2022-2023學年廣東省廣州市高一年級下冊學期第16周周練數學試題【含答案】

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1、一、 單選題: 1．設，則（????） A．，B．，C．，D．， 2．某社區(qū)衛(wèi)生室為了了解該社區(qū)居民的身體健康狀況，對該社區(qū)1100名男性居民和900名女性居民按性別采用等比例分層隨機抽樣的方法進行抽樣調查，抽取了一個容量為100的樣本，則應從男性居民中抽取的人數為（????） A．45 B．50 C．55 D．60 3．工人師傅在檢測椅子的四個“腳”是否在同一個平面上時，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運用的數學原理是（????） A．兩條相交直線確定一個平面B．兩條平行直線確定一個平面 C．四點確定一個平面D．直線及直線外一點確定一個平

2、面 4．在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，則（????） A． B． C． D． 5．已知平面，且，，則直線a，b的關系為（????） A．一定平行 B．一定異面 C．不可能相交 D．相交、平行或異面都有可能 6．已知向量，點，，記為在向量上的投影向量，若，則（????） A． B． C． D． 7．由下列條件解，其中有兩解的是（????） A． B． C． D． 8．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（????） A． B． C． D． 二、多選題： 9．一組數據6，7，8，a，12的平均數為

3、8，則此組數據的（????） A．眾數為7B．極差為6C．中位數為8D．方差為 10．如圖，在正方體中，點在線段上運動，有下列判斷，其中正確的是（????） A．平面平面 B．平面 C．異面直線與所成角的取值范圍是 D．三棱錐的體積不變 11．有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中(為非零常數，則（????） A．兩組樣本數據的樣本平均數相同B．兩組樣本數據的樣本中位數相同 C．兩組樣本數據的樣本標準差相同D．兩組樣本數據的樣本極差相同 12．如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則（????） A． B． C． D． 三

4、、填空題： 13．已知向量的夾角為45°，，且，若，則________． 14．若復數滿足（為虛數單位），則的虛部為___________. 15．將函數的圖像上的所有點向右平移個單位，則所得的圖像的函數表達式為___________. 16．下列命題中正確的命題為__________. ①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點共線； ②若三條直線互相平行且分別交直線于三點，則這四條直線共面； ③若直線異面，異面，則異面； ④若，則. 四、 解答題： 17．某地統(tǒng)計局就該地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端

5、點，不包括右端點，如第一組表示收入在. (1)求居民月收入在的頻率； (2)根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數； (3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在的這段應抽多少人？ . 18．設A，B，C，D為平面內的四點，且. (1)若，求D點的坐標； (2)設向量，若向量與平行，求實數k的值. 19．如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點. (1)求證：平面平面； (2)點在棱上，滿足且三棱錐的體積為

6、，求的值. 20．如圖，在四棱錐中，，為棱的中點，平面. (1)證明：平面 (2)求證：平面平面 (3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值. 參考答案： 1．A 【分析】由復數乘法運算和復數的相等可直接求得結果. 【詳解】由得：，，. 故選：A. 2．C 【分析】根據分層抽樣的規(guī)則運算即可. 【詳解】應從男性居民中抽取的人數為； 故選：C. 3．A 【分析】利用平面的基本性質求解. 【詳解】解：由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格， 所以工人師傅運用的數學原理是“兩條相交直線確定一個平面”

7、. 故選：A 4．D 【分析】根據條件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解. 【詳解】由正弦定理： 得 又因為，所以 令 所以 故選：D. 5．C 【分析】根據空間線面間的位置關系判斷． 【詳解】由平面，且，可知直線a，b沒有公共點，故它們一定不相交，即可能是平行或異面． 故選：C． 6．B 【分析】根據投影向量的定義求解． 【詳解】由已知，，， 在向量上的投影向量為， 所以， 故選：B． 7．C 【分析】只有是已知兩邊及一邊的對角，且已知角為銳角才可能出現兩解，此時先求另一邊所對的角，再結合邊角關系來判斷解的個數 【詳解】對于A，,由正弦定理可

8、得, 由和可知和只有唯一解, 所以只有唯一解，所以A錯誤； 對于B，由余弦定理可知只有唯一解， 由余弦定理可得,又且在上單調遞減， 所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解， 所以只有唯一解，所以B錯誤； 對于C，由正弦定理可得,所以,由可知， 因此滿足的有兩個， 所以有兩解，所以C正確； 對于D.由余弦定理可知只有唯一解， 由余弦定理可得,又且在上單調遞減, 所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解， 所以只有唯一解,所以D錯誤 故選：C 8．C 【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式

9、，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值. 【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式 設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r， 設四邊形ABCD對角線夾角為， 則 （當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立） 即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為 又設四棱錐的高為，則， 當且僅當即時等號成立. 故選：C [方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式 由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高， (當且僅當，即時，等號

10、成立) 所以該四棱錐的體積最大時，其高. 故選：C． [方法三]：利用導數求最值 由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設，則， ，，單調遞增， ，，單調遞減， 所以當時，最大，此時． 故選：C. 【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解； 方法二：消元，實現變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，實現變量統(tǒng)一，利用導數求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法． 9．ABD 【分析】由平均數定義求得參數，然后再由眾數、極差、中位數、方差的定義求

11、解． 【詳解】由題意，， 因此眾數是7，極差是， 5 個數從小到大排列為，中位數是7， 方差為， 故選：ABD． 10．ABD 【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷； 對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷； 對于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可； 對于D，先利用線線平行得到點到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷. 【詳解】對于A，連接，如圖， 因為在正方體中，平面， 又平面，所以， 因為在正方形中，又與為平面內的兩條相交直

12、線，所以平面， 因為平面，所以，同理可得， 因為與為平面內兩條相交直線，可得平面， 又平面，從而平面平面，故A正確； .?? 對于B，連接，，如圖， 因為，，所以四邊形是平行四邊形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又、為平面內兩條相交直線，所以平面平面， 因為平面，所以平面，故B正確； 對于C，因為，所以與所成角即為與所成的角， 因為，所以為等邊三角形， 當與線段的兩端點重合時，與所成角取得最小值； 當與線段的中點重合時，與所成角取得最大值； 所以與所成角的范圍是，故C錯誤； 對于D，由選項B得平面，故上任意一點到平面的距離均相等， 即點到面平面

13、的距離不變，不妨設為，則， 所以三棱錐的體積不變，故D正確． 故選：ABD. 【點睛】關鍵點睛：解答本題關鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化嚴密推理. 11．CD 【分析】A、C利用兩組數據的線性關系有、，即可判斷正誤；根據中位數、極差的定義，結合已知線性關系可判斷B、D的正誤. 【詳解】A：且，故平均數不相同，錯誤； B：若第一組中位數為，則第二組的中位數為，顯然不相同，錯誤； C：，故方差相同，正確； D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；

14、 故選：CD 12．CD 【分析】找到三棱錐的高，利用三棱錐體積公式分別求出，，，進而判斷出結果. 【詳解】 如圖連接交于O，連接.設，則. 由平面，，所以平面， 所以， . 由平面，平面，所以. 又，且，平面， 所以平面，所以. 易知， ， 所以，所以,而， 平面，所以平面. 又， ， 所以有， 所以選項AB不正確，CD正確. 故選：CD. 13． 【分析】根據已知條件求得，再由向量垂直數量積為0，即可求出得答案． 【詳解】向量，的夾角為，，且， ，可得， ， 可得：， . 故答案為：. 14．-2 【分析】將化成的形式即可. 【詳

15、解】解：由題得. 所以z的虛部為. 故答案為：-2. 15． 【分析】直接利用三角函數圖象的變換知識求解. 【詳解】解：將函數的圖像上的所有點向右平移個單位，則所得的圖像的函數表達式為. 故答案為： 16．①② 【分析】根據三點共線和共面的性質、異面直線的性質、垂直的性質逐一判斷即可. 【詳解】對于①，設平面平面，因為，所以平面， 所以，同理，，故三點共線，①正確； 對于②，因為，所以可以確定一個平面， 因為所以，所以，又， 所以，因為，所以或，又， 所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以②正確； 對于③，直線異面，異面，但是平行，所以③錯誤，如下右圖； 對于

16、④，，但，所以④錯誤，如下左圖. 故正確的命題為①②. 故答案為：①② 17．(1)0.15 (2)2400元 (3)25人 【分析】（1）根據圖中所對應的頻率/組距的值，乘上組距，即可得到月收入在的頻率. （2）通過比較幾個區(qū)間的頻率之和與0.5的關系，判斷出中位數所在區(qū)間，進而求出樣本數據的中位數. （3）根據表格先居民月收入在的頻率，接著計算10000人中月收入在的人數，再根據分層抽樣抽出100人，計算得出月收入在的這段應抽取的人數. 【詳解】（1）月收入在的頻率為： ∴居民月收入在的頻率為0.15. （2）， ， ， ， ∴樣本數據的中位數為

17、 ∴樣本數據的中位數為2400元. （3）居民月收入在的頻率為： ， ∴10000人中月收入在的人數為： ， 再從10000人中分層抽樣方法抽出100人， 則月收入在的這段應抽取： ， ∴月收入在的這段應抽25人. 18．(1)； (2). 【分析】（1）求出向量坐標，再利用相等向量列出方程組，求解作答. （2）求出的坐標，再利用向量線性運算的坐標表示，及共線向量的坐標表示求解作答. 【詳解】（1）設，因為，于是，整理得， 即有，解得， 所以. （2）因為， 所以，， 因為向量與平行，因此，解得， 所以實數k的值為. 19．(1)證明見解析. (2

18、). 【分析】（1）連接，證明，繼而證明平面，推得，從而證明平面，根據面面垂直的判定定理即可證明結論； （2）由題意可推得，從而設點到平面的距離分別為，利用三棱錐等體積法分別求得，根據，即可求得答案. 【詳解】（1）由題意底面， ,， 則底面為直角梯形， 連接 ，則,故四邊形為矩形， 則 ， 所以四邊形為正方形，所以 ， 因為側面為等邊三角形，O是 的中點， 所以 ，平面， 因為平面平面，平面平面， 所以平面，因為平面， 所以，因為平面 ， 所以平面， 因為平面 ，所以平面平面. （2）因為底面中， ,， 側面 為等邊三角形，O是的中點， 所以,,, ，

19、 因為平面，平面， 所以 ， 所以 ， 因為 ， 所以,所以 , 設點到平面的距離分別為， 因為 ，所以 , 即，故， 因為三棱錐的體積為， 所以 所以 ，解得， 所以，即 因為，所以 . 20．(1)證明見解析 (2)證明見解析 (3) 【分析】（1）因為且，所以為平行四邊形，則，利用線面平行的判定定理即可得證； （2）由已知可得，，由線面垂直的判定定理可得面，進而即可證得結論； （3）由平面可得，作于，可知面，所以為直線與平面所成角，在直角中求解即可． 【詳解】（1）∵且，∴四邊形為平行四邊形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2）∵平面，平面，∴， 連接，∵且，∴四邊形為平行四邊形， ∵，，∴平行四邊形為正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3）∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因為平面，∴ ∴為二面角的平面角，從而，所以， 作于，連接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以為直線與平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因為面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 則直線與平面所成角的正切值為.