高中數(shù)學(xué) 探究導(dǎo)學(xué)課型 第二章 基本初等函數(shù)（I）2.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 第1課時(shí) 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)課件 新人教版必修1

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1、2.2.2 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 及 其 性 質(zhì)第 1課 時(shí) 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 象 及 性 質(zhì) 【 自 主 預(yù) 習(xí) 】主 題 1:對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 概 念1.考 古 學(xué) 家 一 般 通 過(guò) 提 取 附 著 在 出 土 文 物 、 古 遺 址 上死 亡 物 體 的 殘 留 物 ， 利 用 (P為 碳 14含 量 )估算 出 土 文 物 或 古 遺 址 的 年 代 t.那 么 t是 P的 函 數(shù) 嗎 ？ 為什 么 ？ 5 730 12t log P 提 示 ： t是 P的 函 數(shù) ， 因 為 對(duì) 于 P每 取 一 個(gè) 確 定 的 值 按 照對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 f: 都 有 唯 一 的 值 與 之 相

2、 對(duì) 應(yīng) ， 故 t是 P的 函 數(shù) . 5 730 12t log P ， 2.問(wèn) 題 1中 函 數(shù) 的 解 析 式 與 函 數(shù) y=log2x的解 析 式 有 什 么 共 同 特 征 ？文 字 語(yǔ) 言 描 述 ： 它 們 都 是 自 變 量 出 現(xiàn) 在 _位 置 上 ，底 數(shù) 為 常 數(shù) ， 以 _為 函 數(shù) 值 的 函 數(shù) . 符 號(hào) 語(yǔ) 言 描 述 ： _(a0， a 1).5 730 12t log P 真 數(shù)對(duì) 數(shù)y=log ax 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 定 義 ： 函 數(shù) _， 叫 做 對(duì)數(shù) 函 數(shù) ， 其 中 x是 _， 函 數(shù) 的 定 義 域 是 _.y=logax(a0且 a

3、1)自 變 量 (0， + ) 主 題 2： 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 象 與 性 質(zhì)1.在 同 一 坐 標(biāo) 系 內(nèi) 畫(huà) 出 函 數(shù) y=log2x和 y=log3x的 圖 象 .并 說(shuō) 出 函 數(shù) 圖 象 從 左 到 右 的 變 化 趨 勢(shì) . 提 示 ： (1)列 表x 1 2 3 4y=log2x -2 -log23 -1 0 1 log23 2y=log3x -log34 -1 -log32 0 log32 1 log3414 13 12 描 點(diǎn) 畫(huà) 圖(2)圖 象 的 變 化 趨 勢(shì) ： 這 兩 個(gè) 函 數(shù) 的 圖 象 從 左 到 右 均 是不 斷 上 升 的 . 2.在 問(wèn) 題 1所

4、 畫(huà) 圖 象 的 基 礎(chǔ) 上 ， 再 畫(huà) 出 函 數(shù) 和 的 圖 象 ， 并 說(shuō) 出 新 畫(huà) 出 的 兩 個(gè) 函 數(shù) 圖 象 的 變 化趨 勢(shì) 及 這 四 個(gè) 函 數(shù) 圖 象 的 特 征 . 12y log x13y log x 提 示 ：(1)函 數(shù) 和 的 圖 象 從 左 到 右 是 下 降 的 .(2)函 數(shù) y=log2x和 的 圖 象 關(guān) 于 x軸 對(duì) 稱(chēng) ， 同樣 ， 函 數(shù) y=log3x和 的 圖 象 也 關(guān) 于 x軸 對(duì) 稱(chēng) .12y log x 13y log x 12y log x 1 3y log x (3)這 四 個(gè) 函 數(shù) 的 定 義 域 均 為 (0， + )，

5、值 域 為 R， 都過(guò) 定 點(diǎn) (1， 0).(4)由 指 數(shù) 式 y=2x可 得 到 對(duì) 數(shù) 式 x=log2y， 習(xí) 慣 上 寫(xiě) 成y=log2x， 稱(chēng) y=log2x為 y=2x的 反 函 數(shù) ， 反 之 ， y=2x也 是y=log2x的 反 函 數(shù) . y=logax(a1) y=logax(0a1) y=logax(0a0， 即 x1， 故 定 義 域 為 (1，+ ). 【 備 選 訓(xùn) 練 】 已 知 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) f(x)=logax滿(mǎn) 足f(2)=1， 則 a= .【 解 析 】 因 為 f(2)=1， 所 以 loga2=1， 故 a=2.答 案 ： 2 3.已 知 函

6、數(shù) f(x)=loga(x-1)+1(a0且 a 1)， 則 f(x)的圖 象 必 經(jīng) 過(guò) 定 點(diǎn) .【 解 析 】 令 x-1=1得 x=2， 把 x=2代 入 y=loga(x-1)+1得y=1， 故 函 數(shù) f(x)過(guò) 定 點(diǎn) (2， 1).答 案 ： (2， 1) 4.已 知 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) f(x)過(guò) 點(diǎn) (2， 4)， 則 f(x)的 解 析 式為 _.【 解 析 】 設(shè) f(x)=logax， 則 由 f(2)=loga2=4得a4=2,所 以 所 以 f(x)=答 案 ： f(x)= 4a 2 ， 4 2log x. 4 2log x 5.比 較 下 列 各 組 數(shù) 的 大 小

7、 .(仿 照 教 材 P72例 8的 解 析 過(guò)程 )(1)ln0.3， ln2.(2)loga3.1， loga5.2(a0， a 1). 【 解 析 】 (1)因 為 函 數(shù) y=lnx是 增 函 數(shù) ， 且 0.32，所 以 ln0.31時(shí) ， 函 數(shù) y=logax在 (0， + )上 是 增 函 數(shù) ，又 3.15.2， 所 以 loga3.1loga5.2；當(dāng) 0a1時(shí) ， 函 數(shù) y=logax在 (0， + )上 是 減 函 數(shù) ，又 3.1loga5.2. 【 互 動(dòng) 探 究 】1.請(qǐng) 你 根 據(jù) 所 學(xué) 過(guò) 的 知 識(shí) ， 思 考 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 解 析 式 中 的底 數(shù)

8、能 否 等 于 0或 小 于 0？提 示 ： 因 為 y=logaxx=ay， 而 在 指 數(shù) 函 數(shù) 中 底 數(shù) a需滿(mǎn) 足 a0且 a 1， 故 在 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 解 析 式 中 a的 取 值 范 圍不 能 等 于 0或 小 于 0. 2.結(jié) 合 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 象 說(shuō) 明 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 與 什 么量 有 關(guān) ？提 示 ： 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 與 解 析 式 中 的 底 數(shù) a有 關(guān) ， 若a1， 則 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 是 增 函 數(shù) ， 若 0a1， 則 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 是減 函 數(shù) . 3.將 不 同 底 數(shù) 的 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 象 畫(huà) 在

9、 同 一 平 面 直 角 坐標(biāo) 系 中 ， 若 沿 直 線(xiàn) y=a(a0)自 左 向 右 觀 察 能 得 到 什 么結(jié) 論 ？提 示 ： 將 不 同 底 數(shù) 的 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 象 畫(huà) 在 同 一 個(gè) 平 面直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 沿 直 線(xiàn) y=a(a0， 且 a 1)； y=log2x-1； y=2log8x； y=logxa(x0， 且 x 1)； y=log5x. 【 解 題 指 南 】 觀 察 函 數(shù) 解 析 式 的 形 式 ， 看 是 否 滿(mǎn) 足 對(duì)數(shù) 函 數(shù) 的 定 義 ， 然 后 再 下 結(jié) 論 . 【 解 析 】 因 為 中 真 數(shù) 是 x2， 而 不 是 x，所

10、 以 不 是 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) ；因 為 中 y=log2x-1常 數(shù) 項(xiàng) 為 -1， 而 非 0， 故 不 是 對(duì) 數(shù)函 數(shù) ；因 為 中 log8x前 的 系 數(shù) 是 2， 而 不 是 1， 所 以 不 是 對(duì) 數(shù)函 數(shù) ； 因 為 中 底 數(shù) 是 自 變 量 x， 而 非 常 數(shù) a， 所 以 不 是 對(duì) 數(shù)函 數(shù) . 為 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) . 【 規(guī) 律 總 結(jié) 】 判 斷 一 個(gè) 函 數(shù) 是 否 是 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 方 法(1)看 形 式 ： 判 斷 一 個(gè) 函 數(shù) 是 否 是 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) ， 關(guān) 鍵 是 看解 析 式 是 否 符 合 y=logax(a0且 a 1)這 一 結(jié)

11、構(gòu) 形 式 . (2)明 特 征 ： 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 的 解 析 式 具 有 三 個(gè) 特 征 ： 系 數(shù) 為 1； 底 數(shù) 為 大 于 0且 不 等 于 1的 常 數(shù) ； 對(duì) 數(shù) 的 真 數(shù) 僅 有 自 變 量 x.只 要 有 一 個(gè) 特 征 不 具 備 ， 則 不 是 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) . 【 鞏 固 訓(xùn) 練 】 1.函 數(shù) f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是 對(duì) 數(shù) 函數(shù) ， 則 實(shí) 數(shù) a= .【 解 析 】 由 題 意 得 a2-a+1=1， 解 得 a=0或 1，又 a+10且 a+1 1， 所 以 a=1.答 案 ： 1 2.若 函 數(shù) y=f(x)是 函 數(shù) y=ax(

12、a 0且 a 1)的 反 函 數(shù) ，其 圖 象 經(jīng) 過(guò) 點(diǎn) 求 f(2).【 解 題 指 南 】 同 底 的 指 數(shù) 函 數(shù) 與 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 互 為 反 函數(shù) ， 因 此 可 設(shè) f(x)=logax， 然 后 結(jié) 合 條 件 求 出 a，進(jìn) 而 確 定 f(2)的 值 .3 2( 2 )3， ， 【 解 析 】 設(shè) f(x)=logax， 由 題 意 知故 所 以 因 此所 以 f(2)= 3 2f( 2) 3 ，3a 2log 2 3 ， 2 13 3a 2 ， a 2 ，22 2log 2 log ( 2) 2. 類(lèi) 型 二 ： 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 圖 象 問(wèn) 題【 典 例 2】 (1)

13、如 圖 所 示 的 曲 線(xiàn) 是 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) y=logax，y=logbx， y=logcx， y=logdx的 圖 象 ， 則 a， b， c， d與 1的 大 小 關(guān) 系 為 . (2)已 知 f(x)=loga|x|， 滿(mǎn) 足 f(-5)=1， 試 畫(huà) 出 函 數(shù) f(x)的 圖 象 . 【 解 題 指 南 】 (1)過(guò) 點(diǎn) (0， 1)作 平 行 于 x軸 的 直 線(xiàn) ， 則直 線(xiàn) 與 四 條 曲 線(xiàn) 交 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 從 左 向 右 依 次 為 c， d， a，b， 通 過(guò) 觀 察 圖 象 即 可 確 定 a， b， c， d與 1的 大 小 關(guān) 系 .(2)先 利 用 條

14、 件 f(-5)=1求 出 a的 值 ， 然 后 畫(huà) 出 x0時(shí) ，f(x)的 圖 象 ， 再 把 x0時(shí) 的 圖 象 關(guān) 于 y軸 對(duì) 稱(chēng) ， 即 可 畫(huà)出 函 數(shù) f(x)的 圖 象 . 【 解 析 】 (1)由 圖 可 知 函 數(shù) y=logax， y=logbx的 底 數(shù)a1， b1， 函 數(shù) y=logcx， y=logdx的 底 數(shù) 0c1，0da1dc. 答 案 ： b a 1 d c(2)因 為 f(-5)=1,所 以 loga5=1,即 a=5，故 f(x)=log5|x|=所 以 函 數(shù) y=log5|x|的 圖 象 如 圖 所 示 .55log x x 0,log ( x

15、) x 0. ， ， 【 延 伸 探 究 】1.(改 變 問(wèn) 法 )典 例 2(2)條 件 不 變 ， 試 寫(xiě) 出 函 數(shù)f(x)=loga|x|的 值 域 及 單 調(diào) 區(qū) 間 .【 解 析 】 由 典 例 2(2)的 圖 象 知 f(x)的 值 域 為 R， 遞 增 區(qū)間 為 (0， + )， 遞 減 區(qū) 間 為 (- ， 0). 2.(變 換 條 件 )若 把 典 例 2(2)中 的 函 數(shù) 改 為 y=log5|x+1|，請(qǐng) 畫(huà) 出 它 的 圖 象 . 【 解 析 】 利 用 圖 象 變 換 來(lái) 解 題 ， 畫(huà) 出 函 數(shù) y=log5|x|的圖 象 ， 將 函 數(shù) y=log5|x|的

16、 圖 象 向 左 平 移 1個(gè) 單 位 ， 即可 得 函 數(shù) y=log5|x+1|的 圖 象 ， 如 圖 所 示 . 3.(變 換 條 件 )若 把 典 例 2(2)中 的 函 數(shù) 改 為 y=logb(x-1)(b0且 b 1)， 試 求 該 函 數(shù) 恒 過(guò) 的 定 點(diǎn) .【 解 析 】 令 x-1=1得 x=2， 又 y=logb1=0， 故 該 函 數(shù) 恒 過(guò)定 點(diǎn) (2， 0). 【 規(guī) 律 總 結(jié) 】1.根 據(jù) 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 圖 象 判 斷 底 數(shù) 大 小 的 方 法作 直 線(xiàn) y=1與 所 給 圖 象 相 交 ， 交 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 即 為 各 個(gè) 底數(shù) ， 依 據(jù) 在 第

17、 一 象 限 內(nèi) ， 自 左 向 右 ， 圖 象 對(duì) 應(yīng) 的 對(duì) 數(shù)函 數(shù) 的 底 數(shù) 逐 漸 變 大 ， 可 比 較 底 數(shù) 的 大 小 . 2.對(duì) 數(shù) 型 函 數(shù) 圖 象 恒 過(guò) 定 點(diǎn) 問(wèn) 題解 決 此 類(lèi) 問(wèn) 題 的 根 據(jù) 是 對(duì) 任 意 的 a0且 a 1， 都 有l(wèi)oga1=0.例 如 ， 解 答 函 數(shù) y=m+logaf(x)(a0且 a 1)的圖 象 恒 過(guò) 定 點(diǎn) 問(wèn) 題 時(shí) ， 只 需 令 f(x)=1求 出 x， 即 得 定 點(diǎn)(x， m). 【 拓 展 延 伸 】 函 數(shù) 圖 象 對(duì) 稱(chēng) 性 的 特 例 及 推 廣(1)y=ax與 y= (a0且 a 1)x1( )

18、a特 例 函 數(shù) y=ax與 函 數(shù) y= 的 圖 象 關(guān) 于 y軸 對(duì) 稱(chēng)推 廣 函 數(shù) y=f(x)與 函 數(shù) y=f(-x)的 圖 象 關(guān) 于 y軸 對(duì) 稱(chēng)x1( )a (2)y=logax與 y= (a0且 a 1)特 例 函 數(shù) y=logax與 函 數(shù) y= 的 圖 象 關(guān) 于 x軸 對(duì) 稱(chēng)推 廣 函 數(shù) y=f(x)與 函 數(shù) y=-f(x)的 圖 象 關(guān) 于 x軸 對(duì) 稱(chēng)1alog x 1alog x 【 鞏 固 訓(xùn) 練 】 已 知 a0， 且 a 1， 則 函 數(shù) y=ax與y=loga(-x)的 圖 象 可 能 是 ( ) 【 解 析 】 選 B.方 法 一 ： 若 0a1

19、， 則 函 數(shù) y=ax的 圖 象 上 升 且 過(guò) 點(diǎn) (0， 1)， 而 函 數(shù)y=loga(-x)的 圖 象 下 降 且 過(guò) 點(diǎn) (-1， 0)， 只 有 B中 圖 象符 合 . 方 法 二 ： 首 先 指 數(shù) 函 數(shù) y=ax的 圖 象 只 可 能 在 上 半 平 面 ，函 數(shù) y=loga(-x)的 圖 象 只 可 能 在 左 半 平 面 ， 從 而 排 除 A，C； 再 看 單 調(diào) 性 ， y=ax與 y=loga(-x)的 單 調(diào) 性 正 好 相 反 ，排 除 D.只 有 B中 圖 象 符 合 . 類(lèi) 型 三 ： 與 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 有 關(guān) 的 函 數(shù) 定 義 域 問(wèn) 題【 典 例

20、 3】 (2016 鄭 州 高 一 檢 測(cè) )求 下 列 函 數(shù) 定 義 域 ：(1)f(x)=lg(x-2)+(2)f(x)=logx+1(16-4x).【 解 題 指 南 】 首 先 考 慮 函 數(shù) f(x)有 意 義 時(shí) 自 變 量 x應(yīng) 滿(mǎn)足 的 條 件 ， 然 后 解 不 等 式 組 即 可 .1 .x 3 【 解 析 】 (1)由 得 x 2且 x 3,所 以 定 義 域 為 (2,3) (3,+ ).(2)由 即解 得 -1 x 0或 0 x 4.所 以 定 義 域 為 (-1， 0) (0,4).x 2 0,x 3 0, 16 4x 0,x 1 0,x 1 1, 4x 16,x

21、 1,x 0, 【 規(guī) 律 總 結(jié) 】 求 函 數(shù) 定 義 域 的 三 個(gè) 步 驟(1)列 不 等 式 (組 )： 根 據(jù) 函 數(shù) f(x)有 意 義 列 出 x滿(mǎn) 足 的不 等 式 (組 ).(2)解 不 等 式 (組 )： 根 據(jù) 不 等 式 (組 )的 解 法 步 驟 求 出 x滿(mǎn) 足 的 范 圍 .(3)結(jié) 論 ： 寫(xiě) 出 函 數(shù) 的 定 義 域 . 提 醒 ： (1)通 過(guò) 建 立 不 等 關(guān) 系 求 定 義 域 時(shí) ， 要 注 意 解 集為 各 不 等 關(guān) 系 解 集 的 交 集 .(2)當(dāng) 對(duì) 數(shù) 型 函 數(shù) 的 底 數(shù) 含 字 母 時(shí) ， 在 求 定 義 域 時(shí) 要 注意 分

22、類(lèi) 討 論 . 【 鞏 固 訓(xùn) 練 】 函 數(shù) y= 的 定 義 域 為 ( )【 解 析 】 選 A.要 使 函 數(shù) y= 有 意 義 需 2x-3 0，即 lg 2x 33 3A.( , ) B.( )2 22C.(2 ) D.( )3 ， ， lg 2x 33x .2 【 鞏 固 訓(xùn) 練 】 求 下 列 函 數(shù) 的 定 義 域 .(1)(2)y= (a0,且 a 1).1y .lg(x 1) 3 alog (3 4x) 【 解 析 】 (1)由 得 所 以 x-1且 x 999， 所 以 函 數(shù) 的 定 義 域 為 x|x-1且 x 999.lg(x 1) 3 0 x 1 0, ， 3x 1 10 ,x 1, (2)loga(3-4x) 0. (*)當(dāng) a1時(shí) ， (*)可 化 為 loga(3-4x) loga1,所 以 3-4x 1,x 當(dāng) 0a1時(shí) ， (*)可 化 為 loga(3-4x) loga1， 所以 01時(shí) ， 函 數(shù) 定 義 域 為 當(dāng) 0a1時(shí) ， 函 數(shù) 定 義 域 為1.2 1 3x .2 4 1( , ;21 3 , ).2 4