《高數教學課件》第二節(jié)之一1.數列的極限

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1、 第一章 （二）收斂數列的性質 （三 ）極限存在準則 （一） 數列極限的有關概念 第 二 節(jié) 極 限 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一 數 列 極 限 數學語言描述: r（一 ）數列極限的有關概念1.引例設有半徑為 r 的圓 ,nA逼近圓面積 S . n如圖所示 , 可知nA n nnr cossin2 ),5,4,3( n當 n 無限增大時, nA無限逼近 S,0 ,N正整數當 n N 時,SAn用其內接正 n 邊形的面積總有劉徽 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義1自變量取正整數的函數稱為數列,記作)(nfxn 或 .nx nx稱為通項(一般項) .若數列 nx及常數 a 有下列關系

2、 :,0 ,N正數當 n N 時,總有記作此時也稱數列收斂 , 否則稱數列發(fā)散 .幾何解釋 : a aa )( axa n )( Nn即),( axn )( Nnaxnn lim或)( naxn1Nx 2Nx axn則稱該數列 nx的極限為 a ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如, ,1,43,32,21 nn 1 nnxn )(1 n ,)1(,43,34,21,2 1nn n nnx nn 1)1( )(1 n ,2,8,4,2 n nnx 2 )( n ,)1(,1,1,1 1 n 1)1( nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例35. 已知,)1(n

3、nx nn 證明數列 nx的極限為1. 證: 1nx 1)1( nn n n1,0欲使,1 nx即,1 n只要1n因此 , 取,1N則當Nn時, 就有 1)1(nn n故1)1(limlim nnx nnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例36 .3)3(432 2的極限為證明數列 nn nxn證 nn ax 3432 2 n n 4122 n ,)3(12 nn,0欲使,3 nx ,12 n只要,12n即,3,12max N取就有時則當,Nn ,3 432 2 n n即.343lim 2 2 n nn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例37. 設,1q證明等比數列 ,1 12 nq

4、qq證: 0nx 01 nq,)1,0(欲使,0 nx只要,1 nq即,lnln)1( qn亦即因此 , 取 qN lnln1 , 則當 n N 時,就有 01nq故0lim 1 nn q .lnln1 qn 的極限為 0 . 1 nq 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習 已知,)1( )1( 2 nx nn證明.0lim nn x證: 0nx 0)1( )1( 2 n n 2)1( 1 n 11 n,)1,0(欲使,0 nx只要,11 n即n取,11 N則當Nn時, 就有,0 nx故0)1( )1(limlim 2 nx nnnn ,0 111 nnnx 故也可取 1N也可由2)1(

5、10 nnx .11N 與 有關, 但不唯一.不一定取最小的 N .說明: 取 11 N 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 23 ba a b22 abnab ax （二）收斂數列的性質證: 用反證法. axnn lim及,lim bxnn 且.ba取,2ab因,lim axnn 故存在 N1 , ,2abn ax 從而2banx 同理, 因,lim bxnn 故存在 N2 , 使當 n N2 時, 有2banx 定理1 收斂數列的極限唯一.使當 n N1 時, 2ba2ab 2ab假設b nba x2 23 ab,2abn bx 從而2banx 矛盾.因此收斂數列的極限必唯一.則當 n N

6、 時, ,max 21 NNN 取故假設不真 ! nx滿足的不等式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理2 收斂數列一定有界.證: 設,lim axnn 取,1 ,N則當Nn時, 從而有nx aaxn a1取 ,max 21 NxxxM a1則有.),2,1( nMxn由此證明收斂數列必有界.說明: 此性質反過來不一定成立 .例如, 1)1( n雖有界但不收斂 .aaxn )(,1axn有數列 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理3 收斂數列的保號性.若,lim axnn 且0a ,NN則Nn當時, 有0nx ,)0(.)0(證:對 a 0 ,取,2a ,NN則,時當Nnaxn 2a n

7、x 02 aa a x2a 2a推論:若數列從某項起0nx ,lim axnn 且0a則)0(.)0( (用反證法證明)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 azy nnnn limlim)2(1. 夾逼準則 (準則1) ),2,1()1( nzxy nnn axnn lim證: 由條件 (2) , ,0 ,1N當1Nn 時, ,ayn當2Nn 時, azn令 ,max 21 NNN 則當Nn 時, 有, aya n , aza n由條件 (1) nnn zxy a a即,axn故 .lim axnn ,2N 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 （三）極限存在準則(P44) 例55. 證明112

8、111lim 222 nnnnn 證: 利用夾逼準則 . nnnn 222 12111 nnn2 12 nn且nnn n 2lim nn /11 1lim 11lim 2 nnn 2111lim nn 1 112111lim 222 nnnnn 由 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例56. 求極限.0,lim abbann nnn其中證n nnn n bxb 2 ,n nnn bax 又因為,12lim nn .2limlim bbb n nnn nn .lim bban nnn 設 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 由于ba0,因此，有P45. 錯誤更正因此有于是由利用夾逼準則，得 習

9、作題212211lim.2 222 nnn nnnnnn 證明11211lim.1 222 nnnnnn 證明 2. 單調有界數列必有極限 ( 準則2 )（P45）Mxxxx nn 121 mxxxx nn 121 )(lim Maxnn )(lim mbxnn nx 1nx M1x 2x x m nx1nx 1x2x x( 證明略 )ab機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .lim,2,22,257 121 nnnn xxxxx 求設例則假設易知單調性解,)1( 121 kk xxxx 12 kk xx kk xx 21有界性)2( 22 1 x顯然2222 12 xx2kx假設22221

10、kk xx則有(3)求極限axnn lim設axnn 1lim,有由極限惟一性12limlim nnnn xx兩邊求極限),(1,2,2舍去不合解之得即 aaaa .lim.,2,1),(21,0,058 10 nnnnn xnxaxxxa 求設例因為知由有界性解).,2,1(0,0)1( 0 nxx n)(211 nnn xaxx ,axax nn 單調性)2( )1(21 21 nnn xaxx ,1)1(21 aa.1 nn xx 即(3)求極限.lim Axnn 設Axnn 1lim,有由極限惟一性),(21limlim 1 nnnnn xaxx 兩邊求極限)(,)(21負的舍去解之得

11、即aAAaAA .lim.0, 121 nnnn xaxaxaaxax 求設練習則假設易知單調性解,)1( 121 kk xxxx 1 kk xax kk xax 1有界性)2( 11 aax顯然1)1(121 2 12 aaaaaaxax 1 axk假設111 aaaxax kk則有(3)求極限Axnn lim設Axnn 1lim,有由極限惟一性1limlim nnnn xAx兩邊求極限)411(21,2 aAAA 解之得即 公式推導. 設,),2,1()1( 1 nx nnn證明數列 nx極限存在 . 證: 利用二項式公式 , 有nnnx )1( 1 1 nn 1!1 21!2 )1( n

12、nn 31!3 )2)(1( nnnn nnn nnnn 1! )1()1( 11 ) 1( 1!1 nn ) 1( 2n ) 1( 1nn)1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11nx ) 1( 1!1 nn ) 1( 2n ) 1( 1nn)1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n 111nx )1( 11!21 n )1)(1( 1211!31 nn )1()1)(1( 11211!)1( 1 nnnnn 大 大 正),2,1(1 nxx nn 11)1( 1 nnnx !21 !31 !1n又比較可知 機動 目錄 上

13、頁 下頁 返回 結束 根據準則 2 可知數列 nx記此極限為 e , ennn )1(lim 1 e 為無理數 , 其值為590457182818284.2e即有極限 . 原題 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11)1( 1 nnnx !21 !31 !1n 11 21 221 121 n又32121111 n 1213 n .11lim59 2 nn n求例211lim nn n 21111lim nn nn解.e1e nn n 11lim 211lim nn 各分點為例60. 設某藥物一次靜脈注射后，瞬時血藥濃度的消除速率與該瞬時血藥濃度成正比，比例系數為r.一次靜脈注射后，藥物立刻在體內達

14、到平衡的血藥濃度為M0(這時t=0) ,求經過時間T后，血藥的濃度M(t).解： 因為血藥在體內的消除過程是連續(xù)進行的,每一時刻血藥的濃度及其變化的速率不相同.為此將時間段0, T分為n等份,每段時間為.,)1(,2,0 Tn TnnTnT .nT機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 于是第一小段時間間隔內消除的血藥濃度為,0 nTMr ,)1(0001 nTrMnTMrMM 盡管不同時刻體內的血藥濃度不同,濃度的消除速率也不同.但是,當n很大時,時間間隔(T/n)很短,在這個很短的時間間隔內,血藥濃度的變化不大,可以用“不變的”速率來代替“變化”的速率，即在這個很短的時間間隔內，可以把血藥消除

15、的速率看成常量，它與這個時間間隔開始時的血藥濃度成正比。剩余的血藥濃度為 第二小段時間間隔內消除的血藥濃度為nTMr 1 nTMrMM 112 剩余的血藥濃度為,)1(0 nTnTrMr nTnTrMrnTrM )1()1( 00 )1(0 nTrM )1( nTr ,)1( 20 nTrM 第三小段時間間隔內消除的血藥濃度為 nTMr 2 nTMrMM 223 剩余的血藥濃度為,)1( 20 nTnTrMr ,)1( 30 nTrM 依次類推，便得n個時間間隔末剩余的血藥濃度為,)1( 0 nn nTrMM 時刻體內的血藥濃度為得時當Tn , .e0 TrM nnnn nTrMMtM )1(limlim)( 0 內容小結1. 數列極限的 “ N ” 定義及應用2. 收斂數列的性質:唯一性 ; 有界性 ; 保號性;任一子數列收斂于同一極限3. 極限存在準則:夾逼準則 ; 單調有界準則 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數列.2. 已知),2,1(21,1 11 nxxx nn , 求nn xlim時,下述作法是否正確? 說明理由.設,lim ax nn 由遞推式兩邊取極限得aa 21 1a不對!此處 nn xlim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束