. 43 432 713 411lim xx xxxx 分子分母同除以,4x則.0003 000 分母“ 抓大頭”原式.73 4lim)3( 42 xx xxx 一般有如下結果：為非負常數(shù) )nmba ,0( 00 mn當mmmx axaxa 110lim nnn bxbxb 110 ,00ba ,0 , mn當mn當 求極限方法小結

15、1.分解因式12 1lim 221 xxxx )1)(12( )1)(1(lim1 xx xxx 3212 1lim1 xxx2.通分 31 1 311lim xxx 321 1 3)1(lim xxxx 321 1 2lim xxxx 1)1( )2(lim)1)(1( )1)(2(lim 2121 xxxxxx xx xx 3.分子分母除以最高次冪500 200300 )12( )23()12(lim x xxx )()12( )23()12(lim 500 500 200300 xx xxx分子分母除以最高次冪 4.有理化)1(lim xxx 0)()( 22 312lim4 x xx

16、)312)(22)(22( )22)(312)(312(lim4 xxx xxxx )312)(22( )22)(912(lim4 xx xxx )312)(4( )22)(82(lim4 xx xxx 322)3124( )224(2)312( )22(2lim4 xxx5.應用定理求解011 12lim1 2lim 22 x xxx xx因xxx 21lim.1 2 xxx 21lim 2故xx xxx 1arctan1sin2lim.2 2 )1arctan(sinlim12lim 2 xxxx xx 原式2112lim12lim 22 xxx xx因1sin,01arctanlim x

17、xx而01arctansinlim xxx故有界量與無窮小量的乘積還是無窮小量0)1arctan(sinlim12lim 2 xxxx xx于是 例52 已知解 由于.,01lim 2的值求babaxxxx 于是，有,001 ba a .1,1 ba x baxxxx 1 )(1(lim 2 baxxxx 1lim 2解得,01 )()1(lim 2 x bxbaxax 例52直觀上是曲線時的極限為0因此 ,當x ,0)()(lim baxxfx baxy xxy 1 2一般地，如果x上點的縱坐標與直線上相應點的縱坐標之差,當時,曲線無限地接近于直線，即直線baxy xxy 1 2是曲線的斜漸

18、近線。則稱直線baxy 為曲線)(xfy 其中的斜漸近線。,)(lim xxfa x .)(lim axxfb x 例53 求)1(4 )3( 2 xxy解 由于的漸近線.又因為 4541 xy所以,直線是曲線的斜漸近線.xxfa x )(lim )(lim axxfb x )1(4 )3(lim 21 xxx故 x=1是曲線的一條鉛直漸近線. ,41)1(4 )3(lim 2 xxxx 4)1(4 )3(lim 2 xxx x ,45)1(4 95lim xxx 例54 設)(xP解:利用前一極限式可令bxaxxxf 232)(再利用后一極限式 , 得xxP x 3 )(lim1 0可得代入

19、,0b 是多項式 , 且,12)(lim 2 3 x xxPx,13 )(lim0 xxPx又求.)(xP ,32lim 230 x baxxxx 故xxxxf 32)( 23 而,03lim0 xx ,0)2(lim 230 baxxxx故,132lim 230 x baxxxx ,3a得 內容小結1. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0)1 xx時, 用代入法( 分母不為 0 )0)2 xx時, 對 00型 , 約去公因子x)3時 , 分子分母同除最高次冪“ 抓大頭”(2) 復合

20、函數(shù)極限求法設中間變量 思考及練習1. ,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf )()(lim xgxf 是否存在 ? 為什么 ?答: 不存在 .否則由)()()()( xfxgxfxg 利用極限四則運算法則可知)(lim xg存在 ,與已知條件矛盾. ?321lim 2222 nnnnnn 解:原式22 )1(lim nnnn )11(21lim nn 212.問 3. 求.)1(lim 2 xxxx 解法 1 原式 = xx xx 1lim 2 111 1lim 2 xx 21解法 2 令,1xt tttt 1111lim 20 21則原式 = 220 11lim ttt 11 1l

21、im 20 tt 0t 4. 試確定常數(shù) a 使.0)1(lim 3 3 xaxx解 :令,1xt 則 tatt 3 30 11lim0 01 a t att 3 30 1lim 01lim 3 30 att故1a因此作業(yè)題 )1,1.(,011lim 2 bababaxxxx的值求若 習作題.,2)5(lim 2之值求已知bacbxaxxx )5( )5)(5(lim )5(lim 2 222 cbxaxx cbxaxxcbxaxx cbxaxxxx 因解cbxaxx cbxxa x 225 )25(lim 25 )25(lim xcxba xcbxax 25,025 aba故必有.20,25 ba解得 ).(),(lim2)(,)(lim.2 121 xfxfxxxfxf xx求存在設 ,)(lim1 Axfx 設解得兩邊取極限,)(lim2lim)(lim 1211 xfxxxf xxx ,121 AAA即.2)( 2 xxxf 故