高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.4 課時(shí)2 不等式的證明課件 理.ppt
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,§14.4 不等式選講,課時(shí)1 不等式的證明,,,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.不等式證明的方法 (1)比較法: ①作差比較法: 知道ab?a-b0,ab只要證明 即可,這種方法稱為作差比較法. ②作商比較法: 由ab0? 1且a0,b0,因此當(dāng)a0,b0時(shí),要證明ab,只要證明 即可,這種方法稱為作商比較法.,a-b0,,知識(shí)梳理,1,,答案,(2)綜合法: 從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理,經(jīng)過推理論證,最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明方法叫綜合法.即“ ”的方法. (3)分析法: 從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等),從而得出要證的不等式成立,這種證明方法叫分析法.即“ ”的方法.,由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,,答案,(4)反證法和放縮法: ①先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,這種方法叫做反證法. ②在證明不等式時(shí),有時(shí)要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小,此利于化簡(jiǎn)并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立,這種方法稱為放縮法.,(5)數(shù)學(xué)歸納法: 一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟: ①證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k (k∈N*,且k≥n0)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立. 在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.,2.幾個(gè)常用基本不等式 (1)柯西不等式: ①柯西不等式的代數(shù)形式:設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥ (當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立). ②柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β為平面上的兩個(gè)向量,則|α||β|≥|α·β|,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)α,β共線時(shí)成立.,(ac+bd)2,,答案,(2)算術(shù)—幾何平均不等式,,答案,解 根據(jù)柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),,,考點(diǎn)自測(cè),2,,解析答案,1,2,3,≤(12+12+12)(a+b+c)=3.,,解析答案,1,2,3,解 ∵x0,y0,,,1,2,3,解析答案,返回,,題型分類 深度剖析,證明 因?yàn)閤0,y0,x-y0,,,,題型一 用綜合法與分析法證明不等式,,解析答案,只需證明(a+b+c)2≥3. 即證:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而ab+bc+ca=1, 故需證明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 即證:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.,所以原不等式成立.,,解析答案,思維升華,,用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?,用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”,它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過程,表述簡(jiǎn)單、條理清楚,所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí),往往用分析法找思路,用綜合法寫步驟,由此可見,分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化,互相滲透,互為前提,充分利用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開闊視野.,思維升華,設(shè)a、b、c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:,證明 由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,證明 當(dāng)|a+b|=0時(shí),不等式顯然成立. 當(dāng)|a+b|≠0時(shí),,,,題型二 放縮法證明不等式,,解析答案,思維升華,,(1)在不等式的證明中,“放”和“縮”是常用的推證技巧. 常見的放縮變換有:,②利用函數(shù)的單調(diào)性;,(2)在用放縮法證明不等式時(shí),“放”和“縮”均需把握一個(gè)度.,思維升華,證明 由2n≥n+kn(k=1,2,…,n),,…,跟蹤訓(xùn)練2,∴原不等式成立.,,解析答案,例3 已知x,y,z均為實(shí)數(shù).,≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.,,,題型三 柯西不等式的應(yīng)用,,解析答案,(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.,,解析答案,思維升華,,(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形,化為符合它的結(jié)構(gòu)形式,當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí),就可使用柯西不等式進(jìn)行證明.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,返回,證明 由柯西不等式及題意得,,,返回,,思想方法 感悟提高,證明不等式的方法和技巧: (1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯,可考慮用分析法;如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題,則考慮用反證法;如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān),則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等. (2)在必要的情況下,可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問題的表述和證明.尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明,其簡(jiǎn)化的基本思路是去絕對(duì)值號(hào),轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解.多以絕對(duì)值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、并起來”為簡(jiǎn)化策略,而絕對(duì)值三角不等式,往往作為不等式放縮的依據(jù).,(3)在使用基本不等式時(shí),等號(hào)成立的條件是一直要注意的事情,特別是連續(xù)使用時(shí),要求分析每次使用時(shí)等號(hào)是否成立. (4)柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式,也要注意等號(hào)成立的條件.,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.已知x+y=1,求2x2+3y2的最小值.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 由柯西不等式可得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,又a+b+c0,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,6.已知a,b,c∈R,且2a+2b+c=8,求(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值.,解 由柯西不等式得 (4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2, ∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2b+c-1)2. ∵2a+2b+c=8,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,證明:(1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.,(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立, 則由a2+a<2及a>0得0<a<1; 同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾. 故a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(1)關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|a的解集不是空集,求a的取值范圍;,解 ∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,且|x-3|+|x-4|1,即a的取值范圍是(1,+∞).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 由柯西不等式,得,即25×1≥(x+y+z)2. ∴5≥|x+y+z|,∴-5≤x+y+z≤5. ∴x+y+z的取值范圍是[-5,5].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,10.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).,解 因?yàn)閍,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)求證:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,返回,證明 方法一 由a,b∈(0,+∞),a+b=1, x1,x2∈(0,+∞),及柯西不等式可得:,所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,方法二 因?yàn)閍,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞), 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1),≥x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2)=x1x2(a2+b2+2ab) =x1x2(a+b)2=x1x2, 當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),取得等號(hào). 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,返回,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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