《《高數(shù)教學課件》第三節(jié)偏導數(shù)與全微分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高數(shù)教學課件》第三節(jié)偏導數(shù)與全微分（44頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 三 節(jié) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、 多元函數(shù)的偏導數(shù)二 、多元函數(shù)的高階偏導數(shù) 偏 導 數(shù) 與 全 微 分 第六章 三 、全微分 定義1 ),( yxfz在點), (), (lim 000 yfyfx 存在, xyxyxfz對在點),(),( 00的偏導數(shù)，記為;),( 00 yxxz ),( 00 yx的某鄰域內(nèi);),( 00 yxxfxx 0 0 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù) )( 0 xf )()( 00 xfxxf x0limx x;),( 00 yxfx ;),( 00 yxxz 0dd xxxy .),( 001 yxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x yx
2、fyxxfx ),(),(lim 00000 0),(dd 0 xxyxfx ),( 00 yxfx注意: 一、 多元函數(shù)的偏導數(shù).),( 001 yxf 1. 偏導數(shù)的定義 0),(dd 0 yyyxfy 同樣可定義對 y 的偏導數(shù)),(, 2 yxf lim0 y),( 00 yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對 x, xzxfxz 則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù),也簡稱為偏導數(shù) , ),(,),( 1 yxfyxfx ),(,),( 2 yxfyxfy ),( 0 xf ),( 0 xfy記為yy 0 0y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)
3、束 或 y 偏導數(shù)存在 , , yzyfyz ),(, 1 yxf ),( zyxfx例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點 (x , y , z) 處對 x 的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x ),( zyf ),( zyfxxx ?),( zyxfy ?),( zyxfz x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導數(shù)定義為(請自己寫出) 21 yxxz 例13 求xxz 4 .)2,1(232 32處的偏導數(shù)在點yxyxz 0y3 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法一 把y看成常數(shù)，得把x看成常數(shù)，得0yz 26yx3所以 21 yxyz
4、,22314 ,34 yx ,63 2yx .21)2(31)3( 2 ,232 31 yyz x 求,1662 22 xxzy .)2,1(232 32處的偏導數(shù)在點yxyxz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法二 先將y=2代入于是11 )64( xx xxz .2得 .21)63( 222 yy yyz 32 232 yxyxz 得同理 將x=1代入 32 232 yxyxz 于是 練習1 求22 3 yyxxz 解法1: xz)2,1(xz解法2: )2,1(xz在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).)2,1(yz ,32 yx yz yx 23 ,82312 )2,1(yz 7221
5、3 462 xx 1)62( xx 81xz 231 yy 2)23( yy 72yz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導數(shù)記號是一個例14 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證: 1 pTTVVp TRVp 證,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明: (R 為常數(shù)) , Vp 2VTRTV pRpT RVVpTR 1不能看作分子與分母的商 !此例表明, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整體記號, 例15 設(shè)，）且1,0( xxxz y zyzxxzyx 2ln1 證: xz yzxxzyx ln1 練習2 求222 zyxr 的偏導數(shù) . 解: xryr yy xx yz求證,
6、1yxy xxy ln z22222 zyx x2 rxrzzr ,ry 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例16 設(shè)21)ln(3 xyxz .,1)ln( 3 yzxzxyz 求)01( yxy 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解同理，可得.1)ln(3 2 xyyyz 此處，在函數(shù)的表達式中將兩個變量x，y 對調(diào)后仍為原來的函數(shù)，稱這樣的函數(shù)對變量x，y 具有對稱性顯然，只要在求得的偏導數(shù)xz .1)ln(3 2 xyx ., yzyx 就可以得到換成將中 函數(shù)在某點各偏導數(shù)存在,解法一例17 求函數(shù) 0,0 0,),( 22 2222 yx yxyx yxyxfz x fxff
7、xx )0,0()0,0(lim)0,0( 0 .0)0,0( yf 0 注意：但在該點不一定連續(xù). 上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在上節(jié)例10已證 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)! 在(0 , 0)處的偏導數(shù)，并討論其在(0 , 0)處的連續(xù)性.xxxx 00)( 0lim 20同理可得， 解法二顯然例17 0,0 0,),( 22 2222 yx yxyx yxyxfz 0)0,(dd)0,0( xxfxfx 0),0(dd)0,0( yyfyfy 00 上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在上節(jié)例10已證 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)! 2二元
8、函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義00),(dd00 xxyxfxxf xx yy 0 ),(yy yxfzxTM0 00 ),(dd00 yyyxfyyf xx yy 是曲線 0 ),(xx yxfz yTM0在點 M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點M 0 處的切線斜率.是曲線yxz0 x yToxT 0y0M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對 y 軸的 二、多元函數(shù)的高階偏導數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)),(,),( yxfyzyxfxz yx 若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)( xz則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導數(shù) .按求導順序不同, 有下列四
9、個二階偏導22xz );,( yxf xxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù): )( xz yxz 2 );,( yxf yxy)( yz xyz 2 );,( yxfyxx )( yz 22yz );,( yxfyyy 類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導數(shù)為3322 )( xzxzx z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (y yx znn 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導數(shù)為11 nnx z 例18 求函數(shù)225 yxyxz 解xz 22xz yz xyz2 yx z2 22
10、 yz注意:此處,22 xyzyx z 但這一結(jié)論并不總成立.221 yx x 225 yxy 2322 2 )( yx y 2322 )( yx xy2322 )( yx xy 2322 2 )( yx y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的二階偏導數(shù). 0,)( 4 22222 4224 yxyx yyxxx y fyf xxy )0,0(),0(lim0),( yxfy例如, ),( yxfx )0,0(yxf x fxff yyxxy )0,0()0,(lim)0,0( 0二者不等yyy 0lim 1xxx 0lim 1),( yxf 0,0 22 yx 0,)( 4 22222
11、4224 yxyx yyxxy 0,0 22 yx 0, 2222 22 yxyx yxyx 0,0 22 yx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例19 證明函數(shù)222,1 zyxrru 滿足拉普拉斯0222222 zuyuxu證xu 22xu利用對稱性 , 有,31 52322 ryryu 222222 zuyuxu u方程xrr 21 rxr 2131r xrrx 43 523 31 rxr 52322 31 rzrzu 5 2223 )(33 r zyxr 2r 0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 偏導數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點偏導數(shù)存
12、在函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關(guān)2. 偏導數(shù)的計算方法 求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關(guān)時, 應(yīng)選擇方便的求導順序) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),()()( 00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yf xyyx ),(),( 0000 yxfyxf xyyx 則 證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理1例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) , ),(),(),( zyxfzyxfzyxf yxzxzyzyx 說明:本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初
13、等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序. ),(),(),( zyxfzyxfzyxf xyzzxyyzx 因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù) ,當三階混合偏導數(shù)在點 (x , y , z) 連續(xù)時, 有而初等(證明略) *2、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用 應(yīng)用 一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAy xxfy )(d近似計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 本小節(jié)內(nèi)容:1、全微分的定義 三 、 全 微 分 1、幾個概念 設(shè)函數(shù) z = f ( x, y )在點( x , y )的某鄰域內(nèi)有定義，且偏導數(shù)),(,),( yxfyxf yx存在,當變量x, y有增量x, y時,由一元函
14、數(shù),),(),(),( xyxfyxfyxxf x 其中分別稱為二元函數(shù)對x和y的偏增量；),(),( yxfyyxf yyxfxyxf yx ),(,),( ,),(),(),( yyxfyxfyyxf y 微分學中函數(shù)增量與微分的關(guān)系，得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),(),( yxfyxxf 分別稱為二元函數(shù)對x和y的偏微分，而把),(),( yxfyyxxfz 稱為二元函數(shù)在點(x,y)處的全增量. 2、全微分的定義 定義2 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點( x , y ),(),( yxfyyxxfz 可表示成,)(oyBxAz 其中 A ,
15、B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)),( yxf在點 (x, y) 的全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微, 22 )()( yx 則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點( x, y) 可微， 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處全增量則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.yBxA (2) 偏導數(shù)連續(xù)),(),( yxfyyxxfz )()(lim0 oyBxA 下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00 yyxxfyx 由微分定義 :得zyx 00lim 0),( yxf
16、函數(shù)在該點連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即3、可微的條件 定理2(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點偏導數(shù)yzxz , yyzxxzz d ), (), ( yfyfzx xz同樣可證,Byz yyzxxzz d證: 由全增量公式,)(oyBxAz ,0y令)( xoxA 必存在,且有得到對 x 的偏增量xx x因此有 xzxx 0lim A 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反例: 函數(shù)xyyxf ),(易知x fxff xx )0,0()0,0(lim)0,0( 0 但)0,0()0,0( yfxfz yx
17、 注意: 定理1 的逆定理不成立 . .yx 偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx 0lim0y fyff yy )0,0()0,0(lim)0,0( 0 ,0yy 0lim0 ,0)0,0()0,0( fyxf ),( yxf 00 yx 反例: 函數(shù)xyyxf ),( )0,0()0,0( yfxfz yx 因此,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 . )(o 2200 )()(lim yx yxyx .yx有,yx 0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 現(xiàn)考察 )0,0()0,0(lim0 yx fxfz 特別地，取2200 )()(lim yx yxy
18、x xxyx 2lim00 21 ),( yyxxf 定理3 (充分條件) yzxz ,證：),(),( yxfyyxxfz )1,0( 21 xyxfx ),( yyyxfy ),( 2 xyyxxfx ),( 1 ),( yyxf ),( yxf ),( yyxf yyxfy ),(若函數(shù)),( yxfz的偏導數(shù),),(連續(xù)在點yx則函數(shù)在該點可微分. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim00 yx,0lim00 yx z yyxfxyxf yx ),(),( yyxfxyxfz yx ),(),( yx所以函數(shù)),( yxfz ),( yx yx 在點可微. 機動 目錄 上頁 下
19、頁 返回 結(jié)束 0lim00 yx,0lim00 yx注意到, 故有)(o xxu推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如, 三元函數(shù)),( zyxfuud習慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuu zyx dddd 稱為偏微分. yyud zzudxxud uyd uzd的全微分為 yyu zzu于是 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 uuu zyx d,d,d 重要關(guān)系:函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例20 求在點 (1 , 1) 處的全微分. yxyxyxz 223 3解 因為xz ,2)1,1( xz
20、 .d6d2d )1,1( yxz yz,163 22 yxyyx ,6 223 yxyxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,6)1,1( yz 例21 求的全微分. )ln( 22 yxxz 解 因為xz )( 22 yxxx .dd1d 222222 yyxyxx yxyxz yz 22 1 yxx )(1 22 22 yxxyyxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )0(1 2222 yx yyxx .1 22 yx )1(1 2222 yx xyxx ,2222 yxyxx y 例22 設(shè)求du. ,2cos yxxyzu 解 因為xu ,2sin21 yx z zuyyux
21、xuu dddd ,xyzu yz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,2sin21 yxxzyu .dd)2sin21(d)2sin21( zxyyyxxzxyxyz 可知當*4、全微分在近似計算中的應(yīng)用由全微分定義x y )(),(),( oyyxfxyxfz yx ),( yyxxf yyxfxyxf yx ),(),(較小時, yyxfxyxfzz yx ),(),(d zd及有近似等式: ),( yxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (可用于近似計算; 誤差分析) (可用于近似計算) 解: 已知, 2hrV V ,12,5 hr 4.052.01252 2 V 例23 一圓柱形
22、的鐵罐，內(nèi)半徑為5cm，內(nèi)高為12cm，壁厚均為0.2cm，估計制作這個鐵罐所需材料的體積大約為多少（包括上、下底）？則 rrh2 hr 2 4.0,2.0 hr .)cm(8.106)cm(34 33 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習 計算的近似值. 02.204.1解: 設(shè)yxyxf ),( ,則),( yxfx取,2,1 yx則)02.2,04.1(04.1 02.2 f yfxff yx )2,1()2,1()2,1( 08.102.0004.021 ),( yxfy,1yxy xxy ln02.0,04.0 yx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:
23、),( yxfzz yyxfxyxf yx ),(),(zd yyxfxyxf yx d),(d),( 22 )()( yx 2. 重要關(guān)系: )( o函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 微分應(yīng)用 近似計算z yyxfxyxf yx ),(),( ),( yyxxf yyxfxyxf yx ),(),( ),( yxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習函數(shù)),( yxfz在),( 00 yx可微的充分條件是( );),(),()( 00連續(xù)在yxyxfA ),(),(,),()( 00 yxyxfyxfB yx在的某鄰域內(nèi)存在 ;yyxf
24、xyxfzC yx ),(),()( 0)()( 22 yx當時是無窮小量 ;22 )()( ),(),()( yx yyxfxyxfzD yx 0)()( 22 yx當時是無窮小量 .2. 選擇題D 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxff zyy d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d )0,0,0( 4. 設(shè),coscoscos1 coscoscos),( zyx xzzyyxzyxf .d )0,0,0(f求解: xxxf cos3)0,0,( 0cos3)0,0,0( xxxfx 41利用輪換對稱性 , 可得41)0,0,0()0,0,0( zy ff )dd(
25、d41 zyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( L. P245 例2 )注意: x , y , z 具有 輪換對稱性 在點 (0,0) 可微 .備用題在點 (0,0) 連續(xù)且偏導數(shù)存在,續(xù), ),( yxf而),( yxf )0,0(),(,1sin 22 yxyxyx )0,0(),(,0 yx證: 1)因221sin yxxy 0),(lim00 yxfyx )0,0(f故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導數(shù)在點 (0,0) 不連 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明函數(shù)xy 2 22 yx 所以 ),( yxf )0,0(),(,1sin 22 yxyxxy )0,0(
26、),(,0 yx),( yxfx ,)0,0(),(時當yx ,)0,0(),(時趨于沿射線當點xyyxP ,0)0,( xf ;0)0,0( xf .0)0,0( yf同理y 221sin yx 322 2 )( yx yx 221cos yx ),(lim )0,0(),( yxfxxx 極限不存在 , ),( yxfx在點(0,0)不連續(xù) ;同理 , ),( yxfy在點(0,0)也不連續(xù).xx (lim0 |21sin x 33 |22 xx )|21cos x2)3)題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),( yxf )0,0(),(,1sin 22 yxyxxy )0,0(),(,0 yx,)()( 22 yx 4) 下面證明)0,0(),(在點yxf可微 : yfxff yx )0,0()0,0( 1sinyx x 0 0.)0,0(),(可微在點yxf說明: 此題表明, 偏導數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束
《高數(shù)教學課件》第三節(jié)偏導數(shù)與全微分
