《《高數(shù)教學(xué)課件》第三節(jié)之一函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高數(shù)教學(xué)課件》第三節(jié)之一函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性（46頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 三 節(jié)一 、 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 函 數(shù) 單 調(diào) 性 的 應(yīng) 用函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 與 曲 線 的 凹 凸 性 第 三 章 三 、 曲 線 的 凹 凸 性 與 拐 點(diǎn) 一 、 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 若定 理 1. 設(shè) 函 數(shù) )(xf 0)( xf則 在 I 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增)(xf,)0)( xf (遞 減 ) .證 : 無 妨 設(shè) ,0)( Ixxf 任 取 )(, 2121 xxIxx 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 )()()( 1212 xxfxfxf ),( 21 xx I 0故 .)()( 21 xf
2、xf 這 說 明 在 I 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 .)(xf在 開 區(qū) 間 I 內(nèi) 可 導(dǎo) , 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 證 畢 例 22 求 函 數(shù) 3xy 的 單 調(diào) 區(qū) 間 .解 ,03 2 xy ,0,0 yx時并且僅當(dāng).),(為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間故x)(xf )(xf )1,( 301 )3,1( ),3( 427機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 23 求 函 數(shù) 23 )1( xxy 的 單 調(diào) 區(qū) 間 .解 函 數(shù) 的 定 義 域 為 .),1( )1,(,)1( )3( 32 xxxy因.3,0,0 xxy得令不存在 例 24 討 論 函 數(shù) 3
3、 2xy 的 單 調(diào) 區(qū) 間 .解 因 為x)(xf )(xf )0,( 0 ),0( 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,32 31 xy .03 2處的導(dǎo)數(shù)不存在在顯然函數(shù) xxy 不 存 在0 例 25 確 定 函 數(shù) 71862)( 23 xxxxf 的 單 調(diào) 區(qū) 間 .解 18126)( 2 xxxf )3)(1(6 xx令 ,0)( xf 得 3,1 xxx)(xf )(xf )1,( 30 01 )3,1( ),3( 3 61故 )(xf 的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為 ,)1,( );,3( )(xf 的 單 調(diào) 減 區(qū) 間 為 ).3,1( 機(jī) 動 目 錄 上 頁
4、 下 頁 返 回 結(jié) 束 y xo說 明 : 1)單 調(diào) 區(qū) 間 的 分 界 點(diǎn) 除 駐 點(diǎn) 外 ,也 可 是 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在 的 點(diǎn) . 例 如 , ),(,3 2 xxy 332xy 0 xy 3 2xy2) 如 果 函 數(shù) 在 某 駐 點(diǎn) 兩 邊 導(dǎo) 數(shù) 同 號 , 則 不 改 變 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 .例 如 , ),(,3 xxy 23xy 00 xy yo x3xy 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 函 數(shù) 單 調(diào) 性 的 應(yīng) 用定 義 1 ,),()(內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)baxf ,),(0 bax ，的一個鄰域若存在0 x 在 其 中 當(dāng) 0 xx 時
5、 ,)()( 0 xfxf (1) 則 稱 為 的 極 大 點(diǎn) ,0 x )(xf稱 為 函 數(shù) 的 極 大 值 ;)( 0 xf,)()( 0 xfxf (2) 則 稱 為 的 極 小 點(diǎn) ,0 x )(xf稱 為 函 數(shù) 的 極 小 值 .)( 0 xf極 大 點(diǎn) 與 極 小 點(diǎn) 統(tǒng) 稱 為 極 值 點(diǎn) . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 注 意 : 3x1x 4x2x 5x xa boy 41,xx 為 極 大 點(diǎn)52,xx 為 極 小 點(diǎn)3x 不 是 極 值 點(diǎn) 2) 對 常 見 函 數(shù) , 極 值 可 能 出 現(xiàn) 在 導(dǎo) 數(shù) 為 0 或 不 存 在 的 點(diǎn) .1) 函
6、 數(shù) 的 極 值 是 函 數(shù) 的 局 部 性 質(zhì) .31292)( 23 xxxxf例 如 1x 為 極 大 點(diǎn) , 2)1( f 是 極 大 值 1)2( f 是 極 小 值 2x 為 極 小 點(diǎn) , 12 xoy 1 2 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 2 (極 值 存 在 的 必 要 條 件 ) ,)( 0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf 且 在 空 心 鄰 域內(nèi) 有 導(dǎo) 數(shù) , ,0時由小到大通過當(dāng)xx(1) )(xf “左 正 右 負(fù) ” , ;)( 0取極小值在則xxf(2) )(xf “左 負(fù) 右 正 ” , .)( 0取極大值在則xxf 機(jī) 動 目 錄 上
7、頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 3 (極 值 第 一 判 別 法 ) ,)( 00處取得極值且在處可導(dǎo)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)xxxf .0)(, 00 xfx即處的導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)在那么該函數(shù) 例 26 求 函 數(shù) 71862)( 23 xxxxf 的 極 值 .解 18126)( 2 xxxf )3)(1(6 xx令 ,0)( xf 得 3,1 xxx)(xf )(xf )1,( 30 01 )3,1( ),3( 3 61故 )(xf 的 極 大 值 為 ,3)1( f)(xf 的 極 小 值 為 .61)3( f 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 27 討 論 函 數(shù) 3 2xy 的
8、單 調(diào) 區(qū) 間 .解 因 為x)(xf )(xf )0,( 0 ),0( 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,32 31 xy .03 2處的導(dǎo)數(shù)不存在在顯然函數(shù) xxy 不 存 在0故 )(xf 的 極 小 值 為 .0)0( f 練 習(xí) 求 函 數(shù) 32)1()( xxxf 的 極 值 .解 1) 求 導(dǎo) 數(shù) 32)( xxf 3132)1( xx 3 5235 xx2) 求 極 值 可 疑 點(diǎn)令 ,0)( xf 得 ;521 x 令 ,)( xf 得 02 x3) 列 表 判 別x)(xf )(xf 0520 0 33.0)0,( ),0( 52 ),(52 0 x 是 極
9、 大 點(diǎn) ， 其 極 大 值 為 0)0( f是 極 小 點(diǎn) ， 其 極 小 值 為52x 33.0)(52 f 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 4 (極 值 第 二 判 別 法 )二 階 導(dǎo) 數(shù) , 且處具有在點(diǎn)設(shè)函數(shù)0)( xxf,0)( 0 xf 0)( 0 xf,0)()1( 0 xf若則 在 點(diǎn) 取 極 大 值 ;)(xf 0 x,0)()2( 0 xf若則 在 點(diǎn) 取 極 小 值 .)(xf 0 x 證 : (1) )( 0 xf 0 0)()(lim0 xx xfxfxx 0)(lim0 xx xfxx ,0)( 0知由 xf 存 在 ,0 ,0 0時當(dāng)
10、xx 0)( 0 xx xf時，故當(dāng)00 xxx ;0)( xf時，當(dāng) 00 xxx ,0)( xf 0 x 0 x 0 x 由 第 一 判 別 法 知 .)( 0取極大值在xxf(2) 類 似 可 證 . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 28 求 函 數(shù) xxxf cossin)( 2 的 極 值 . 解 由 于 所 給 的 函 數(shù) 是 周 期 為 2p的 函 數(shù) ,故 只 需 要 在區(qū) 間 0, 2p上 討 論 函 數(shù) 的 極 值 .),1cos2(sin)( xxxf .cos2cos2)( xxxf 1) 求 導(dǎo) 數(shù) 令 ,0)( xf 得 駐 點(diǎn) .35,3,0
11、x3) 判 別 .023)35(,023)3(,03)(,01)0( ffff因故 極 大 值 為 ;45)35(,45)3( ff 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2) 求 駐 點(diǎn)極 小 值 為 .1)(,1)0( ff 例 29 求 函 數(shù) 1)1()( 32 xxf 的 極 值 . 解 : 1) 求 導(dǎo) 數(shù) ,)1(6)( 22 xxxf )15)(1(6)( 22 xxxf2) 求 駐 點(diǎn)令 ,0)( xf 得 駐 點(diǎn) 1,0,1 321 xxx3) 判 別因 ,06)0( f 故 為 極 小 值 ;0)0( f又 ,0)1()1( ff 故 需 用 第 一 判 別 法
12、 判 別 .,1)(左右鄰域內(nèi)不變號在由于 xxf .1)(沒有極值在 xxf 1 xy1機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 30 農(nóng) 作 物 的 產(chǎn) 量 與 種 植 密 度 密 切 相 關(guān) ， 一 開 始 隨 著 種 植 密度 的 增 加 ， 作 物 產(chǎn) 量 隨 著 增 加 ， 之 后 ， 隨 著 種 植 密 度 的 增 加 ，作 物 產(chǎn) 量 反 而 減 少 ， 對 影 響 大 豆 產(chǎn) 量 的 最 主 要 的 四 項(xiàng) 農(nóng) 藝 措 施 ：種 植 密 度 、 氮 肥 施 用 量 、 磷 肥 施 用 量 和 鉀 肥 施 用 量 進(jìn) 行 田 間 試驗(yàn) ， 建 立 了 產(chǎn) 量 y(kg
13、/畝 )關(guān) 于 種 植 密 度 x(單 位 :株 /畝 )的 函 數(shù)215006500643.61500 )6500(206.05.70 xxy試 求 大 豆 產(chǎn) 量 增 加 和 減 少 的 種 植 密 度 范 圍 和 大 豆 產(chǎn) 量 的 極 大 值 .令 ,0y 得 駐 點(diǎn) .)(6477株x,0,6477 yx時當(dāng));6477,0(故產(chǎn)量的增加區(qū)間為機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,22500006500286.131500206.0 xy解 因 為 ,0,6477 yx時當(dāng).),6477( 故產(chǎn)量的減少區(qū)間為 例 31 在 某 化 學(xué) 反 應(yīng) 過 程 中 ， 反 應(yīng) 速
14、度 v與 反 應(yīng) 物 的 濃度 x有 以 下 的 關(guān) 系 : )( xakxv 其 中 a0是 反 應(yīng) 開 始 時 物 質(zhì) 的 濃 度 ， k0是 常 數(shù) .試 求 反應(yīng) 速 度 的 單 調(diào) 區(qū) 間 及 極 值 .令 ,0v 得 駐 點(diǎn) .2ax,0,2 vax時當(dāng);此時反應(yīng)速度增加 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ),2( xakv 解 因 為 ,0,2 vax時當(dāng).此時反應(yīng)速度減少.4)2( 2kaav 為因此反應(yīng)速度的極大值 例 32 證 明 : .0tan,20 xxx時當(dāng)證 設(shè) xxx tan)( , 則 0)0( xx 2sec1)( )20(0tan2 xx故 2
15、0 x 時 , )(x 單 調(diào) 減 少 ,從 而 0)0()( x即 )20(.0tan xxx 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 33 證 明 .)0(1arctan)1ln( xxxx證 設(shè) xxxx arctan)1ln()1()( , 則 0)0( 21 1)1ln(1)( xxx )0(0 x故 0 x 時 , )(x 單 調(diào) 增 加 , 從 而 0)0()( x即 )0(1arctan)1ln( xxxx思 考 : 證 明 )10(arcsin )1ln(11 xxxxx 時 , 如 何 設(shè) 輔 助函 數(shù) 更 好 ? xxxxx arcsin1)1ln()1()(
16、 2 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 提 示 : 的 連 續(xù) 性 及 導(dǎo) 函 數(shù)5. 填 空 題設(shè) 函 數(shù)上連續(xù)，在),()( xf的則)(xf其 導(dǎo) 數(shù) 圖 形 如 圖 所 示 , 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 單 調(diào) 減 區(qū) 間 為 ;極 小 值 點(diǎn) 為 ;極 大 值 點(diǎn) 為 . )(xf),0(),( 21 xx ),(),0,( 21 xx 21, xx 0 x提 示 : )(xf根據(jù)的 正 負(fù) 作 f (x) 的 示 意 圖 . 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為 ; o 2x1x y xo x)(xf1x 2x .)( .)( .)( .)( )(, ,),(
17、)(34大值點(diǎn)三個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)兩個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)一個極小值點(diǎn)和兩個極有則導(dǎo)函數(shù)的圖形如下其內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)例DCBA xfxf xy0 x1 x2 x3f (x) (x3 ,+)x3(0, x3)0(x2,0)x2(x1, x2) x1(-, x1) x )(xf + -0極 大 0 +極 小 不 存 在 -極 大 0 +極 小 練 習(xí) 1 證 明 : 20 px 時 , 成 立 不 等 式 .2sin pxx證 令 ,2sin)( p xxxf ,2,0()(上連續(xù)在則pxf，上可導(dǎo)在)2,0( p2 sincos)( x xxxxf )tan(co
18、s2 xxx x 1 xtanx0,)2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減在因此pxf從 而 2,0(,2sin pp xxx 0)2()( pfxf,2)(處左連續(xù)在又pxf 因 此 且 證 證 明 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 練 習(xí) 2 設(shè) ,0)0( f 且 在 ),0 上 )(xf 存 在 , 且 單 調(diào)遞 減 , 證 明 對 一 切 0,0 ba 有 )()()( bfafbaf 證 設(shè) ,)()()()( xfafxafx 則 0)0( )()()( xfxafx )0(0 x所 以 當(dāng)時，0 x )(x 0)0( 令 ,bx 得 0)()()()( bfafbafb即 所 證 不
19、等 式 成 立 . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 練 習(xí) 3 ,10:時當(dāng)證明x .112 xxe x 證 只 要 證 )10(01)1( 2 xxex x 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,1)1()( 2 xexxf x 設(shè)0)0( f則,1)21()( 2 xexxf 0)0( f)10(04)( 2 xexxf x利 用 一 階 泰 勒 公 式 , 得 2!2 )()0()0()( xfxffxf )10(02 22 xxe 故 原 不 等 式 成 立 . 作 業(yè) :不 用 泰 勒 公 式 證 明 上 述 不 等 式 . 練 習(xí) 4 證 明 當(dāng) x 0
20、 時 , .)1(ln)1( 22 xxx證 令 ,)1(ln)1()( 22 xxxxf 則 0)1( fxxxf ln2)( 0)1( fxxf ln2)( ,1 21x 02)1( f32 )1(2)( xxxf xx 1 ,)1(2 x法 1 由 )(xf 在 1x 處 的 二 階 泰 勒 公 式 , 得)(xf 2)1(!2 )1( xf 3)1(!3 )( xf 2)1( x 332 )1(3 1 x xx在,0( 0故 所 證 不 等 式 成 立 . 與 1 之 間 ) 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 作 業(yè) :不 用 泰 勒 公 式 證 明 上 述 不 等 式
21、. 思 考 與 練 習(xí)1. 設(shè) ,1)( )()(lim 2 ax afxfax 則 在 點(diǎn) a 處 ( ).)()( xfA 的 導(dǎo) 數(shù) 存 在 ,；且0)( af)()( xfB 取 得 極 大 值 ; )()( xfC 取 得 極 小 值 ;)()( xfD 的 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在 . B提 示 : 利 用 極 限 的 保 號 性 . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 設(shè) )(xf 在 0 x 的 某 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) , 且 ,0)0( f,2cos1 )(lim0 xxfx 則 在 點(diǎn) 0 x 處 ).()(xf(A) 不 可 導(dǎo) ;(B) 可 導(dǎo) , 且 ;0
22、)0( f(C) 取 得 極 大 值 ;(D) 取 得 極 小 值 . D提 示 : 利 用 極 限 的 保 號 性 . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 作 業(yè) : 改 極 限 值 2為 -2,以 上 哪 個 結(jié) 論 正 確 ? 方 法 一 (推 演 法 ) ,02cos1 )(lim0 xxfx因?yàn)?(0cos1 )(,極限的保號性必有為中心的鄰域內(nèi)故在以 xxfx .)0()(,0)0()(,0cos1 )0()( fxffxfxfxf 即.)()0(,的極小值為再由極值的定義可知xff方 法 二 (推 演 法 ) .0lim,2cos1 )(, 0 xxxf有根據(jù)函數(shù)與極
23、限的關(guān)系0)cos1()cos1(2)0()( xxfxf 從而 方 法 三 (賦 值 法 ) .22/ )(lim,21cos1,0 202 x xfxxx x故極限等價于時因當(dāng).)( 2xxf 故可設(shè).0)(, 2處取得極小值在顯然 xxxf ).0()()0,()( ).0()(),0()( .)0,()()(.),0()()( ,0,0)0(,)(.2 ?.1)3( );1ln()2( ;1cos)1( cos1.1: 2 2 fxfxD fxfxC xfBxfA fxfe xx xx 有對任意的有對任意的內(nèi)單調(diào)減少在內(nèi)單調(diào)增加在使得則存在且連續(xù)設(shè)函數(shù)以上哪個結(jié)論正確改為分別將作業(yè) .
24、0)(),()( .0)(),()( ).()(),()( ).()(),()( . ,0)(,0)(,)(.3 00 00 00 00 xfbaxD xfbaxC bfxfbaxB afxfbaxA bfafbaxf使得至少存在一點(diǎn)使得至少存在一點(diǎn)使得至少存在一點(diǎn)使得至少存在一點(diǎn)錯誤的是則以下結(jié)論且上連續(xù)在設(shè)方 法 (圖 形 法 ) xyO ba y=f(x) .)()1,1(;)()1,1()( .)()1,1(;)()1,1()( .)()1,1()1,1()( .)()1,1()1,1()( ,1)1()1(, )(,)1,1()(.4 xxfxxfC xxfxxfC xxfB xxf
25、A ff xfxf 內(nèi)在內(nèi)在內(nèi)在內(nèi)在內(nèi)均有和在內(nèi)均有和在則且減少單調(diào)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)在已知 可得結(jié)論單調(diào)減少二階可導(dǎo)且由分析,)()(: xfxf .0)( xf ?0)(,1)1()1()(,)(聯(lián)系起來與如何把 xfffxxfxxf泰 勒 公 式 !推 演 排 除 法得處泰勒展開在將,1)( xxf xxfxxfx xfxffxf 22 2 )1(2 )()1(2 )()1(1 )1(2 )()1)(1()1()( 5. 設(shè) )(xfy 是 方 程 042 yyy 的 一 個 解 ,若 ,0)( 0 xf 且 ,0)( 0 xf 則 )(xf 在 )(0 x(A) 取 得 極 大 值 ;(B
26、) 取 得 極 小 值 ;(C) 在 某 鄰 域 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 ;(D) 在 某 鄰 域 內(nèi) 單 調(diào) 減 少 .提 示 : ,)(代入方程將xf 0)(4)( 00 xfxf A 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 得令,0 xx A B定 義 3 設(shè) 函 數(shù) )(xf 在 區(qū) 間 I 上 連 續(xù) , , 21 Ixx (1) 若 恒 有 ,2 )()()2( 2121 xfxfxxf 則 稱的)(xf圖 形 是 凹 的 ;(2) 若 恒 有 ,2 )()()2( 2121 xfxfxxf 則 稱的)(xf連 續(xù) 曲 線 上 有 切 線 的 凹 凸 分 界 點(diǎn)稱 為 拐 點(diǎn)
27、.圖 形 是 凸 的 . yo x2x1x 2 21 xx yo x1x 2 21 xx 2xyo x三 、 曲 線 的 凹 凸 性 與 拐 點(diǎn) 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 5(凹 凸 判 定 法 ) )(xf(1) 在 I 內(nèi) ,0)( xf 則 在 I 內(nèi) 圖 形 是 凹 的 ;)(xf(2) 在 I 內(nèi) ,0)( xf 則 在 I 內(nèi) 圖 形 是 凸 的 .)(xf 證 , 21 Ixx 利 用 一 階 泰 勒 公 式 可 得)()( 1 fxf 2 21 xx !2 )( 1f 21 )( x 2 21 xx )()( 2 fxf 2 21 xx )(f 2
28、 21 xx )( 2 x 2 21 xx !2 )( 2f 22 )( x 2 21 xx 兩 式 相 加 )(2)()( 21 fxfxf 2 21 xx 22!21 )( 12 xx )()( 21 ff ,0)(時當(dāng) xf ),(2 )()( 21 fxfxf 2 21 xx 說 明 (1) 成 立 ; (2)(f 2 21 xx )( 1x 2 21 xx 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 設(shè) 函 數(shù) 在 區(qū) 間 I 上 有 二 階 導(dǎo) 數(shù)證 畢 例 35 判 斷 曲 線 xy 1 的 凹 凸 性 .解 ,2 xy ,2 3 xy,)0,(時當(dāng)x ;0y,),0(時當(dāng)x
29、 ,0y 曲 線 是 凹 的 .根 據(jù) 拐 點(diǎn) 的 定 義 及 定 理 5, 可 得 拐 點(diǎn) 的 判 別 法 如 下 :若 曲 線 )(xfy ,0連續(xù)在點(diǎn)x 0)( 0 xf 或 不 存 在 ,但 )(xf 在 兩 側(cè) 異 號 ,0 x 則 點(diǎn) )(,( 00 xfx 是 曲 線)(xfy 的 一 個 拐 點(diǎn) . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 曲 線 是 凸 的 . 練 習(xí) 1 判 斷 曲 線 4xy 的 凹 凸 性 .解 ,4 3xy 212xy 時，當(dāng)0 x ;0y ,0時x ,0y故 曲 線 4xy 在 ),( 上 是 向 上 凹 的 .說 明 若 在 某 點(diǎn) 二 階
30、 導(dǎo) 數(shù) 為 0 ,則 曲 線 的 凹 凸 性 不 變 . 在 其 兩 側(cè) 二 階 導(dǎo) 數(shù) 不 變 號 ,xyo 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 練 習(xí) 2 求 曲 線 3 xy 的 拐 點(diǎn) . 解 ,3231 xy 3592 xyxyy 0)0,( ),0( 不 存 在0 因 此 點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為 曲 線 3 xy 的 拐 點(diǎn) . o xy凹 凸 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 xxy 2436 2 )(36 32 xx例 36 求 曲 線 143 34 xxy 的 凹 凸 區(qū) 間 及 拐 點(diǎn) .解 :1) 求 y ,1212 23 xxy 2) 求
31、 拐 點(diǎn) 可 疑 點(diǎn) 坐 標(biāo)令 0y 得 ,0 3221 xx 對 應(yīng)3) 列 表 判 別 271121 ,1 yy)0,( ),0( 32 ),(32 yxy 0 32 0 01 2711 故 該 曲 線 在 )0,( ),(32 及 上 向 上 凹 ,向 上 凸 , 點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及 ),( 271132 均 為 拐 點(diǎn) .上在),0( 32凹 凹凸 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 32)1,0( ),( 271132 例 37 試 問 曲 線 xxy arctan 是 否 有 拐 點(diǎn) ？解 ,1arctan 2xxxy .)1( 2 22xy ;0y故 曲 線
32、弧 恒 為 凹 的 ， 因 此 該 曲 線 無 拐 點(diǎn) .說 明若 二 階 導(dǎo) 數(shù) 不 變 號 ,則 曲 線 的 凹 凸 性 不 變 . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 由 于 對 于 定 義 域 內(nèi) 任 意 的 x都 有 ,26 axy 曲線的二階導(dǎo)數(shù)為例 38 設(shè) 點(diǎn) (1 ,3)是 曲 線 1423 bxaxxy的 拐 點(diǎn) ,求 a， b值 .解 由 于 點(diǎn) (1 , 3)在 曲 線 上 ， 故 有.012ba因 為 點(diǎn) (1 ,3)是 曲 線 的 拐 點(diǎn) ， 故 二 階 導(dǎo) 數(shù) 在 x=1處 的值 為 0， 即 ,026 a 得 ,3a將 a=-3代 入 a+b+12=
33、0， 得 b=-9. 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ).(,0,4)( .20, )()(.2 xfxf xxx xfxf求極小值為的極大值為若處和軸交于且與開口向上物線的圖像是一條二次拋的導(dǎo)函數(shù)函數(shù) .0,)( 2 acbxaxxf其中設(shè)解.0,000,0)0( 2 ccbaf得由.2,220,0)2( 2 abbaf 得由Caxaxdxaxaxxf axaxxf 232 2 31)2()( ,.2)(得積分于是20 )(xfy 可得極小值為的極大值為由,0,4)(xf Caa Caa 22310 00314 22 34aC .43)( 23 xxxf故 )10(.)1,1
34、()( ,0ln)()2007(39分附近的凹凸性在點(diǎn)試判斷曲線確定由方程設(shè)函數(shù)年例xyy yxyyxyy 得求導(dǎo)兩邊對方程解,0ln xyxyy 求導(dǎo)得兩邊再對解得xyy ,ln2 1 32 )ln2( 1,)ln2( yyyyyyyy 代入得將.081)1(1,1 yyx代入得將.)1,1()(附近是凸的在點(diǎn)故曲線xyy 012ln yyy .)()0,0(,)(0)( .)()0,0(,)(0)( .)()0,0(,)(0)( .)()0,0(,)(0)( ,)1()(2004的拐點(diǎn)也不是曲線的極值點(diǎn)不是的拐點(diǎn)是曲線且的極值點(diǎn)是的拐點(diǎn)是曲線但的極值點(diǎn)不是的拐點(diǎn)不是曲線但的極值點(diǎn)是則設(shè)函數(shù)
35、年xfyxfxA xfyxfxA xfyxfxB xfyxfxA xxxf 分 析 : f(x)在 x=0處 一 階 和 二 階 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在 ,故 只 能 從 導(dǎo) 數(shù) 的 符 號 和 極 值 的 定 義 求 解 . .)(0),0()(,0)( ,0)(,),0()0,(,10的極小值點(diǎn)是即故而時當(dāng)設(shè)解xfxfxfxf xfx .)(0 .021)(,),0( .012)(,)0,( ,2/10:的極小值點(diǎn)是故時當(dāng)時當(dāng)設(shè)或者xfx xxfx xxfx .)(0 .02)(,),0(.02)(,)0,(的拐點(diǎn)是故時當(dāng)時當(dāng)xfx xfxxfx 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 可 導(dǎo) 函 數(shù) 單 調(diào) 性
36、 判 別Ixxf ,0)( )(xf 在 I 上 單 調(diào) 遞 增Ixxf ,0)( )(xf 在 I 上 單 調(diào) 遞 減2.曲 線 凹 凸 與 拐 點(diǎn) 的 判 別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線I xfy )(Ixxf ,0)( +上向上凸在曲線I xfy )(拐 點(diǎn) 連 續(xù) 曲 線 上 有 切 線 的 凹 凸 分 界 點(diǎn) 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí)1,0 上 ,0)( xf 則 ,)1(,)0( ff )0()1( ff 或 )1()0( ff 的 大 小 順 序 是 ( ) )0()1()0()1()( ffffA )0()0()1()1()( ff
37、ffB )0()1()0()1()( ffffC )0()1()0()1()( ffffD 提 示 : 利 用 )(xf 單 調(diào) 增 加 , )10()()0()1( fff 及B1. 設(shè) 在 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 . ),( 21 )1,( 2121 e2. 曲 線 21 xey 的 凹 區(qū) 間 是凸 區(qū) 間 是拐 點(diǎn) 為提 示 : )21(2 22 xey x ),( 2121),( 21 及 yo x)1,( 2121 e )1,( 2121 e ; ; 第 五 節(jié) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .,14)3,1( 23值和求的拐點(diǎn)是曲線設(shè)作業(yè)題babxaxxy
《高數(shù)教學(xué)課件》第三節(jié)之一函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性
