《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)求導(dǎo)法則

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1、第 二 節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 第二章 五、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例 思路: x xfxxfxf x )()(lim)( 0 ( 構(gòu)造性定義 )求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1)(C )sin( x )ln( x證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理13.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu )()( )()( xvxu及的和、差、積、商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),且)()()()()1( xvxuxvxu )()()()()()()2(

2、xvxuxvxuxvxu )( )()()()()( )()3( 2 xv xvxuxvxuxv xu 下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.)0)( xv 此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證設(shè), 則vuvu )()1( )()()( xvxuxf h xfhxfxf h )()(lim)( 0 h xvxuhxvhxuh )()()()(lim0 h xuhxuh )()(lim0 h xvhxvh )()(lim0 )()( xvxu 故結(jié)論成立.wvuwvu )(,例如例如, (2) vuvuvu )(證 設(shè),)()()( xvxuxf 則有h xfhxfxf h )()(l

3、im)( 0 h xvxuhxvhxuh )()()()(lim0 故結(jié)論成立.)()()()( xvxuxvxu hhxuh )(lim0 )(xu )( hxv h xv )( )(xu )( hxv 推論: )()1 uC )()2 wvu uC wvuwvuwvu ( C為常數(shù) ) )()( lim0 xvhxvh )()( )()()()( xvhxv hxvxuxvhxu h )()( xvxu(3) 2v vuvuvu 證 設(shè))(xf則有h xfhxfxf h )()(lim)( 0 hh lim0,)( )(xv xu )( )( hxv hxu )( )(xv xuhhxu

4、)( )(xu )(xv hhxv )( )(xu )(xv故結(jié)論成立.)( )()()()( 2 xv xvxuxvxu 推論: 2v vCvC ( C為常數(shù) ) 例解xsin41(21 )1sin ,)1sincos4( 3 xxxy .1 xyy及求y )( x x )1sincos4(21 3 xxx 23( xx ) 1xy 1cos4 )1sin43( 1cos21sin2727 )1sincos4( 3 xx )1sincos4( 3 xx 例24解: )( 3 x23x )(log2 xxe .5sin的導(dǎo)數(shù)求xxy y )(sin xxcos .logecos25 23的導(dǎo)數(shù)

5、求例xxxy x y解)(cos x )e( xxsin 2ln1x)5( x .5ln5x 例26解: )(coslne xxx 212x .)sinlncoscos(lne3 xxx xxxx .,coslne34sin2 3 yxxxxxy x 求設(shè)y )sin2( xx sin)(2 xx cosln)e(3 xxx xxx cos)(lne xx sin1 xxcos2 )4( 3 x )(sin xx )coslne3( xxx 212x 例27解: .,)cos(sine yxxy x 求設(shè)y )cos(sin)e( xxx )cos(sine xxx .cose2 xx )si

6、n(cose xxx )cos(sine xxx )(cscx xsin1 x2sin )(sin x x2sin例28 求證,sec)(tan 2 xx 證.cotcsc)(csc xxx xxx cossin)(tan x2cosxx cos)(sin )(cossin xx x2cosx2cos x2sin x2sec xcosxxcotcsc類似可證: ,csc)(cot 2 xx .tansec)(sec xxx )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理4y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此,)()( 1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy 在)(

7、1 yf 0)( 1 yf且 dd xy或,0 x )()( xfxxfy ,0 xy yx ,00 yx時(shí)必有xyxf x 0lim)( lim0 y yx yxdd 1 )( 1 yf 11 )( 1 yf1 1 1例30 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 1) 設(shè),arcsinxy 則,sin yx ,)2,2( y)(arcsin x )(sin y ycos1 y2sin1 1211x類似可求得?)(arccos x ,1 1)(arctan 2xx 21 1)arccot( xx 211x xx arcsin2arccos 利用0cos y , 則 2) 設(shè),)1,0( aaay

8、x則),0(,log yyx a)( xa )(log1 ya 1 ayln1 ayln aax lnxx e)e( )arcsin( x 211 x )arccos( x 211 x)arctan( x 21 1x )cotarc( x 21 1xaaa xx ln)( xx e)e( 特別當(dāng)ea時(shí),小結(jié): 在點(diǎn) x 可導(dǎo), lim0 x xuxuuf )(xyxy x 0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理5 )(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且)()(dd xgufxy 在點(diǎn) x 可導(dǎo),證)(ufy 在點(diǎn) u 可導(dǎo),故)(lim0 ufuyu uuufy

9、)(（當(dāng) 時(shí) )0u 0故有)()( xguf uy )(uf)0()( xxuxuufxy 例如, )(,)(,)( xvvuufy xydd )()()( xvuf yuvxuydd vudd xvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形. 例32 設(shè),)52( 73 xy求.ddxy解.52, 37 xuuy設(shè)uyxy dddd 則xudd)( 7 u )52( 3 x 67u )06( 2 x .)52(42 263 xx 2642 xu 例33 設(shè),cosln xy 求.ddxy解.cos,ln xuuy 設(shè)uyxy dddd 則xud

10、d )(ln u )(cos xu1 )sin( x .tanx )sin(cos1 xx 例34 設(shè),2 1tanxy 求.ddxy解: .,tan,2 1 xvvuy u設(shè)uyxy dddd 則vudd)2( u )(tan v)2ln2( u )(sec2 vxvdd )( 1 x .1sec22ln 21tan2 xx x )( 2 x 例35 設(shè),)ecos(ln xy 求.ddxy解xydd )cos(1 xe )sin( xe xe)tan( xx ee思考: 若)(uf存在 , 如何求)cos(ln xef的導(dǎo)數(shù)?xfdd )cos(ln( xef )cos(ln xe )co

11、s(ln)( xeuuf 這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí): 設(shè),)( xfffy .,)( yxf 求可導(dǎo)其中 例36 設(shè),)(sinln 22 xy 求.ddxy解xydd )ln(sin2 2 x )ln(sin2 x)ln(sin2 2 x x2sin1 )(sin2 xxx 22 sin1)ln(sin2 )(sinsin2 xx練習(xí): 設(shè),)( xfffy .,)( yxf 求可導(dǎo)其中xxx sin2sin1)ln(sin2 22 xcos.cot)ln(sin4 2 xx 例37 設(shè),)(ln 22 axxy .y求解y 221 axx 1 222 1 ax )( 22 ax 22 22

12、ax xax )( 22 axx221 axx 1( 222 1 ax )2x221 axx 221 ax 221 axx 例38. 求解: ,11 11 xx xxy .y2 122 2 xxy 12 xx1 y 12 12 x )2( x 11 2 xx練習(xí).設(shè)),0( aaaxy xaa axa解: 1 aaaxay aa ax ln 1 axaaa xa ln求.yaax ln 例39. 求下列導(dǎo)數(shù): .)(arctan)()2();(ln)(ln)1( 2 xfxfyxfxfy 解: (1) )(ln xfy )(ln xf)ln( xf )(ln x )(1xf )(xf)( )(

13、)(ln xf xfx xf (2) )( 2 xfy )(arctanxf )( 2xf )(arctan xf)( 22 xxf )(arctan x)(arctanxf)(arctanxf .)(arctan1 )( 22 xfxxf )( 2xf)(arctan)(2 2 xfxfx 例40. 求下列導(dǎo)數(shù): .)(sh)3(;)()2(;)()1( xxx x解 (1) )()( ln xex xe ln )ln( x x x1 x )()( ln xxx ex xxe ln )ln( xx xx )1ln( x(2)(3) 2)(sh xx eex 2 xe xe xch說明: 類似

14、可得;sh)(ch xx axx ea ln)(th x )( xaxxx chshth 2sh xx eex ;ch12 x .lnaax 例41. 設(shè)f(u)為可導(dǎo)函數(shù)，且.)()3(,)3( 5 xfxfxxf 和求解法一 先求函數(shù) f(x)的表達(dá)式,3,3 uxux則令得代入,)3( 5xxf .)3()( 5 uuf的表達(dá)式為可得函數(shù)于是)(, xf ,)3()( 5 xxf.)3(5)(, 4 xxf有因此.5)3( 4xxf 將x換成x+3,可得解法二 等式 f(x+3)=x5兩邊直接對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得,5)3)(3( 4xxxf ,5)3( 4xxf 即可得換成將,3 xx .)3

15、(5)( 4 xxf 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù))(C 0 )( x 1 x)(sinx xcos )(cosx xsin)(tanx x2sec )(cotx x2csc)(secx xxtansec )(cscx xxcotcsc)( xa aax ln )( xe xe)(log xa axln1 )(lnx x1)(arcsinx 211x )(arccosx 211x)(arctanx 21 1x )cot(arc x 21 1x 2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )( vu vu )( uC uC )( vu vuvu vu 2v vuvu ( C為常數(shù)

16、) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(,)( xuufy xydd )()( xuf 4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C 0)(sin x xcos)(ln x x1由定義證 ,說明: 最基本的公式uydd xudd其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) 練習(xí)1. 求解 ,1arctan 2sin 2 xey x .y 1arctan) ( 2 xy ) (2sinxe2sin xe 2cosx x2 21x 12 12 x x2x2 1arctan 2 x2sinxe2cosx 2sin xe112 xx關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) 練習(xí)2. 設(shè)求,11 11ln4

17、11arctan21 222 xxxy .y解 : y 22)1(1 121 x 21 xx )11ln()11ln( 22 xx 11 141 2 x 21 xx 11 12 x 21 xx2121 xx 22 1x 21x23 1)2( 1 xxx 練習(xí)3. 設(shè)y xxxx 2sec12csc41 2 32 ,2tan2cot xxy 解：2csc2 x x2sec2x2121 )121(2 3x練習(xí)4 . 設(shè),)( xfffy 解: )(fy )( xff )(f )(xf )(xf其中)(xf可導(dǎo), 求.y 求.y 五、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例 當(dāng)x的微小變化會(huì)引起函數(shù)值 f(x)的較大變化

18、時(shí)，就說函數(shù) f(x)對(duì)x的變化是相當(dāng)敏感的,導(dǎo)數(shù)正是對(duì)這種敏感性的度量. 例42 孟德爾在進(jìn)行豌豆雜交試驗(yàn)時(shí),選擇種子形狀是圓粒和皺粒的品種作為親本,設(shè)p(0p1)是使豌豆表皮圓滑的基因(顯性基因) 的頻率,則1-p是使豌豆表皮起皺的基因(隱性基因)的頻率,通過雜交試驗(yàn)后, 表皮圓滑的豌豆在下一代中所占的比例為 y=2p(1-p)+p 2=2p-p2.試討論表皮圓滑的豌豆所占的比例對(duì)顯性基因的頻率p變化的敏感性. 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,表皮圓滑的豌豆所占的比例對(duì)顯性基因頻率 p變化的敏感性,即為y對(duì)p的導(dǎo)數(shù).為了討論y對(duì)p變化的敏感性.作.22dd ppy ppy 22dd 的圖象如右圖：pp

19、y 22dd pydd p12o 由圖象可知：當(dāng)p很小時(shí)，p的微小變化會(huì)引起y的很大變化 ，即此時(shí)y關(guān)于p的變化非常敏感. 當(dāng)p很大時(shí)，p的微小變化不會(huì)引起y的較大變化 ，即此時(shí)y關(guān)于p的變化不敏感. 例43 物質(zhì)在化學(xué)分解過程中,開始時(shí)質(zhì)量為m0 經(jīng)過時(shí)間t后,其質(zhì)量為 m(t),它們之間滿足方程 m=m0 e-k t其中k為常數(shù)，試求該物質(zhì)的分解速度. 解 物質(zhì)的分解速度v 就是質(zhì)量m對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即tmv dd .e 0 ktkm ,e0 tkmm 因?yàn)?kmv 故即物質(zhì)的分解速度v 與該物質(zhì)本身在t時(shí)刻的質(zhì)量成正比,負(fù)號(hào)表示質(zhì)量減少. 例44 人體對(duì)一定劑量的藥物的反應(yīng)可用方程 解

20、人體對(duì)藥物的敏感性就是R作為M的函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 即 MRdd )31()32(2 2 MMCM .2MMC )32(2 MCMR 來表示，其中C是一正常數(shù)，M是血液中吸收的一定量的藥物，R是人體對(duì)一定劑量的藥物的反應(yīng)，求人體對(duì)藥物的敏感性. 內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則注意: 1) ,)( vuuv vuvu 2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .41143 x1. xx1 431x 思考與練習(xí)對(duì)嗎? 21143 41 xx 2. 設(shè),)()()( xaxxf 其中)(x在ax 因)()()()( xaxxxf 故)()( aaf ax afxfaf ax )()(lim)( ax xa

21、xax )()(lim )(lim xax )(a正確解法:)(af時(shí), 下列做法是否正確?在求處連續(xù), 3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解: (1) 1 bxaby 2xa 1 bbx ba(2) y )( x .)2(,)1( xb bayxay xba baln xab baln或 xaby abab x ln 4. 設(shè)),99()2)(1()( xxxxxf ).0(f求解: 方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0 )0()(lim)0( 0 x fxff x )99()2)(1(lim0 xxxx !99方法2 利用求導(dǎo)公式. )(xf )( x x )99()2)(1( xxx )99()2)(1( xxx !99)0( f