《《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)多元函數(shù)的基本概念》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高數(shù)教學(xué)課件》第二節(jié)多元函數(shù)的基本概念（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、推 廣第 六 章 一 元 函 數(shù) 微 分 學(xué) 多 元 函 數(shù) 微 分 學(xué) 注 意 : 善 于 類 比 , 區(qū) 別 異 同多 元 函 數(shù) 微 分 學(xué) 第 六 章 第 二 節(jié) 一 、 區(qū) 域二 、 多 元 函 數(shù) 的 概 念三 、 多 元 函 數(shù) 的 極 限四 、 多 元 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 多 元 函 數(shù) 的 基 本 概 念 )( 0o PPU 0 0 PP一 、 區(qū) 域1. 鄰 域點(diǎn) 集 , ),( 0 PPU 稱 為 點(diǎn) P0 的 鄰 域 .例 如 ,在 平 面 上 , ),(),( 0 yxPU (圓 鄰 域 )在 空 間 中 , ),(
2、),( 0 zyxPU (球 鄰 域 )說(shuō) 明 ： 若 不 需 要 強(qiáng) 調(diào) 鄰 域 半 徑 ,也 可 寫 成 .)( 0PU點(diǎn) P0 的 去 心 鄰 域 記 為 0 PP )()( 2020 yyxx )()()( 202020 zzyyxx 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 定 義 1 2. 區(qū) 域(1) 內(nèi) 點(diǎn) 、 外 點(diǎn) 、 邊 界 點(diǎn)設(shè) 有 點(diǎn) 集 E 及 一 點(diǎn) P : 若 存 在 點(diǎn) P 的 某 鄰 域 U(P) E , 若 存 在 點(diǎn) P 的 某 鄰 域 U(P) E = , 若 對(duì) 點(diǎn) P 的 任 一 鄰 域 U(P) 既 含 E中 的 內(nèi) 點(diǎn) 也 含 EE則 稱
3、 P 為 E 的 內(nèi) 點(diǎn) ；則 稱 P 為 E 的 外 點(diǎn) ;則 稱 P 為 E 的 邊 界 點(diǎn) . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 的 外 點(diǎn) ,顯 然 , E 的 內(nèi) 點(diǎn) 必 屬 于 E , E 的 外 點(diǎn) 必 不 屬 于 E , E 的邊 界 點(diǎn) 可 能 屬 于 E, 也 可 能 不 屬 于 E . D(2) 開 區(qū) 域 及 閉 區(qū) 域 若 點(diǎn) 集 E 的 點(diǎn) 都 是 內(nèi) 點(diǎn) ， 則 稱 E 為 開 集 ； 若 點(diǎn) 集 E E , 則 稱 E 為 閉 集 ； 若 集 D 中 任 意 兩 點(diǎn) 都 可 用 一 完 全 屬 于 D 的 折 線 相 連 , 開 區(qū) 域 連 同 它
4、 的 邊 界 一 起 稱 為 閉 區(qū) 域 .則 稱 D 是 連 通 的 ; 連 通 的 開 集 稱 為 開 區(qū) 域 ,簡(jiǎn) 稱 區(qū) 域 ; 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 。 。 E 的 邊 界 點(diǎn) 的 全 體 稱 為 E 的 邊 界 , 記 作 E ; 例 如 ， 在 平 面 上 0),( yxyx 41),( 22 yxyx 0),( yxyx 41),( 22 yxyx 開 區(qū) 域閉 區(qū) 域 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 xyo 21 xyoxyo xyo 21 整 個(gè) 平 面 點(diǎn) 集 1),( xyx 是 開 集 ，是 最 大 的 開 域 , 也 是 最
5、 大 的 閉 域 ；但 非 區(qū) 域 . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 1 1o xy 對(duì) 區(qū) 域 D , 若 存 在 正 數(shù) K , 使 一 切 點(diǎn) PD 與 某 定 點(diǎn) A 的 距 離 AP K , 則 稱 D 為 有 界 域 , 界 域 . 否 則 稱 為 無(wú) 二 、 多 元 函 數(shù) 的 概 念 引 例 : 圓 柱 體 的 體 積 定 量 理 想 氣 體 的 壓 強(qiáng) 三 角 形 面 積 的 海 倫 公 式,2hrV ,(為常數(shù)）RVTRp )2( cbap cb a 0,0),( hrhr 0,0),( TTVTV cbacbacba ,0,0,0),( )()( cpb
6、pappS 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 hr 定 義 1. 設(shè) 非 空 點(diǎn) 集 ,RnD DPPfu ,)(或點(diǎn) 集 D 稱 為 函 數(shù) 的 定 義 域 ; 數(shù) 集 DP,Pfuu )(稱 為 函 數(shù) 的 值 域 .特 別 地 , 當(dāng) n = 2 時(shí) , 有 二 元 函 數(shù) 2R),(),( Dyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí) , 有 三 元 函 數(shù) 3R),(),( Dzyxzyxfu 映 射 R: Df 稱 為 定 義在 D 上 的 n 元 函 數(shù) , 記 作 ),( 21 nxxxfu 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 x z y例 如 , 二 元 函 數(shù)
7、 221 yxz 定 義 域 為 1),( 22 yxyx圓 域說(shuō) 明 : 二 元 函 數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖 形 為 中 心 在 原 點(diǎn) 的 上 半 球 面 .,)sin(, yxz又如 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 的 圖 形 一 般 為 空 間 曲 面 . 12R),( yx三 元 函 數(shù) )arcsin( 222 zyxu 定 義 域 為 1),( 222 zyxzyx圖 形 為 4R 空 間 中 的 超 曲 面 .單 位 閉 球 x yzo 例 4 求 函 數(shù) 221 1 yxz 的 定 義 域 解 要 使 這 個(gè) 解 析 式 有 意 義
8、 ， x， y必 須 滿 足,01 22 yx.122 yx即 .1),( 22 yxyxD 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 于 是 ， 得 定 義 域點(diǎn) 集 D在 xoy平 面 上 表 示 一 個(gè) 以 原 點(diǎn) 為 圓 心 的 單 位 圓 . xyo 1 122 yx 例 5 求 函 數(shù) )ln(1 xyxz 的 定 義 域 解 要 使 這 個(gè) 解 析 式 有 意 義 ， x， y必 須 滿 足,00 xyx .,0),( xyxyxD 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 于 是 ， 得 定 義 域點(diǎn) 集 D在 xoy右 半 平 面 位 于 直 線 y= x上 方
9、的 部 分 .y o xxy 例 6 求 函 數(shù) 2222 9)1ln( yxxyz 的 定 義 域 解 要 使 這 個(gè) 解 析 式 有 意 義 ， x， y必 須 滿 足,09 0122 22 yxxy .91),( 22 yxyxD 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 于 是 ， 得 定 義 域點(diǎn) 集 D在 xoy平 面 上 的 圓 環(huán) 域 . xy 922 yx 122 yx 3-3 例 8 畫 出 函 數(shù) 22 25 yxz 的 圖 形 解 由 空 間 解 析 幾 何 可 知 ,該 函 數(shù) 表 示 橢 圓 拋 物 面 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 z yx
10、 o 22 25 yxz 例 7 畫 出 函 數(shù) yxz 236 的 圖 形 解 由 空 間 解 析 幾 何 可 知 ,該 函 數(shù) 表 示 一 張 平 面.)6,0,0(,)0,3,0(,)0,0,2( 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 坐 標(biāo) 軸 上 的 三 個(gè) 點(diǎn) :確 定 了 該 平 面 . x yz o6 32 練 習(xí) 題 1. 設(shè) ,),( 222 yxyxf xy 求 .),( 2 yxf xy解 法 1 令 uyx vxy 2 3 vuy 3 vuux),( vuf 32)( 2vuu 32)( vu,2xyu yxv),( 2 yxxyf 2)( 2xy 2y 2
11、y 222 yxy 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 1 . 設(shè) ,),( 222 yxyxf xy 求 .),( 2 yxf xy解 法 2 令 uvyx 2 vuxy 2 vyuvx ),( 2xyyxf),( 2 vuuvf 22 vuv 即 ),( 2 yxxyf 222 yxy ),( 2 vuuvf .)(.)(.)(.)( )(,)(ln 22222222 yxDyxCxyBxyA yxyxxyyxxy 的表達(dá)式為則的解是微分方程已知習(xí)作題得由解,lnxxy ,lnxyx ,ln1xxy 22 )(ln1ln1)(ln 1ln xxxxy 得代入,)(yxxyy )
12、(lnln1)(ln1ln1 2 xxxx ,)(ln1)(ln 2xx 即.1)( 2uu 故.)( 22xyyx 于是 三 、 多 元 函 數(shù) 的 極 限定 義 3. 設(shè) n 元 函 數(shù) ,R),( nDPPf 點(diǎn) , ,),( 0PUDP ,-)( APf 則 稱 A 為 函 數(shù)(也 稱 為 n 重 極 限 )當(dāng) n =2 時(shí) , 記 20200 )()( yyxxPP 二 元 函 數(shù) 的 極 限 可 寫 作 ：Ayxf ),(lim0 APfPP )(lim0 P0 是 D 的 聚若 存 在 常 數(shù) A , 對(duì) 一記 作，時(shí)的極限當(dāng)0)( PPPf Ayxfyy xx ),(lim00
13、都 有 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 對(duì) 任 意 正 數(shù) , 總 存 在 正 數(shù) ,切 例 9 設(shè) )0(1cos)(),( 222222 yxyxyxyxf求 證 ： .0),(lim00 yxfyx證 01cos)( 2222 yxyx故 0),(lim00 yxfyx,0 0),( yxf ,0 22時(shí)當(dāng) yx 22 yx 2 22 yx , 總 有 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 要 證 練 習(xí) . 設(shè) 0, 0 0,sinsin),( 11 yxyxyxyxf xy求 證 ： .0),(lim00 yxfyx證 ： 0),( yxf故 0),(lim
14、00 yxfyx,0 20),( 22 yxyxf yx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)0 22 yx xy yx 11 sinsin 總 有 2 要 證 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 若 當(dāng) 點(diǎn) ),( yxP趨 于 不 同 值 或 有 的 極 限 不 存 在 ，解 : 設(shè) P(x , y) 沿 直 線 y = k x 趨 于 點(diǎn) (0, 0) ,22),( yx yxyxf 222 200 lim),(lim xkx xkyxf xkxyx 在 點(diǎn) (0, 0) 的 極 限 .),( yxf故則 可 以 斷 定 函 數(shù) 極 限則 有21 kkk 值 不 同 極 限 不 同 !
15、在 (0,0) 點(diǎn) 極 限 不 存 在 .以 不 同 方 式 趨 于 ,),( 000時(shí)yxP不 存 在 .例 10 討 論 函 數(shù) 函 數(shù) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 .11lim00 yxyxyx 解 原 式 )11( )11)(11(lim00 yxxy yxyxyx 21例 11 求 111lim00 yxyx 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 )11( 1)1(lim 200 yxxy yxyx 四 、 多 元 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 定 義 4 設(shè) n 元 函 數(shù) )(Pf 定 義 在 D 上 ,)()(lim 00 PfPfPP 0)( PPf在
16、點(diǎn)如 果 函 數(shù) 在 D 上 各 點(diǎn) 處 都 連 續(xù) , 則 稱 此 函 數(shù) 在 D 上 ,0 DP 聚點(diǎn)如 果 存 在 否 則 稱 為 不 連 續(xù) ,0P 此 時(shí)稱 為 間 斷 點(diǎn) .則 稱 n 元 函 數(shù) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 連 續(xù) . 連 續(xù) , 例 如 , 函 數(shù) 0,0 0,),( 22 2222 yx yxyx yxyxf在 點(diǎn) (0 , 0) 極 限 不 存 在 , 又 如 , 函 數(shù) 11),( 22 yxyxf 上 間 斷 .122 yx 故 ( 0, 0 )為 其 間 斷 點(diǎn) .在 圓 周 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 結(jié) 論
17、: 一 切 多 元 初 等 函 數(shù) 在 定 義 區(qū) 域 內(nèi) 連 續(xù) . 性 質(zhì) ： 若 f (P) $#22312;有 界 閉 域 D 上 連續(xù) , 則 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 ,0)1( K )()2( Pf , Mm ;,)( DPKPf 使在 D 上 可 取 得 最 大 值 M 及 最 小 值 m ;(3) 對(duì) 任 意，DQ ;)( Qf使(有 界 性 定 理 ) (最 值 定 理 ) (介 值 定 理 ) 閉 域 上 多 元 連 續(xù) 函 數(shù) 有 與 一 元 函 數(shù) 類 似 的 如 下 性 質(zhì) : 2 22 )3arcsin(),( yx yxyxf 13 22
18、yx 42 22 yx練 習(xí) 求 函 數(shù) 的 連 續(xù) 域 .解 : 02 yx 2yx 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 2oy x2.arcsin)ln(lim12 xyyxyx 解 原 式 )ln(lim12 yxyx .221arcsin)12ln( 例 12 求 極 限 xyyx arcsinlim12 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 區(qū) 域 鄰 域 : ,),( 0PU ),( 0PU 區(qū) 域 連 通 的 開 集2. 多 元 函 數(shù) 概 念n 元 函 數(shù) ),( 21 nxxxf 常 用 二 元 函 數(shù) (圖 形 一 般 為 空 間 曲 面 )三 元 函 數(shù) DP )(Pfu nR
19、 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 APfPP )(lim0 ,0 ,0 時(shí)，當(dāng)0 0 PP 有 )( APf3. 多 元 函 數(shù) 的 極 限4. 多 元 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性1) 函 數(shù)連續(xù)在0)( PPf )()(lim 00 PfPfPP 2) 閉 域 上 的 多 元 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) :有 界 定 理 ; 最 值 定 理 ; 介 值 定 理3) 一 切 多 元 初 等 函 數(shù) 在 定 義 區(qū) 域 內(nèi) 連 續(xù) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 24042 200 1limlim xkxkyx yx xyx 1. 討 論 極 限解 令 y= k x
20、， 則 0若 令 xy 42 200lim yx yxyx 212202lim xxx 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 則 極 限 不 存 在42 200lim yx yxyx 的 存 在 性 . yx yxxx 200lim x xxx 320lim )(lim 320 xxx ,12. yx xyxyx )1ln(lim00 是 否 存 在 ？解 ： xxy 取所 以 極 限 不 存 在 . 3 3 3 ,0,)1ln( yxyx利用yx xyxyx )1ln(lim00 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 3. 證 明 ),( yxf )0,0(),(,22 yxyx yx )0,0(),(,0 yx在 全 平 面 連 續(xù) .證 : ,)0,0(),(處在yx ),( yxf 為 初 等 函 數(shù) , 故 連 續(xù) .又 220 yx yx yxyx 222 22 2221 yx yx 2221 yx 2200lim yx yxyx 0 )0,0(f故 函 數(shù) 在 全 平 面 連 續(xù) .由 夾 逼 準(zhǔn) 則 得 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束
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