2019版高考數(shù)學 9.3 用樣本估計總體課件.ppt

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第三節(jié) 用樣本估計總體,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)常用統(tǒng)計圖表 ①頻率分布表的畫法: 第一步:求_____,決定組數(shù)和組距,組距=______; 第二步:_____,通常對組內數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間; 第三步:登記頻數(shù),計算頻率,列出頻率分布表.,極差,分組,②頻率分布直方圖:反映樣本頻率分布的直方圖. 如圖: 橫軸表示樣本數(shù)據,縱軸表示______,每個小矩形的面積表示樣本落 在該組內的_____.,頻率,③莖葉圖的畫法. 第一步:將每個數(shù)據分為莖(高位)和葉(低位)兩部分; 第二步:將最小莖與最大莖之間的數(shù)按_____次序排成一列, 寫在左(右)側; 第三步:將各個數(shù)據的葉依次寫在其莖的右(左)側.,大小,(2)樣本的數(shù)字特征及意義 ①眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù):,大小順序,最中間,最多,②標準差、方差: (i)標準差:表示樣本數(shù)據到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示, s=_________________________________. (ii)方差:標準差的平方s2叫做方差. s2=_______________________________,其中xi(i=1,2,3,…,n) 是樣本數(shù)據,n是_________, 是___________.,樣本容量,樣本平均數(shù),2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)頻率分布直方圖中縱軸的含義是______,不是頻率. (2)小矩形的面積即數(shù)據落在該區(qū)間內的頻率,所有小矩形的面積和 為__. (3)方差(標準差)越小,樣本數(shù)據越穩(wěn)定,波動越___;方差(標準差) 越大,樣本數(shù)據越不穩(wěn)定,波動_____.,1,小,越大,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:由具體到抽象的方法,用樣本估計總體的方法. (2)數(shù)學思想:數(shù)形結合思想,方程思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)一組數(shù)據的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據中的每個數(shù)據.( ) (2)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)都可以描述數(shù)據的集中趨勢.( ) (3)一組數(shù)據的方差越大,說明這組數(shù)據的波動越大.( ) (4)頻率分布直方圖中,小矩形的面積越大,表示樣本數(shù)據落在該區(qū)間內的頻率越高.( ) (5)莖葉圖中的數(shù)據要按從小到大的順序寫,相同的數(shù)據可以只記一次.( ),【解析】(1)錯誤.平均數(shù)一定不大于這組數(shù)據中的最大值.(2)正確.平均數(shù)表示一組數(shù)據的平均水平,眾數(shù)表示一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),中位數(shù)等分樣本數(shù)據所占頻率,都可以從不同的角度描述數(shù)據的集中趨勢.(3)正確.由方差的意義知結論正確.(4)正確.由頻率分布直方圖的意義知結論正確.(5)錯誤,莖葉圖要求不能丟失數(shù)據. 答案:(1) (2)√ (3)√ (4)√ (5),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修3P70例題改編)某賽季,甲、乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽,他們每場比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示,則甲、乙兩名運動員得分的中位數(shù)分別為 .,【解析】數(shù)據的個數(shù)為奇數(shù)時,中位數(shù)為數(shù)據按大小排列后最中間的數(shù)據. 答案:19,13,(2)(必修3P82A組T6改編)甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次,每次命中環(huán)數(shù)如下: 甲 4 7 10 9 5 6 8 6 8 8 乙 7 8 6 8 6 7 8 7 5 9 試問10次射靶的情況較穩(wěn)定的是 .,【解析】本題要計算兩樣本的方差，當樣本平均數(shù)不是整數(shù)，且樣本數(shù)據不大時，可用簡化公式計算方差. (4＋7＋…＋8)＝7.1， (7＋8＋…＋9)＝7.1， (42＋72＋…＋82－107.12)＝3.09， (72＋82＋…＋92－107.12)＝1.29， 因為 ，所以乙10次射靶比甲10次射靶情況穩(wěn)定. 答案：乙,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014陜西高考)設樣本數(shù)據x1,x2,…,x10的均值和方差分別為1和4,若yi=xi+a(a為非零常數(shù),i=1,2,…,10),則y1,y2,…,y10的均值和方差分別為( ) A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a,【解析】選A.樣本數(shù)據x1,x2,…,x10的均值 (x1+x2+…+x10)=1, 方差s′2= [(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4, 新數(shù)據x1+a,x2+a,…,x10+a的均值 (x1+a+x2+a+…+x10+a)= (x1+x2+…+x10)+a=1+a, 新數(shù)據x1+a,x2+a,…,x10+a的方差 s2= [(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2] = [(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.,(2)(2015濟南模擬)對某種電子元件的使用壽命進行跟蹤調查,所得樣本的頻率分布直方圖如圖所示,由圖可知,這一批電子元件中使用壽命在100～300h的電子元件的數(shù)量與使用壽命在300～600h的電子元件的數(shù)量的比是 .,【解析】由于已知的頻率分布直方圖中組距為100， 壽命在100～300 h的電子元件對應的矩形的高分別為： 則壽命在100～300 h的電子元件的頻率為： 壽命在300～600 h的電子元件對應的矩形的高分別為： 則壽命在300～600 h的電子元件的頻率為： 則壽命在100～300 h的電子元件的數(shù)量與壽命在300～600 h的電子 元件的數(shù)量的比大約是 答案：,考點1 數(shù)字特征的計算與應用 【典例1】(1)(2014陜西高考)某公司10位員工的月工資(單位:元) 為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為 和s2,若從下月起每位員工的 月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為( ) A. ,s2+1002 B. +100,s2+1002 C. ,s2 D. +100,s2,(2)(2015東城模擬)汽車的碳排放量比較大,某地規(guī)定,從2014年開始,將對二氧化碳排放量超過130g/km的輕型汽車進行懲罰性征稅.檢測單位對甲、乙兩品牌輕型汽車各抽取5輛進行二氧化碳排放量檢測,記錄如下(單位:g/km).,經測算得乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的平均值為 =120g/km.,①從被檢測的5輛甲品牌輕型汽車中任取2輛,則至少有一輛二氧化碳排放量超過130g/km的概率是多少? ②求表中x的值,并比較甲、乙兩品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性. 【解題提示】(1)根據均值和方差的計算公式代入求解即可. (2)①利用古典概型的概率公式求解. ②計算兩種品牌車二氧化碳排放量的平均數(shù)與方差,再根據平均數(shù)和方差的意義判斷.,【規(guī)范解答】(1)選D.樣本數(shù)據x1,x2,…,x10的均值 (x1+x2+…+x10), 方差s2= ［(x1- )2+(x2- )2+…+(x10- )2］ 新數(shù)據x1+100,x2+100，…,x10+100的均值 (x1+100+x2+100+…+x10+100)= (x1+x2+…+x10)+100= +100, 新數(shù)據x1+100,x2+100,…,x10+100的方差 ［(x1+100- -100)2+(x2+100- -100)2+…+(x10+100- -100)2］ = ［(x1- )2+(x2- )2+…+(x10- )2］=s2.,(2)①從被檢測的5輛甲品牌的輕型汽車中任取2輛, 共有10種不同的二氧化碳排放量結果: (80,110),(80,120),(80,140),(80,150),(110,120),(110,140), (110,150),(120,140),(120,150),(140,150). 設“至少有一輛二氧化碳排放量超過130g/km”為事件A, 則事件A包含以下7種不同的結果:(80,140),(80,150),(110,140), (110,150),(120,140),(120,150),(140,150). 所以P(A)= =0.7. 即至少有一輛二氧化碳排放量超過130g/km的概率為0.7.,②由題可知， =120，所以 =120，解得x=120． [(80-120)2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2] =600. [(100-120)2+(120-120)2+(120-120)2+(100-120)2+(160-120)2] =480， 因為 所以乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性好．,【一題多解】解答本題(1),你還會什么解法? 解答本題(1),還可以利用以下解法: 因為平均值反映的是數(shù)據的平均水平,都增加100時,平均值也增加100;而方差反映的是數(shù)據的波動情況,都增加100時,數(shù)據的波動情況不變,故選D.,【規(guī)律方法】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義及計算方法 (1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體的一種簡明地描述,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢,方差和標準差描述波動大小. (2)平均數(shù)、方差的公式推廣. ①若數(shù)據x1,x2,…,xn的平均數(shù)為 ,那么mx1+a,mx2+a,mx3+a,…, mxn+a的平均數(shù)是m +a. ②數(shù)據x1,x2,…,xn的方差為s2. (i)數(shù)據x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也為s2; (ii)數(shù)據ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.,(3)方差的簡化計算公式. s2= 或寫成 即方差等于原數(shù)據平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.,【變式訓練】1.某學校高一年級男生人數(shù)占該年級學生人數(shù)的40%.在一次考試中,男、女平均分數(shù)分別是75,80,則這次考試該年級學生平均分數(shù)為 . 【解析】由平均數(shù)的定義得7540%+80(1-40%)=78. 答案:78,2.(2013江蘇高考)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位:環(huán)),結果如下:,則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為 . 【解題提示】利用平均數(shù)公式與方差公式求解可得結果.,【解析】 答案：2,【加固訓練】某人5次上班途中所花的時間(單位:分鐘)分別為x,y,10,11,9,已知數(shù)據的平均數(shù)為10,方差為2,則|x-y|= .,【解析】由題意得 答案：4,考點2 莖葉圖的應用 【典例2】(1)(2013重慶高考)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位:分).,已知甲組數(shù)據的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據的平均數(shù)為16.8,則x,y的值分別為( ) A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8,(2)(2013安徽高考)為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯(lián)考數(shù)學成績情況,用簡單隨機抽樣,從這兩校中各抽取30名高三年級學生,以他們的數(shù)學成績(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據的莖葉圖如下:,①若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05,求甲校高三年級學生總人數(shù),并估計甲校高三年級學生這次聯(lián)考數(shù)學成績的及格率(60分及60分以上為及格). ②設甲、乙兩校高三年級學生這次聯(lián)考數(shù)學平均成績分別為 估計 的值. 【解題提示】(1)直接利用中位數(shù)和平均數(shù)的定義進行求解. (2)①利用抽樣比求總體容量,利用樣本及格率估計總體及格率;②利用樣本平均成績估計總體平均成績.,【規(guī)范解答】(1)選C. 因為甲組數(shù)據的中位數(shù)為15，所以易知x=5,又乙組數(shù)據的平均數(shù)為16.8,所以 =16.8,解得y=8.故選C.,(2)①設甲校高三年級學生總數(shù)為n，由題意知 =0.05,即n=600， 樣本中甲校高三年級學生數(shù)學成績不及格人數(shù)為5，據此估計甲校 高三年級此次聯(lián)考數(shù)學成績及格率為1- ②設甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為 根據樣本莖葉圖可知， =(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79) +(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15. 因此 =0.5，故 的估計值為0.5分.,【互動探究】題(1)中甲組的平均分是多少，乙組的中位數(shù)是多少. 【解析】因為x=5，y=8，所以甲組的平均分是 乙組的中位數(shù)是18.,【規(guī)律方法】莖葉圖的優(yōu)缺點 優(yōu)點:一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到;二是莖葉圖便于記錄和表示,能夠展示數(shù)據的分布情況. 缺點:樣本數(shù)據較多或數(shù)據位數(shù)較多時,不方便表示數(shù)據.,【變式訓練】1.(2015長治模擬)對某商 店一個月內每天的顧客人數(shù)進行統(tǒng)計,得 到樣本的莖葉圖(如圖所示),則該樣本的 中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是( ) A.47,45,56 B.46,45,53 C.46,45,56 D.45,47,53,【解析】選C.由莖葉圖可知，中位數(shù)為 =46，眾數(shù)為45，極差為68-12=56.,2.(2013山東高考)將某選手的9個得分去掉1個 最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分 為91，現(xiàn)場做的9個分數(shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據模糊，無法辨認，在圖中以x表示：則7個剩余分數(shù)的方差為( ),【解析】選B.這組數(shù)據為87,87,94,90,91,90,90+x,99,91, 最高分為99，最低分為87，剩余數(shù)據為87,94,90,91,90,90+x,91.,【加固訓練】1.(2013重慶高考)如圖是 某公司10個銷售店某月銷售某產品數(shù)量 (單位:臺)的莖葉圖,則數(shù)據落在區(qū)間[22, 30)內的概率為( ) A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 【解題提示】直接根據數(shù)據的總個數(shù)和落在區(qū)間[22,30)內的個數(shù)求解即可. 【解析】選B.落在區(qū)間[22,30)內的個數(shù)為4個,總的數(shù)據有10個,故概率為0.4.選B.,2.(2013新課標全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥,B藥)的療效,隨機地選取20位患者服用A藥,20位患者服用B藥,這40位患者在服用一段時間后,記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位:h)實驗的觀測結果如下: 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4,服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分別計算兩組數(shù)據的平均數(shù),從計算結果看,哪種藥的療效更好. (2)根據兩組數(shù)據完成下面莖葉圖,從莖葉圖看,哪種藥的療效更好.,【解析】(1)設A藥觀測數(shù)據的平均數(shù)為 ，B藥觀測數(shù)據的平均數(shù) 為 ，由觀測結果可得 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+ 2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3， (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+ 1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6， 由以上計算結果可得 ，因此可以看出A藥的療效更好.,(2)由觀測結果可繪制如下莖葉圖， 從莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有 的葉集中在莖2,3上， B藥療效的試驗結果有 的葉集中在莖0,1上，由此可以看出A藥的療效更好.,考點3 頻率分布直方圖 知考情 高考中對頻率分布直方圖的考查主要側重于以下三個方面:一是求某一組的頻率或頻數(shù),二是完善頻率分布直方圖,補畫小矩形或求縱軸中的參數(shù);三是與概率相結合出題.,明角度 命題角度1:利用頻率分布直方圖求頻率或頻數(shù) 【典例3】(2014山東高考改編)為研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進行臨床試驗,所有志愿者的舒張壓數(shù)據(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,……,第五組.如圖是根據試驗數(shù)據制成的頻率分布直方圖.所有志愿者的舒張壓中位數(shù)為 ,眾數(shù)為 .,若已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為 .,【解題提示】中位數(shù)是使直方圖中左右兩側面積相等的值,眾數(shù)是最高的小矩形的中間值,利用已知數(shù)據估計總體數(shù)據,再根據比例計算第三組數(shù)據有療效的人數(shù).,【規(guī)范解答】由圖知,若中位數(shù)是a,則0.24+0.16+(a-14)0.36=0.5, 解得a≈14.28,眾數(shù)是14.5,因為樣本總數(shù)為N= =50.所以 若第三組中有療效的人數(shù)為x,則 =0.36,解得x=12. 答案:14.28 14.5 12,命題角度2:利用頻率分布直方圖求概率 【典例4】(2014重慶高考)20名學生某次數(shù)學考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:,(1)求頻率分布直方圖中a的值. (2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學生人數(shù). (3)從成績在[50,70)的學生中任選2人,求此2人的成績都在[60,70)中的概率. 【解題提示】直接根據頻率之和為1可求出a的值,再根據對應頻率可求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學生人數(shù),然后利用古典概型概率公式求解成績都在[60,70)中的概率.,【規(guī)范解答】(1)根據直方圖知組距為10,由 (2a+3a+7a+6a+2a)10=1,解得a= =0.005. (2)成績落在[50,60)中的學生人數(shù)為20.0051020=2. 成績落在[60,70)中的學生人數(shù)為30.0051020=3.,(3)記成績落在[50,60)中的2人為A1,A2,成績落在[60,70)中的3人為B1,B2,B3, 則從成績在[50,70)的學生中任選2人的基本事件共有10個: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3), (B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 其中2人的成績都在[60,70)中的基本事件有3個: (B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 故所求概率為P= .,悟技法 關于頻率分布直方圖的常見題型及解題思路 (1)求某組內的頻數(shù)或頻率: 利用小矩形的面積即數(shù)據落在該區(qū)間內的頻率求解 (2)求概率:通常是借助頻率分布直方圖的幾何意義,用頻率近似估計概率.,通一類 1.(2013陜西高考)對一批產品的長度(單位:mm)進行抽樣檢測,如圖為檢測結果的頻率分布直方圖.根據標準,產品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品,在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品,在區(qū)間[10,15)和[30,35]上的為三等品.用頻率估計概率,現(xiàn)從該批產品中隨機抽取一件,則其為二等品的概率為( ),A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 【解析】選D.組距為5,二等品的概率為1-(0.02+0.06+0.03)5= 0.45.所以,從該批產品中隨機抽取1件,則其為二等品的概率為0.45.,2.(2013遼寧高考)某班的全體學生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學生人數(shù)是( ) A.45 B.50 C.55 D.60,【解析】選B.由頻率分布直方圖,計算出低于60分的人數(shù)的頻率 (前兩個小矩形的面積)p=200.005+200.01=0.3,則總人數(shù)為150.3=50.,3.(2015自貢模擬)統(tǒng)計1000名學生的數(shù)學模塊(一)水平測試成績,得到樣本頻率分布直方圖如圖所示,規(guī)定不低于60分為及格,不低于80分為優(yōu)秀,則及格但不優(yōu)秀的人數(shù)是 .,【解析】由頻率分布直方圖得及格但不優(yōu)秀的學生頻率為(0.025+0.035)10=0.6,所以及格但不優(yōu)秀的學生人數(shù)為10000.6=600. 答案:600,4.(2015邯鄲模擬)某商場在慶元宵促銷 活動中,對元宵節(jié)當天9時至14時的銷售額 進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖所示.已 知9時至10時的銷售額為2.5萬元,則11時 至12時的銷售額為 萬元. 【解析】設11時至12時的銷售額為x萬元,則 解得x=10. 答案:10,規(guī)范解答18 統(tǒng)計與概率的綜合應用 【典例】(12分)(2014龍巖模擬)為了解某校學生暑期參加體育鍛煉的情況,對某班M名學生暑期參加體育鍛煉的次數(shù)進行了統(tǒng)計,得到如下的頻率分布表與直方圖:,(1)求頻率分布表中M,c,d及頻率分布直方圖中f的值. (2)求參加鍛煉次數(shù)的眾數(shù)(直接寫出答案,不要求計算過程). (3)從參加鍛煉次數(shù)不少于18次的學生中任選2人,求至少一人參加鍛煉的次數(shù)在區(qū)間[22,26]內的概率.,解題導思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標準 體會規(guī)范 (1) ………………………………………1分 因為2+11+16+15+d+2=M,所以d=4. ………………………………2分 ………………………………………………………4分 (2)眾數(shù)為12. ……………………………………………………6分,,(3)參加次數(shù)不少于18次的學生共有:d+2=6人, 設在[18,22)內的4人為:A,B,C,D,在[22,26]內的2人為m,n, ……………………………………………………………………7分,,設“從參加鍛煉次數(shù)不少于18次的學生中任選2人,其中至 少一人參加鍛煉的次數(shù)在區(qū)間[22,26]內”為事件M, P(M)= ……………………………………………………12分,高考狀元 滿分心得 把握規(guī)則 爭取滿分 (1)注意審題,看清題目要求,既要步驟完整,又能夠省時省力,如本題(2)中,只需寫出答案,就不必解釋理由. (2)步驟要規(guī)范嚴謹,不能隨意刪減:本題(3)中不求15和9這兩個數(shù)據,直接得出P的值是不得分的.,