謝靜《電路理論》第八章相量法

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1、返 回 第 八 章 相 量 法1. 復(fù) 數(shù) 和 正 弦 量3. 電 路 定 律 的 相 量 形 式2. 相 量 法 的 基 礎(chǔ) 2. 正 弦 量 的 相 量 表 示3. 電 路 定 律 的 相 量 形 式l 重 點(diǎn) ：1. 正 弦 量 的 表 示 、 相 位 差 返 回 1. 復(fù) 數(shù) 的 表 示 形 式 ) 1(j 為 虛 數(shù) 單 位 Fb ReIm ao |F| bajFeFF j)sin(cos| j baF j | j FeFF j| eFF 下 頁上 頁代 數(shù) 式指 數(shù) 式 極 坐 標(biāo) 式三 角 函 數(shù) 式 8.1 復(fù) 數(shù) 返 回 幾 種 表 示 法 的 關(guān) 系 ： ab baF ar

2、ctan | 22 或 sin| cos| F b Fa 下 頁上 頁Fb Re Im ao |F|baF j | j FeFF 返 回 則 F1 F2=(a1 a2)+j(b1 b2)若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2圖 解 法 下 頁上 頁F1F2 ReImo F1+F2 -F2 F1ReImo F1-F2 F1+F2 F2返 回 2. 復(fù) 數(shù) 運(yùn) 算 加 減 運(yùn) 算 采 用 代 數(shù) 式 乘 除 運(yùn) 算 采 用 極 坐 標(biāo) 式若 F1=|F1| 1 ， F2=|F2| 2 2121 )j(212j2 j122 1121 | | | | | 211|F|F eFFeF eFF FF

3、F 則 : 2121 )(j21j2j121 2121 FF eFFeFeFFF 下 頁上 頁模 相 乘角 相 加模 相 除角 相 減返 回 例 1-1 ?2510475 )226.4j063.9()657.3j41.3( 原 式 569.0j47.12 61.248.12 解 下 頁上 頁例 2 ?5j20 j6)(4 j9)(17 35 220 解 2.126j2.180 原 式 04.1462.20 3.56211.79.2724.19 16.70728.62.126j2.180 329.6j238.22.126j2.180 365.2255.132j5.182 返 回 旋 轉(zhuǎn) 因 子復(fù)

4、 數(shù) ej =cos +jsin =1 F ej FReIm0 F ej 下 頁上 頁旋 轉(zhuǎn) 因 子 返 回 j2sinj2cos ,22j e j)2sin(j)2cos(,2 2j e 1)sin(j)cos(, j e +j, j, -1 都 可 以 看 成 旋 轉(zhuǎn) 因 子 。特 殊 旋 轉(zhuǎn) 因 子 ReIm0 FFj FjF 下 頁上 頁注意返 回 8.2 正 弦 量1. 正 弦 量l瞬 時(shí) 值 表 達(dá) 式i(t)=Imcos(w t+y) ti0 Tl周 期 T 和 頻 率 f頻 率 f ： 每 秒 重 復(fù) 變 化 的 次 數(shù) 。周 期 T ： 重 復(fù) 變 化 一 次 所 需 的 時(shí)

5、 間 。單 位 ： 赫 (茲 )Hz單 位 ： 秒 sTf 1正 弦 量 為 周 期 函 數(shù) f(t)=f ( t+kT ) 下 頁上 頁 波 形 返 回 l正 弦 電 流 電 路 激 勵(lì) 和 響 應(yīng) 均 為 同 頻 率 的 正 弦 量 的 線 性 電 路（ 正 弦 穩(wěn) 態(tài) 電 路 ） 稱 為 正 弦 電 路 或 交 流 電 路 。1.正 弦 穩(wěn) 態(tài) 電 路 在 電 力 系 統(tǒng) 和 電 子 技 術(shù) 領(lǐng) 域占 有 十 分 重 要 的 地 位 。l研 究 正 弦 電 路 的 意 義 正 弦 函 數(shù) 是 周 期 函 數(shù) ， 其 加 、 減 、 求 導(dǎo) 、積 分 運(yùn) 算 后 仍 是 同 頻 率 的 正

6、 弦 函 數(shù) ； 正 弦 信 號(hào) 容 易 產(chǎn) 生 、 傳 送 和 使 用 。 下 頁上 頁優(yōu)點(diǎn)返 回 2.正 弦 信 號(hào) 是 一 種 基 本 信 號(hào) ， 任 何 非 正 弦 周 期 信號(hào) 可 以 分 解 為 按 正 弦 規(guī) 律 變 化 的 分 量 。 )cos()( kn1k k w tkAtf 對(duì) 正 弦 電 路 的 分 析 研 究 具 有 重 要 的 理論 價(jià) 值 和 實(shí) 際 意 義 。 下 頁上 頁結(jié)論返 回 (1) 幅 值 (振 幅 、 最 大 值 )Im(2) 角 頻 率 2. 正 弦 量 的 三 要 素(3) 初 相 位 y Tf 22 w 單 位 ： rad/s ， 弧 度 /秒

7、反 映 正 弦 量 變 化 幅 度 的 大 小 。相 位 變 化 的 速 度 ， 反 映 正 弦 量 變 化 快 慢 。 反 映 正 弦 量 的 計(jì) 時(shí) 起 點(diǎn) ， 常 用 角 度 表 示 。 i(t)=Imcos(w t+y) 下 頁上 頁返 回 同 一 個(gè) 正 弦 量 ， 計(jì) 時(shí) 起 點(diǎn) 不 同 ， 初 相位 不 同 。 一 般 規(guī) 定 ： |y | 。y =0 y =/2y = /2 下 頁上 頁 io wty注意 返 回 例 2-1 已 知 正 弦 電 流 波 形 如 圖 ， w 103rad/s，1.寫 出 i(t) 表 達(dá) 式 ； 2.求 最 大 值 發(fā) 生 的 時(shí) 間 t1 ti

8、o10050 t1解 )10cos(100)( 3 y tti ycos100500 t 3y由 于 最 大 值 發(fā) 生 在 計(jì) 時(shí) 起 點(diǎn) 右 側(cè)3y)310cos(100)( 3 tti 有 最 大 值當(dāng) 310 13 t ms047.1103 31 t 下 頁上 頁返 回 3. 同 頻 率 正 弦 量 的 相 位 差設(shè) u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)相 位 差 ： j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i規(guī) 定 ： |j | (180 ) 下 頁上 頁等 于 初 相 位 之 差返 回 l j 0， u超 前 i

9、j 角 ， 或 i 滯 后 u j 角 , (u 比 i 先到 達(dá) 最 大 值 )；l j 0， i 超 前 u j 角 ， 或 u 滯 后 i j 角 , i 比 u 先 到 達(dá) 最 大 值 ） 。 下 頁上 頁返 回w tu, i u iyu yijo j 0， 同 相 j = (180o ) ， 反 相特 殊 相 位 關(guān) 系 w tu io w tu ioj= /2： u 領(lǐng) 先 i /2 w tu io同 樣 可 比 較 兩 個(gè) 電 壓 或 兩 個(gè) 電 流 的 相 位 差 。 下 頁上 頁返 回 例 2-2 計(jì) 算 下 列 兩 正 弦 量 的 相 位 差 。)15 100sin(10)

10、( )30 100cos(10)( )2( 02 01 tti tti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1( 21 tti tti )45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3( 02 01 ttu ttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4( 02 01 tti tti 下 頁上 頁 解 045)2(43 j 43245 j 000 135)105(30 j )105100cos(10)( 02 tti 不 能 比 較 相 位 差21 ww 000 120)150(30 j )150100cos(3)( 0

11、2 tti 兩 個(gè) 正 弦 量進(jìn) 行 相 位 比較 時(shí) 應(yīng) 滿 足同 頻 率 、 同函 數(shù) 、 同 符號(hào) ， 且 在 主值 范 圍 比 較 。 結(jié)論 返 回 4. 周 期 性 電 流 、 電 壓 的 有 效 值 周 期 性 電 流 、 電 壓 的 瞬 時(shí) 值 隨 時(shí) 間 而 變 ， 為了 衡 量 其 平 均 效 果 工 程 上 采 用 有 效 值 來 表 示 。l周 期 電 流 、 電 壓 有 效 值 定 義R直 流 I R交 流 i ttiRW T d)(20TRIW 2物理意義 下 頁上 頁返 回 下 頁上 頁 均 方 根 值定 義 電 壓 有 效 值 ：l 正 弦 電 流 、 電 壓 的

12、 有 效 值設(shè) i(t)=Imcos(w t+ ) 返 回 ttITI T d ) (cos1 0 22m wTt ttttT TT 2121 d2 ) (2cos1d ) (cos 0 00 2 ww mm2m 707.0221 IITITI ) cos(2) cos()( m tItIti ww II 2 m 下 頁上 頁返 回 同 理 ， 可 得 正 弦 電 壓 有 效 值 與 最 大 值 的 關(guān) 系 ：UUUU 2 21 mm 或若 交 流 電 壓 有 效 值 為 U=220V ， U=380V 其 最 大 值 為 Um311V Um537V 下 頁上 頁注意 工 程 上 說 的 正

13、弦 電 壓 、 電 流 一 般 指 有 效 值 ， 如設(shè) 備 銘 牌 額 定 值 、 電 網(wǎng) 的 電 壓 等 級(jí) 等 。 但 絕 緣 水 平 、耐 壓 值 指 的 是 最 大 值 。 因 此 ， 在 考 慮 電 器 設(shè) 備 的 耐壓 水 平 時(shí) 應(yīng) 按 最 大 值 考 慮 。 返 回 測(cè) 量 中 ， 交 流 測(cè) 量 儀 表 指 示 的 電 壓 、 電 流 讀數(shù) 一 般 為 有 效 值 。 區(qū) 分 電 壓 、 電 流 的 瞬 時(shí) 值 、 最 大 值 、 有 效 值 的符 號(hào) 。 UUuIIi , , mm 下 頁上 頁返 回 8.3 相 量 法 的 基 礎(chǔ)1. 問 題 的 提 出電 路 方 程

14、是 微 分 方 程 ：兩 個(gè) 正 弦 量 的 相 加 ： 如 KCL、 KVL方 程 運(yùn) 算 ：)(dddd2 tuutuRCtuLC CCC ) cos(2 111 yw tIi ) cos(2 222 yw tIi 下 頁上 頁R L C+-uCiLu+- 返 回 i1 i1+i2 i3i2w w w角 頻 率 同 頻 的 正 弦 量 相 加 仍 得 到 同 頻 的 正 弦 量 ，所 以 ， 只 需 確 定 初 相 位 和 有 效 值 。 因 此 采 用正 弦 量 復(fù) 數(shù) 下 頁上 頁 I1 I2 I3有 效 值 1 2 3初 相 位 變 換 的 思 想w tu, i i1 i2o i3結(jié)

15、論 返 回 造 一 個(gè) 復(fù) 函 數(shù) ) j(2)( tIetF w對(duì) F(t) 取 實(shí) 部 )() cos(2)(Re titItF w 任 意 一 個(gè) 正 弦 時(shí) 間 函 數(shù) 都有 唯 一 與 其 對(duì) 應(yīng) 的 復(fù) 數(shù) 函 數(shù) 。 ) j(2)( ) cos(2 tIetFtIi ww ) sin(2j) cos(2 tItI ww 無 物 理 意 義是 一 個(gè) 正 弦 量 有 物 理 意 義3. 正 弦 量 的 相 量 表 示 下 頁上 頁結(jié)論返 回 F(t) 包 含 了 三 要 素 ： I、 、 w，復(fù) 常 數(shù) 包 含 了 兩 個(gè) 要 素 ： I , 。F(t) 還 可 以 寫 成 tt

16、eIeIetF wwy jj 22)( j 復(fù) 常 數(shù) 下 頁上 頁正 弦 量 對(duì)應(yīng) 的 相 量 ) cos(2)( IItIti w相 量 的 模 表 示 正 弦 量 的 有 效 值相 量 的 幅 角 表 示 正 弦 量 的 初 相 位注意返 回 ) cos(2)( UUtUtu w同 樣 可 以 建 立 正 弦 電 壓 與 相 量 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 ：已 知例 3-1 試 用 相 量 表 示 i, u . )V6014t311.1cos(3 A)30314cos(4.141 oo u ti解 V60220 A,30100 oo UI 下 頁上 頁例 2 試 寫 出 電 流 的 瞬 時(shí) 值

17、 表 達(dá) 式 。解 A )15314cos(250 ti . 50Hz A,1550 fI 已 知 返 回 在 復(fù) 平 面 上 用 向 量 表 示 相 量 的 圖IItIti ) cos(2)( UUtUtu ) cos(2)( wl 相 量 圖 下 頁上 頁 U I +1+j 返 回 4. 相 量 法 的 應(yīng) 用 同 頻 率 正 弦 量 的 加 減 )2Re() cos(2)( )2Re() cos(2)( j2222 j1111 tteUtUtu eUtUtu wwww j j1 21 2 j j j1 2 1 2( ) ( ) ( ) Re( 2 ) Re( 2 ) Re( 2 2 )

18、Re( 2( ) )t tt t tu t u t u t U e U eU e U e U U ew ww w w U21 UUU 相 量 關(guān) 系 為 ： 下 頁上 頁結(jié)論 同 頻 正 弦 量 的 加 減 運(yùn) 算 變 為 對(duì) 應(yīng) 相 量的 加 減 運(yùn) 算 。 返 回 i1 i2 = i3321 III 下 頁上 頁例 3-2 V )60314cos(24)( V )30314cos(26)( o21 ttu ttu V604 V 306 o2 o1 UU V )9.41314cos(264.9)()()( o21 ttututu 60430621 UUU 46.3j23j19.5 46.6j

19、19.7 V 9.4164.9 o 返 回 借 助 相 量 圖 計(jì) 算+1+j 30 1U602U 9.41 U 首 尾 相 接 下 頁上 頁V604 V 306 o2o1 UU +1+j 9.41U 602U30 1U返 回 正 弦 量 的 微 分 、 積 分 運(yùn) 算 ) cos(2 ii IItIi yyw j2Re 2Redddd j j tt eIeItti ww w tt eIteIti j j j2Re d 2Red ww w微 分 運(yùn) 算 積 分 運(yùn) 算 2 jdd iIIti yww 2 jd iIIti yww 下 頁上 頁返 回 例 3-3 ) cos(2)( itIti

20、yw d1dd)( tiCtiLRitu用 相 量 運(yùn) 算 ： jj CIILIRU ww 把 時(shí) 域 問 題 變 為 復(fù) 數(shù) 問 題 ； 把 微 積 分 方 程 的 運(yùn) 算 變 為 復(fù) 數(shù) 方 程 運(yùn) 算 ； 可 以 把 直 流 電 路 的 分 析 方 法 直 接 用 于 交 流 電 路 。 下 頁上 頁 Ri(t)u(t) L+- C相量法的優(yōu)點(diǎn) 返 回 正 弦 量 相 量時(shí) 域 頻 域 相 量 法 只 適 用 于 激 勵(lì) 為 同 頻 正 弦 量 的 非 時(shí) 變線 性 電 路 。 相 量 法 用 來 分 析 正 弦 穩(wěn) 態(tài) 電 路 。正 弦 波 形 圖 相 量 圖 下 頁上 頁 注意不適用

21、線性 線性w1w2 非線 性w 返 回 8.4 電 路 定 律 的 相 量 形 式1. 電 阻 元 件 VCR的 相 量 形 式時(shí) 域 形 式 ：相 量 形 式 ： ii RIUII R 相 量 模 型 )cos(2)( itIti w )cos(2)()( R itRItRitu wuR(t)i(t) R+- 有 效 值 關(guān) 系相 位 關(guān) 系R+-RU I UR u相 量 關(guān) 系 ： IRU RUR=RIu=i 下 頁上 頁返 回 瞬 時(shí) 功 率 iup RR 波 形 圖 及 相 量 圖 iw to uRpR RUIu=iURI 瞬 時(shí) 功 率 以 2w交 變 ， 始 終 大 于 零 ， 表

22、明 電 阻 始 終 吸 收 功 率 ) (cos22 2R itIU ) (2cos1R itIU 同相位 下 頁上 頁返 回 時(shí) 域 形 式 ：相 量 形 式 ： ) cos(2)( itIti w )2 cos( 2 ) sin(2d )(d)( i iL tIL tILttiLtu ww ww相 量 模 型 相 量 關(guān) 系 ： IXILU LL jj w 2. 電 感 元 件 VCR的 相 量 形 式 2 iLi LIUII w 下 頁上 頁有 效 值 關(guān) 系 ： U=w L I相 位 關(guān) 系 ： u=i +90 i(t)uL(t) L+- jw L+-LU I 返 回 感 抗 的 性

23、質(zhì) 表 示 限 制 電 流 的 能 力 。 感 抗 和 頻 率 成 正 比 。相 量 表 達(dá) 式XL=wL=2fL， 稱 為 感 抗 ， 單 位 為 (歐 姆 )BL=-1/w L =-1/2fL， 稱 為 感 納 ， 單 位 為 S(西 門 子 ) 感 抗 和 感 納 ,jj ILIXU L w 開 路 短 路(直 流 ) , , ,0 ,0 L LX Xww ULULUBI L ww j11jj 下 頁上 頁返 回wXLO 功 率 ) (2sin ) sin()cos( L mLmLL i iitIU ttIUiup w www t io uL pL2 瞬 時(shí) 功 率 以 2w交 變 ，

24、有 正 有 負(fù) ， 一 周 期 內(nèi) 剛好 互 相 抵 消 ， 表 明 電 感 只 儲(chǔ) 能 不 耗 能 。LU Ii波 形 圖 及 相 量 圖 電 壓 超 前電 流 900 下 頁上 頁返 回 時(shí) 域 形 式 ：相 量 形 式 ： )cos(2)( utUtu w )2 cos(2 ) sin(2d )(d)(C u utCU tCUttuCti ww ww相 量 模 型iC(t)u(t) C+- U C I+- Cj1 相 量 關(guān) 系 ： IXICU C j1j w 3. 電 容 元 件 VCR的 相 量 形 式 2 uCu CUIUU w 下 頁上 頁有 效 值 關(guān) 系 ： IC=w CU相

25、 位 關(guān) 系 ： i=u+90 返 回 XC=-1/w C， 稱 為 容 抗 ， 單 位 為 (歐 姆 )B C = w C， 稱 為 容 納 ， 單 位 為 S(西 門 子 ) 容 抗 和 頻 率 成 反 比 。 w 0， |XC| 直 流 開 路 (隔 直 )。w ， |XC|0 高 頻 短 路 。容 抗 與 容 納相 量 表 達(dá) 式 UCUBI ICIXU CC wwjj 1jj 下 頁上 頁返 回 1jj ICIXU C ww |XC|O 功 率 )(2sin )sin()cos(2C CC u uuC tUI ttUIuip w t iCo upC 瞬 時(shí) 功 率 以 2w交 變 ，

26、 有 正 有 負(fù) ， 一 周 期內(nèi) 剛 好 互 相 抵 消 ， 表 明 電 容 只 儲(chǔ) 能 不 耗 能 。 UCI u波 形 圖 及 相 量 圖 電 流 超 前電 壓 900 下 頁上 頁2 返 回 4. 基 爾 霍 夫 定 律 的 相 量 形 式 0)(ti同 頻 率 的 正 弦 量 加 減 可 以 用 對(duì) 應(yīng) 的 相 量 形 式來 進(jìn) 行 計(jì) 算 。 因 此 ， 在 正 弦 電 流 電 路 中 ， KCL和KVL可 用 相 應(yīng) 的 相 量 形 式 表 示 ： 流 入 某 一 結(jié) 點(diǎn) 的 所 有 正 弦 電 流 用 相 量 表 示時(shí) 仍 滿 足 KCL； 而 任 一 回 路 所 有 支 路

27、正 弦 電 壓 用相 量 表 示 時(shí) 仍 滿 足 KVL。 0 2Re)( j21 teIIti w 0I 0)(tu 0U 下 頁上 頁表明返 回 j .5 CC CIU w例 4-1 試 判 斷 下 列 表 達(dá) 式 的 正 、 誤 。Liu .1 w 005 cos5 .2 ti w mm j .3 CUI w LLL .4 IUX LL j .6 ILU w tiCu dd .7 U I mmIU Cwj1L 下 頁上 頁返 回 例 4-2 )(:),5cos(2120)( titt u 求已 知 解 00120U 20j54jj LX 10j02.05 1jj CX 相 量 模 型 下

28、 頁上 頁+_ 15u 4H 0.02Fi U j20-j101I 2I 3II+_ 15返 回 A9.3610681268 101201151120 0 jjj jj A)9.365cos(210)( 0 tt i 下 頁上 頁CLCLR jj XUXURUIIII U j20-j10 1I 2I 3II+_ 15返 回 例 4-3 )(:),1510cos(25)( 06 tutti S求已 知 解 0155I 5j102.010 1jj 66C X V302254525155 5j5155 000 0CRS UUU R,UI CU 下 頁上 頁+_ 5uS 0.2Fi 相 量 模 型 +

29、_ 5I -j5U SU返 回 例 4-4圖 示 電 路 I1=I2=5A， U 50V， 總 電 壓 與 總 電 流同 相 位 ， 求 I、 R、 XC、 XL。0CC 0 UU設(shè)解 法 1 5j ,05 201 II 045255j5 I )j1(2505j)5j5(4550 0 RXU L 252505 LL XX 2102502552505 C XRR令 等 式 兩 邊 實(shí) 部 等 于 實(shí) 部 ， 虛 部 等 于 虛 部 下 頁上 頁U jXC1I 2I+_ RI jXL UC+-返 回 U25I CR UU 2I 1I045 LU V50 LUU 252550LX 2105 250 C RX 下 頁上 頁 畫 相 量 圖 計(jì) 算 U jXC1I 2I+_ RI jXL UC+-解 法 2 返 回 例 4-6 圖 示 電 路 為 阻 容 移 項(xiàng) 裝 置 ， 如 要 求 電 容 電壓 滯 后 與 電 源 電 壓 /3， 問 R、 C應(yīng) 如 何 選 擇 。IXIRU CS j 解 1 CSCCC jj ,j XRUXUXRUI S 1j CS CRUU w 畫 相 量 圖 計(jì) 算 360tan 0 CRw CRCIRIUUCR ww /360tan 0 RU SUI CU060 上 頁U jXC+_ RI +- CU解 2 返 回