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1、一、交錯級數(shù)及其審斂法 二、絕對收斂與條件收斂 第 三 節(jié) 一 般 常 數(shù) 項 級 數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八章 一 、交錯級數(shù)及其審斂法 定義1 各項符號正負(fù)相間的級數(shù) nn uuuu 1321 )1(稱為交錯級數(shù) .定理1 ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù);),2,1()1 1 nuu nn ,0lim)2 nn u nn n u 1 1)1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項滿足.1 nn ur .,2,1,0 nun其中 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證: )()()( 21243212 nnn uuuuuuS )()()( 1222
2、543212 nnn uuuuuuuS 1u是單調(diào)遞增有界數(shù)列,nS2 12lim uSS nn 又)(limlim 12212 nnnnn uSS nn S2lim故級數(shù)收斂于S, 且,1uS :的余項nS 0nu2 nn SSr )( 21 nn uu 21 nnn uur 1 nu故S 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ;!)12( 1)1(!71!51!311)1( 1 nn例16 判別下列交錯級數(shù)的斂散性: .10)1(104103102101)2( 1432 nn n!)12( 1 nun解 (1) 由于 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 !)12( 12)12( 1 nnn且
3、,0!)12( 1 1 nun所以，由萊布尼茲判別法，知原交錯級數(shù)收斂.,0!)12( 1limlim nu nnn nn n10)1(104103102101)3( 1432上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ? 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1(1010 11 nnuu nnnn解 (2) 由于un 0，11110 n又因為.01 nn uu所以所以，由萊布尼茲判別法，知原交錯級數(shù)收斂.,010lim xx x所以.010limlim nnnn nu 二、絕對收斂與條件收斂 定義 對任意項級數(shù),1n nu若若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級 1 1 1)1(
4、n n n ,!)1( 1)1(1 1 n n n 1 110)1(n nn n1n nu收斂 ,1n nu數(shù)1n nu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如:絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理2 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .證 設(shè)1n nu nv ),2,1( n根據(jù)比較審斂法顯然,0nv 1n nv收斂,收斂12n nvnnn uvu 2 ,1n nu1n nu也收斂)(21 nn uu 且 nv ,nu收斂 ,令 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例17 判斷下列級數(shù)的斂散性 : 1 1 11 .1121)1()3( ;1)1()2();(!)1( 2
5、n nnn n nn n n nana為常數(shù)解 (1) ,!nau nn ,01limlim 1 nauu nnnn ,!, 1收斂知級數(shù)由比值判別法 n nna因此 1 !n nna絕對收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .1)1()2( 1 1 n n n解 (2) 對任意的正整數(shù) n，有,0111 1 nn unnu ,01lim nn及,1)1(, 1 1收斂知級數(shù)由萊布尼茲判別法 n n n ,)21(11)1( 11 1級數(shù)的發(fā)散而級數(shù)ppnn nn n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .1)1(1 1條件收斂故級數(shù) n n n 1 21121)1()3( n nnn
6、n解 (3) ,1121 2nnn nu n nn ulim ,0lim nn u .)11(21)1( 1 2發(fā)散因此級數(shù) n nnn n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nn n 1121lim ,12e ,0lim nn u從而 練習(xí)1 證明下列級數(shù)絕對收斂 : .)1()2(;sin)1( 1 21 4 n nnn ennn證: (1) ,1sin 44 nnn 而1 41n n收斂 , 1 4sinn nn收斂因此1 4sinn nn絕對收斂 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 令,2nn enu nnn uu 1lim lim n 1 2)1( nen nen2 21
7、1lim nnen 11 e因此 1 2)1(n nn en 1 2)1(n nn en收斂,絕對收斂. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. ),3,2,1(0 nun設(shè),1lim nunn且則級數(shù) ).()1( 1111 1 nn uun n(A) 發(fā)散 ; (B) 絕對收斂;(C) 條件收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)條件不能確定.分析: ,1lim nunn由, 11 nun知 (B) 錯 ;)( 21 11 uunS 又)( 32 11 uu C )( 43 11 uu )( 54 11 uu )()1( 1111 nn uun 11 111 )1( nunu 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為收斂級數(shù)1n nu設(shè)Leibniz判別法: 01 nn uu 0lim nn u則交錯級數(shù)nn nu 1 )1(收斂概念: ,1收斂若n nu 1n nu稱絕對收斂,1發(fā)散若n nu條件收斂1n nu稱 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)
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