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1、
實(shí)數(shù)
練習(xí)題
溫故而知新:
1. 算術(shù)平方根與平方根:
算術(shù)平方根:一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的__平方____等于a,即__x2_=a___,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根,0的算術(shù)平方根是0.
平方根:一般地,如果一個(gè)數(shù)的__平方____等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根(或二次方根),這就是說,如果____x2_=a___,那么x叫做a的平方根,記為
平方根的性質(zhì):(1)正數(shù)有__兩___個(gè)平方根,它們互為相反數(shù)_;(2)0的平方根是___0__;(3)___負(fù)數(shù)_沒有平方根.
2. 立方根:
立方根:一般地,如果一個(gè)數(shù)的___立方_____等于a,那么這個(gè)數(shù)叫
2、做a的立方根或三次方根.這就是說,如果___x3_=a_____,那么x叫做a的立方根.
立方根的性質(zhì):(1)正數(shù)的立方根是___正數(shù)_____;(2)負(fù)數(shù)的立方根是___負(fù)數(shù)_____;(3)0的立方根是____0____,即=_____0___.
3. 實(shí)數(shù)的概念與分類:
__整數(shù)
0
正整數(shù)
有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)
負(fù)整數(shù)
有理數(shù)
正分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
實(shí)數(shù)
正無(wú)理數(shù)
無(wú)理數(shù)_
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
負(fù)無(wú)理數(shù)
例1 一個(gè)正數(shù)x的平方根分別是a+1與a-3,則a的值為( ).
A. 2 B.
3、-1 C. 1 D. 0
解析:
一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù).(下)
(a+1)+(a-3)=0,解得 a=1.
答案:C
小結(jié):
(1)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù);(2)一個(gè)正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù).
例2 已知m是的整數(shù)部分,n是的小數(shù)部分,求m,n..
先估算的值的范圍,再確定其整數(shù)部分,余下的即為小數(shù)部分.
解析:先估算的值的范圍,再確定其整數(shù)部分,余下的即為小數(shù)部分。
答案:解:∵<<
即 3<<4
∴的整數(shù)部分 m=3,的小數(shù)部分n=-3
小結(jié):
確定一個(gè)無(wú)理數(shù)的整
4、數(shù)部分,一般采用估算法(估算到個(gè)位);確定小數(shù)部分的方法是:首先確定其整數(shù)部分,然后用這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分即得小數(shù)部分.
例3 求下列各式中的x:(1)x2-144=0;(2)25x2-16=0;(3)(x-3)2=25.
解析:
先通過移項(xiàng)、系數(shù)化為1,將原式變形為x2=a(a≥0)的形式,再根據(jù)平方根的定義求出未知數(shù)x的值.
答案:
解:(1)x2-144=0
x2=144
x=12;(下)
(2)25x2-16=0
x2=
x=;(下)
(
5、3) (x-3)2=25
x-3=5
x=8或 x=-2
小結(jié):
解這類題目要根據(jù)平方根的意義求解,所以先將方程轉(zhuǎn)化為“x2=a”的形式,再用開平方法求解,這里要注意:當(dāng)a>0時(shí),其平方根有兩個(gè),所以方程有兩個(gè)解.
例4 計(jì)算下列各式的值:(1)(2)(2)-()
解析:
先算乘方與開方,再算乘除,最后算加減.
答案:
解:(1)原式=0-3--(-0.5)+
=0-3-++
=-2(下)
(2)原式=2-
=(2)+()
6、 =
小結(jié):
(1)有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律在實(shí)數(shù)中仍然適用;(2)對(duì)于含有根號(hào)的計(jì)算,其結(jié)果不一定是無(wú)理數(shù).
例5. 如圖3-1所示,一個(gè)瓶子的容積為1升,瓶?jī)?nèi)裝著一些溶液,當(dāng)瓶子正放時(shí),瓶?jī)?nèi)溶液的高度為20 cm,倒放時(shí),空余部分的高度為5 cm,現(xiàn)把瓶?jī)?nèi)的溶液全部倒在一個(gè)圓柱形的杯子里,杯內(nèi)的溶液的高度為10 cm,求:
(1)瓶?jī)?nèi)溶液的體積;
(2)圓柱形杯子的內(nèi)底面半徑(π≈3.14,結(jié)果精確到0.1 cm).
解析:
該瓶的容積相當(dāng)于底面與瓶底面相同,高為25 cm的圓柱體的體積.
答案:
解:1L=1000cm,由題意得瓶子的底面積為(
7、cm2)
(1) 瓶?jī)?nèi)溶液的體積是 4020=800(cm3)
(2) 設(shè)圓柱形杯子的內(nèi)底面半徑為r,則
πr210=800,
∴r=≈5.0(cm)
小結(jié):
解此類等積變形問題的關(guān)鍵是根據(jù)體積不變確定數(shù)量關(guān)系或建立等量關(guān)系.
例6 規(guī)律探究:觀察
,即;,即.
(1)猜想等于什么,并通過計(jì)算驗(yàn)證你的猜想;
(2)寫出符合這一規(guī)律的一般等式.
解析:從給出的運(yùn)算過程中找出規(guī)律,然后依規(guī)律計(jì)算
答案:(1),
驗(yàn)證:;
(2) (n為大于0的自然數(shù)).
小結(jié):
此類規(guī)律型問題的特點(diǎn)是給
8、定一列數(shù)或等式或圖形,要求適當(dāng)?shù)赜?jì)算,必要的觀察,猜想,歸納,驗(yàn)證,利用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,分析特點(diǎn),探索規(guī)律,總結(jié)結(jié)論.
舉一反三:
1. 某正數(shù)的平方根為和,則這個(gè)數(shù)為().
A. 1 B. 2 C. 4 D. 9
解析:由平方根定義知與互為相反數(shù),
所以+=0,
解得a=3,
所以這個(gè)數(shù)的平方根為1,
所以這個(gè)數(shù)為1.選A.
2. 如圖3-3,數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為-1和,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)為( ).
A. -2- B. -1- C. -2+ D. 1+
9、
解析:∵AB=+1,
∴C點(diǎn)表示的數(shù)為-1-(+1)=-2-. 選A
3. (1)1的平方根是 ;立方根為 ;算術(shù)平方根為 .
(2)平方根是它本身的數(shù)是 .
(3)立方根是其本身的數(shù)是 .
(4)算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是 .
解析:思考平方根和立方根的含義,注意特殊的數(shù)字。
答案:(1)1 1 1
(2) 0
(3)1,0
(4)1,0
4. 求下列各式中的x.
(1)x2-5=4; (2)(x-2)3=-0.125
解:(1)x=3; (2)x=1.5.
5. “欲窮千里目,更上一層樓”說的是登得高看得遠(yuǎn),如圖3-2,若觀測(cè)點(diǎn)的高度為h,觀測(cè)者視線能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為d,則d=,其中R是地球半徑(通常取6 400 km).小麗站在海邊一塊巖石上,眼睛離海平面的高度h為20 m,她觀測(cè)到遠(yuǎn)處一艘船剛露出海平面,求此時(shí)d的值.
解析:注意每一個(gè)字母所代表的含義.
答案:解:由R=6 400 km,h=0.02 km,
得d===16(km).
答:此時(shí)d的值為16 km.
7